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Monica Balan
Dynamische Modelle mit Hilfe der lokalen Volatilität
ISBN: 978-3-8428-2979-4
Herstellung: Diplomica® Verlag GmbH, Hamburg, 2012
Zugl. Ludwig-Maximilians-Universität München, München, Deutschland, Diplomarbeit,
2011
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© Diplomica Verlag GmbH
http://www.diplomica.de, Hamburg 2012
Zusammenfassung
Im Rahmen dieser Diplomarbeit befassen wir uns mit der Modellierung von
Aktienpreisprozessen mit Hilfe der lokalen Volatilit¨
at. Die Einf¨
uhrung der lo-
kalen Volatilit¨
at in der finanzmathematischen Welt wurde von B. Dupire und
E. Derman realisiert. In ihren Artikeln [18] beziehungsweise [17] analysieren
die Autoren diese innovative Findung zur Bestimmung der Optionspreise.
Der Aufbau dieser Diplomarbeit entspricht der chronologischen Reihenfolge,
in der diese Modellierung erweitert worden ist.
Zuerst befassen wir uns n¨
aher mit der Modellierung von Finanzm¨
arkten nach
F. Black und M. Scholes. Dieses in dem Jahr 1973 entwickelte Modell re-
pr¨
asentiert einen Ausgangspunkt f¨
ur weitere Modellierungen. Wir diskutie-
ren die restriktiven Annahmen dieses Modells und motivieren dadurch die
Notwendigkeit eines permissiveren Modells. Der Aufbau des Modells und die
Herleitung der Black-Scholes Gleichung werden in dem Kapitel 1 dieser Di-
plomarbeit detailliert pr¨
asentiert.
In dem Kapitel 2 diskutieren wir verschiedene klassische Ans¨
atze zur Bestim-
mung der Volatilit¨
at. Die Kritik an diesen Vorgehensweisen motiviert unsere
Pr¨
aferenz f¨
ur die lokale Volatilit¨
at.
Der Kern dieser Arbeit ist das Kapitel 3. Wir beginnen in diesem Kapitel mit
der Herleitung der lokalen Volatilit¨
at nach Dupire. Dieses Resultat ben¨
otigen
wir f¨
ur den weiteren Verlauf dieser Arbeit. Die lokale Volatilit¨
at als bedingter
Erwartungswert und die Umwandlung der lokalen Volatilit¨
at in die implizi-
te Volatilit¨
at sind ebenfalls detailliert dargestellt. Das Verhalten der lokalen
Volatilit¨
at in einem stochastischen Aktienpreismodell, sowie die Berechnung
und Visualisierung der lokalen Volatilit¨
atsfl¨
ache erg¨
anzen das Kapitel 3. Mit
Hilfe eines Matlab-Programmes f¨
ur eine parametrische Familie der lokalen
Volatilit¨
at generieren wir die Fl¨
achen dieser Volatilit¨
at.
Das Kapitel 4 fasst die Resultate aus den Artikel [7], [8] und [9] zusammen.
Wir geben in diesem Kapitel zwei Aktienpreismodelle an, in welchen die
lokale Volatilit¨
at dynamisch ist. Unter geeigneten Regulationsannahmen be-
weisen wir, dass solche Aktienpreismodelle arbitragefrei sind. Dieses Resultat
ist das Hauptergebnis des Kapitels 4. F¨
ur ein intuitiveres Verst¨
andnis visua-
lisieren wir den Diffusionsterm der lokalen Volatilit¨
at, anhand eines Matlab-
Programmes. Wir erg¨
anzen die Analyse dieses Modells mit weiteren Anmer-
kungen ¨
uber lokale Hedgingstrategien.
Inhaltsverzeichnis
1 Modellierung nach Black und Scholes
5
1.1
Finanzmathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Annahmen des Finanzmodells . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3
Aufbau des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1
Black-Scholes-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2
Black-Scholes-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Klassische Bestimmung der Volatilit¨
at
23
2.1
Historische Volatilit¨
at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1
Logarithmische Kursschwankungen . . . . . . . . . . . 24
2.1.2
Definition der historischen Volatilit¨
at . . . . . . . . . . 26
2.2
Implizite Volatilit¨
at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1
Inverses Problem der Finanzmathematik . . . . . . . . 28
2.2.2
Smile-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3
Stochastische Volatilit¨
at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.1
Hull-White Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2
Heston Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4
Schw¨
achen dieser Vorgehensweisen
. . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1
Defizite der historischen Volatilit¨
at . . . . . . . . . . . 37
2.4.2
Defizite der impliziten Volatilit¨
at . . . . . . . . . . . . 37
2.4.3
Defizite der stochastischen Volatilit¨
at . . . . . . . . . . 38
3 Lokale Volatilit¨
at
39
3.1
Dupire'sche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.1
Diskussion ¨
uber die Dupire'sche Formel . . . . . . . . . 47
3.2
Lokale Volatilit¨
at als bedingte Erwartung . . . . . . . . . . . . 48
3.3
Lokale Volatilit¨
at als Implizite Volatilit¨
at . . . . . . . . . . . . 53
3.4
Lokale Volatilit¨
at in stochastischen
Aktienpreismodellen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5
Parametrische Familie der lokalen Volatilit¨
at . . . . . . . . . . 69
3.5.1
Parametrische Herleitung der lokalen Volatilit¨
at . . . . 69
1
3.5.2
Log-normaler Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5.3
Numerische Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4 Aktienpreismodelle mit lokaler Volatilit¨
at
79
4.1
Einf¨
uhrung und Notationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2
Modellbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3
Diffusionsterm der lokalen Volatilit¨
at . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4
Semi-Martingal-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5
Arbitragelosigkeit der Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.6
Hedging in einem Modell mit dynamischer lokaler Volatilit¨
at . 97
A Anhang
105
A.0.1 Herleitung der Optionskennzahlen . . . . . . . . . . . . 105
A.0.2 Herleitung der Fokker-Planck Gleichung
. . . . . . . . 110
A.0.3 Anwendung der Feynman-Ka
c Formel . . . . . . . . . . 115
B Matlabprogramme
117
B.0.4
Black-Scholes Preisformel
. . . . . . . . . . . . . . . . 117
B.0.5
Zwei Pfade eines Wiener-Prozesses
. . . . . . . . . . . 118
B.0.6
Kennzahlen einer Call Option . . . . . . . . . . . . . . 118
B.0.7
Parametrische Familie der lokalen Volatilit¨
at nach R.
Carmona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
C Beweise der ben¨
otigten Lemmata und S¨
atze
124
C.0.8 Beweis von Lemma 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
C.0.9 Beweis von Lemma 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
C.0.10 Beweis von dem Satz 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
C.0.11 Beweis von dem Satz 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . 138
2
Abbildungsverzeichnis
1.1
Zwei Beispiel-Pfade eines Standard-Wiener-Prozesses. . . . . .
7
1.2
Der Black-Scholes Preis einer europ¨
aischen Call-Option mit
K = 100, = 0.3 und r = 0.05. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1
Errechnete Fl¨
ache der impliziten Volatilit¨
at. . . . . . . . . . . 30
3.1
Die aus den Call-Optionspreisen errechnete Fl¨
ache der lokalen
Volatilit¨
at. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2
Typische Fl¨
ache der lokalen Volatilit¨
at in dem Heston Modell.
68
3.3
Fl¨
ache der lokalen Volatilit¨
at aus der parametrischen Familie.
77
3.4
Fl¨
ache der lokalen Volatilit¨
at in dem Heston Modell. . . . . . . 78
4.1
Diffusionsterm der lokalen Volatilit¨
at aus der parametrischen
Familie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2
Diffusionsterm der lokalen Volatilit¨
at in dem HullWhite Mo-
dell mit der Volatilit¨
at als geometrische Brown'sche Bewegung.
85
3
Danksagung
An dieser Stelle m¨
ochte ich mich bei allen Personen bedanken, die mich bei
der Erstellung dieser Arbeit unterst¨
utzten.
Ein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. Georg Schl¨
uchtermann, der mit
sehr viel Engagement, guten Ideen und unerm¨
udlichem Einsatz diese Di-
plomarbeit betreute. Ebenfalls bedanke ich mich f¨
ur das interessante Thema
und f¨
ur die Teilnahme an seiner Academy.
Weiter bedanke ich mich bei der Firma Benoist&Company f¨
ur die M¨
oglichkeit,
diese Diplomarbeit im Rahmen der Academy vorzustellen und f¨
ur die hilfrei-
chen mathematischen Diskussionen.
Diese Diplomarbeit m¨
ochte ich meinen Eltern widmen, da sie nicht nur mein
Studium erm¨
oglichten, sondern auch st¨
andig ein sehr großes Interesse an mei-
ner Arbeit zeigten und mich immer motivierten.
4
Kapitel 1
Modellierung nach Black und
Scholes
Motivation
Dieses Kapitel behandelt das Black-Scholes Modell, das richtungsweisend
f¨
ur die Finanzmathematik ist. Zun¨
achst geben wir einige grundlegende De-
finitionen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie an. In den darauf folgenden
Abschnitten untersuchen wir das Black-Scholes-Modell. In diesem Zusam-
menhang diskutieren wir die Annahmen und die Konstruktion des Modells.
1.1
Finanzmathematische Grundlagen
Mit Hilfe der n¨
achsten Definitionen aus dem Buch [34] von G. Schl¨
uchtermann
k¨
onnen wir im Weiteren kompliziertere mathematische Ausdr¨
ucke n¨
aher ver-
stehen.
Die erste Definition lautet:
Definition 1.1:
Ein stochastischer Prozess in stetiger Zeit ist eine Familie von Zufallsvaria-
blen (X
t
)
t0
, X
t
:
R, mit dem Zeithorizont t [0, ] beziehungswei-
se t
[0, T ], so dass die Abbildung × [0, )
(, t)
X
t
() messbar
bez¨
uglich der Produkt--Algebra
F B
R
+
0
beziehungsweise
F B
[0,T ]
ist.
Weiter erl¨
autern wir den Begriff der Filtration und in diesem Zusammenhang
f¨
uhren wir die Definition eines adaptierten stochastischen Prozesses ein:
5
Definition 1.2:
Eine Filtration auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (,
F, R) ist eine Familie
von -Algebren (
F
t
)
t0
mit
F
s
F
t
F, falls s t. In diesem Fall ist
(,
F, (F
t
)
t0
,
P) ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum.
Ein stochastischer Prozess (X
t
)
t0
heißt adaptiert bez¨
uglich der Filtration
(
F
t
)
t0
, wenn X
t
f¨
ur alle t
0 F
t
-messbar ist.
Weitere wichtige Definitionen sind:
Definition 1.3:
Ein adaptierter und integriebarer stochastischer Prozess (X
t
)
t0
auf
(,
F, (F
t
)
t0
,
P) heißt:
1. Martingal (bzgl. (
F
t
)
t0
), falls
E
P
(X
t
| F
s
) = X
s
f.s,
s < t.
2. Supermartingal (bzgl. (
F
t
)
t0
), falls
E
P
(X
t
| F
s
)
X
s
f.s,
s < t.
3. Submartingal (bzgl. (
F
t
)
t0
), falls
E
P
(X
t
| F
s
)
X
s
f.s,
s < t.
Definition 1.4:
Ein stochastischer Prozess (
B
t
)
t0
auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeits-
raum (,
F, (F
t
)
t0
,
P) heißt Brown'sche Bewegung bez¨uglich (F
t
)
t0
, falls
dieser adaptiert zur Filtration (
F
t
)
t0
ist und dieser Prozess die n¨
achsten
Eigenschaften besitzt:
1.
B
0
= 0.
2.
B
t
- B
s
ist
N (0, t - s) verteilt f¨ur alle s < t.
3.
B
t
- B
s
ist von
F
s
f¨
ur jede Wahl von 0
s < t unabh¨angig.
Das heißt, dass f¨
ur jede messbare Teilmenge A
R und jedes F F
s
gilt:
P(F {B
t
- B
s
A}) = P(F)P({B
t
- B
s
A}) =
=
P(F)
1
2(t
- s)
A
e
-
x2
2(t-s)
dx.
4. (
B
t
)
t0
hat stetige Pfade.
Eine Brown'sche Bewegung mit Erwartungswert Null und Varianz Eins wird
Standard Brown'sche Bewegung bezeichnet.
Wir nennen die Brown'sche Bewegung auch den Wiener-Prozess.
6
Die folgende Abbildung 1.1 zeigt die Simulation von zwei Pfaden einer Stan-
dard Brown'schen Bewegung. Wir erkennen in dieser Abbildung die cha-
rakteristische Zitterbewegung des Wiener-Prozesses. In dem Anhang B.0.5
befindet sich das Matlab-Programm zur Simulation einer Brown'schen Be-
wegung.
Abbildung 1.1: Zwei Beispiel-Pfade eines Standard-Wiener-Prozesses.
Nun definieren wir den log-normalen Prozess:
Definition 1.5:
Es sei (
B
t
)
t0
eine Brown'sche Bewegung auf einem filtrierten Wahrschein-
lichkeitsraum (,
F, (F
t
)
t0
,
P). Weiter sei R, > 0 und S
0
> 0. Wir
nennen den Prozess S
t
, der gem¨
aß
S
t
:= S
0
e
t-
1
2
2
t+B
t
definiert ist, den log-normalen Prozess oder geometrische Brown'sche Bewe-
gung mit Drift und Volatilit¨
at .
Da die geometrische Brown'sche Bewegung log-normal verteilt ist, definieren
wir die Dichte f (x, t) des Prozesses (S
t
)
t0
durch die Dichte der logarithmi-
schen Normalverteilung:
f (x, t) :=
1
x
2(
2
t)
exp
-
ln
x
S0
-t+
1
2
2
t
2
2
2
t
, falls
S
t
> 0
0
, falls
S
t
0.
(1.1)
Die Dichte f (S
t
, t) konvergiert also f¨
ur S
t
gegen Null.
7
Die Gleichung (1.1) in der Definition 1.5 l¨
asst sich mit Hilfe der Eigenschaften
der Brown'schen Bewegung zeigen. Den ausf¨
uhrlichen Beweis der Gleichung
(1.1) finden wir in dem Buch [37] von S. Shreve.
Im Weiteren ben¨
otigen wir den folgenden wichtigen Satz. Wir verzichten in
dieser Arbeit auf den Beweis dieses Satzes. Eine ausf¨
uhrliche Vorgehensweise
befindet sich zum Beispiel in dem Buch [34] von G. Schl¨
uchtermann.
Satz 1.6 (It^
o Formel):
Sei (Z
t
)
t0
ein Diffusionsprozess, das heißt der Prozess (Z
t
)
t0
ist von der
Form dZ
t
= X
t
dt + Y
t
d
B
t
. Hierbei sind die Prozesse X
t
und Y
t
progressiv-
messbar und fast sicher quadrat-integrierbar.
Weiter sei g : [0,
) × R R, (t, x) g(t, x) stetig differenzierbar in
der t
-Komponente und zweimal stetig differenzierbar in der x-Komponente.
Dann gilt:
g(T, Z
T
)
- g(0, Z
0
) =
=
T
0
t
g(t, Z
t
)dt +
T
0
x
g(t, Z
t
)dZ
t
+
1
2
T
0
2
x
2
g(t, Z
t
)Y
2
t
dt
und
T
0
x
g(t, Z
t
)dZ
t
=
T
0
x
g(t, Z
t
)X
t
dt +
T
0
x
g(t, Z
t
)Y
t
d
B
t
.
Bemerkung 1.7:
Der Prozess S
t
= S
0
e
(-
1
2
2
)t+B
t
gen¨
ugt der folgenden stochastischen Diffe-
rentialgleichung:
dS
t
= S
t
dt + S
t
d
B
t
.
Diese Aussage l¨
asst sich mit der It^
o Formel aus dem Satz 1.6 zeigen, wenn
wir g(t, x) = ln x setzen.
8
1.2
Annahmen des Finanzmodells
Nachdem wir die mathematische Grundlagen in dem Kapitel 1.1 vorstellten,
befassen wir uns mit den Annahmen zu dem Finanzmodell.
Wir bezeichnen die risikolose Geldanlage (Bond) mit (S
0
t
)
t0
(oder kurz S
0
t
).
In unserer Modellierung betrachten wir eine Aktie S, deren Preisprozess zu
dem Zeitpunkt t
0 mit (S
t
)
t0
(oder kurz S
t
) notiert wird.
Black und Scholes verwenden in ihrem Artikel [3] die folgenden, sehr restrik-
tiven Annahmen:
Der risikolose Zinssatz r 0 ist bekannt und konstant. Also gen¨ugt der
Bond der Differentialgleichung:
dS
0
t
= rS
0
t
dt.
(1.2)
Es werden keine Dividenden ausgezahlt.
Beim Handel mit Aktien werden keine Transaktionskosten erhoben.
Die Aktie kann kontinuierlich (zu stetiger Zeit) gehandelt werden und
ist beliebig teilbar. Es gibt keine Einschr¨
ankungen bei dem Leerverkauf,
das sogenannte 'short selling'.
Es gibt keine Informationsasymmetrie, das heißt alle Marktteilnehmer
k¨
onnen auf die gleiche Information zugreifen.
Die Marktpreise unterliegen einer geometrischen Brown'schen Bewe-
gung mit konstanten Drift und Volatilit¨
at . Also folgt der Aktien-
preisprozess gem¨
aß Definition 1.5 der n¨
achsten Gleichung:
S
t
= S
0
exp
{B
t
+ (
-
1
2
2
)t
}.
(1.3)
Nun besteht der n¨
achste Schritt darin zu zeigen, dass das Black-Scholes-
Modell arbitragefrei ist. Dazu brauchen wir das Novikov-Kriterium und das
Girsanov-Theorem. Die Beweise dieser beiden S¨
atze k¨
onnen in dem Buch [2]
von T. Bj¨
ork nachgelesen werden. Daher werden sie in dieser Arbeit nicht
n¨
aher beschrieben.
9
Theorem 1.8 (Novikov Kriterium):
Seien
2
loc
=
{, progressiv t,
t
0
2
s
ds <
f.s} und
2
loc,d
=
{ = (
1
, ...,
d
) :
i
2
loc
, i = 1, ..., d
} definiert.
Weiter seien
2
loc,d
, Z = (Z
t
)
tR
+
, 0
T und 0 t.
Wir definieren den Prozess Z durch:
Z
t
:= Z
t
() := exp
t
0
tr
s
d
B
s
-
1
2
t
0
|| ||
2
ds .
Dieser Prozess heißt Dol´
eans-Dade Exponential und wird notiert mit:
Z
t
:=
tr
s
d
B
s
t
= (,
B)
t
.
Nehmen wir an, dass gilt:
E exp
1
2
T
0
||
s
||
2
ds
< +
.
(1.4)
Aus der Gleichung (1.4) folgern wir:
E Z
T
= 1.
Theorem 1.9 (Girsanov Theorem):
Sei der Prozess (Z
t
)
tR
+
wie in Theorem 1.8 definiert. Wir nehmen an, dass
gilt
E Z
= 1. Weiter seien
P und Q zwei ¨aquivalente und lokale Martin-
galmaße mit
d
Q
d
P
= Z
. Wir definieren den Prozess ( ~
B
t
)
tR
+
wie folgt:
~
B
t
=
B
t
-
t
0
s
ds.
Dann ist ~
B
t
eine (
F
t
)
tR
+
Brown'sche Bewegung unter
Q.
Nun beweisen wir die Arbitragefreiheit des Black-Scholes-Modells.
10
Satz 1.10:
Das Black-Scholes-Modell ist arbitragefrei.
Beweis:
Wir betrachten die zwei folgenden Gleichungen:
S
0
t
= e
rt
und
S
t
= S
0
e
B
t
+(-
1
2
2
)t
.
Sei ¯
S
t
=
S
t
S
0
t
der diskontierte Preis, dann gilt:
¯
S
t
= S
0
e
B
t
+(-
1
2
2
-r)t
.
Die Dynamik von ¯
S
t
hat also die Form:
d ¯
S
t
=
1
S
0
t
dS
t
+ S
t
d
1
S
0
t
=
=
1
S
0
t
dS
t
+ S
t
-r
S
0
t
dt =
=
S
t
S
0
t
(
- r)dt + dB
t
=
=
¯
S
t
(
- r)dt + dB
t
.
Wir w¨
ahlen eine strikt positive Zufallsvariable Z = e
B
T
-
2
2
T
,
R. Die
Novikov Bedingung, siehe Theorem 1.8, liefert uns also
E[Z] = 1. Das heißt,
es existiert ein wohldefiniertes Wahrscheinlichkeitsmaß
Q mit der Dichte
d
Q
d
P
= Z. Wir definieren die Brown'sche Bewegung ( ~
B
t
)
t[0,T ]
durch:
~
B
t
:=
B
t
- t.
Mit dem Theorem von Girsanov 1.9 auf Seite 10 ist ( ~
B
t
)
t[0,T ]
eine Brown'sche
Bewegung unter
Q.
Die Dynamik von ¯
S
t
unter
Q ist nun gegeben durch:
d ¯
S
t
= ¯
S
t
(
- r + )dt + d ~
B
t
.
Wir setzen :=
-r
und erhalten, dass
Q ein ¨aquivalentes Martingalmaß in
diesem Markt ist. Die Existenz eines solchen Maßes ist Beweis genug um zu
zeigen, dass der Markt arbitragefrei ist.
11
1.3
Aufbau des Modells
1.3.1
Black-Scholes-Gleichung
In diesem Abschnitt wollen wir in dem Black-Scholes-Modell den arbitrage-
freien Preis eines Finanzderivates angeben.
Dieser arbitragefreie Preis soll zur Zeit 0
t T < bestimmt werden.
Also betrachten wir im Folgenden ein Derivat, welches uns zur Zeit T den
Betrag F (S
T
) auszahlt.
Die folgende Herleitung wird unter anderem von G. Schl¨
uchtermann und
S. Pilz in dem Buch [34] beschrieben. Wir ben¨
otigen zun¨
achst die folgenden
Annahmen.
Annahme 1:
Der Markt besteht aus zwei Wertpapieren, deren Dynamiken durch die beiden
folgenden Gleichungen mit eindeutiger L¨
osung beschrieben werden:
dS
0
t
= rS
0
t
dt,
(1.5)
dS
t
=
t
S
t
dt +
t
S
t
d
B
t
.
(1.6)
Dabei bezeichnet S
0
t
den Wert des risikolosen Bonds zur Zeit 0
t T und
(S
t
)
0
tT
den Preisprozess der Aktie.
Die zweite Gleichung aus der Annahme 1 lautet in Integralschreibweise:
S
t
- S
0
=
t
0
u
S
u
du +
t
0
u
S
u
d
B
u
.
In der obigen Formulierung stellen (
t
)
t0
und (
t
)
t0
stochastische Prozesse
dar, das heißt
t
:= (t, S
t
) und
t
:= (t, S
t
).
Die n¨
achste Annahme bezieht sich auf die arbitragefreien Preise des betrach-
teten Derivats.
Annahme 2:
Zu jedem Zeitpunkt 0
t T gibt es einen eindeutigen arbitragefreien Preis
f¨
ur das Derivat, welchen wir mit V
t
bezeichnen.
Die Funktion V
t
h¨
angt von dem Zeitpunkt t und von dem Aktienpreis S
t
ab,
also setzen wir V
t
:= f (t, S
t
). Wir nehmen zus¨
atzlich an, dass die Funktion
f : [0, T [
×[0, [ R
einmal stetig differenzierbar in der ersten Komponente und zweimal stetig
differenzierbar in der zweiten Komponente ist.
12
Wir benutzen die aus der Physik bekannten Notationen:
f (u, x) :=
x
f (u, x),
f (u, x) :=
2
x
2
f (u, x)
und
f (u, x) :=
u
f (u, x).
Nach den Modellannahmen von Black und Scholes aus dem Abschnitt 1.2
k¨
onnen beliebige viele Bond- und Aktienanteile erworben werden. Zum Zeit-
punkt t bezeichen a
t
die Aktienanteile und b
t
die Bondanteile. Das Portfolio,
bestehend aus Aktien- und Bondanteilen, definieren wir mit (a
t
, b
t
). Der Pro-
zess (a
t
, b
t
)
0
tT
heißt Handelsstrategie.
Wir nehmen weiter an:
Annahme 3:
Die Prozesse (a
t
)
0
tT
und (b
t
)
0
tT
auf (,
F, P) sind an die Filtration
(
F
t
)
0
tT
adaptiert.
Diese Annahme ist gerechtfertigt, da unsere Strategie nicht von zuk¨
unftigen
Ereignissen beeinflusst wird. Die n¨
achste Annahme lautet:
Annahme 4:
Der Prozess (a
t
)
0
tT
ist bez¨
uglich (S
t
)
0
tT
schwach quadratisch integrierbar
und der Prozess (b
t
)
0
tT
ist bez¨
uglich (S
0
t
) pfadweise integrierbar.
Die schwach quatratische und die pfadweise Integrierbarkeit sichern die Exi-
stenz der beiden Integrale:
t
s
a
u
dS
u
und
t
s
b
u
dS
0
u
mit 0
s < t T.
Die letzte Annahme lautet:
Annahme 5:
Es existiert eine selbstfinanzierende Strategie (a
t
, b
t
)
0
tT
, welche die Annah-
men 3 und 4 erf¨
ullt. Zus¨
atzlich erzeugt diese Strategie das Derivat, das heißt
zu jedem Zeitpunkt 0
t T gilt:
V
t
= a
t
S
t
+ b
t
S
0
t
.
(1.7)
13
Mit Hilfe der vorherigen f¨
unf Annahmen wollen wir jetzt die arbitragefreien
Preise bestimmen.
Als erstes wenden wir die It^
o Formel aus dem Satz 1.6 auf dV
t
= df (t, S
t
)
an und wir setzen Gleichung (1.6) aus der Annahme 1 ein:
dV
t
= df (t, S
t
) =
=
f (t, S
t
)dt + f (t, S
t
)dS
t
+
1
2
f (t, S
t
)(dS
t
)
2
=
= f (t, S
t
)(t, S
t
)S
t
d
B
t
+ [f (t, S
t
)(t, S
t
)S
t
+
+
f (t, S
t
)]dt +
1
2
f (t, S
t
)(dS
t
)
2
.
Wir benutzen (dS
t
)
2
=
2
(t, S
t
)S
2
t
dt und wir folgern:
dV
t
= f (t, S
t
)(t, S
t
)S
t
d
B
t
+ f (t, S
t
)(t, S
t
)S
t
+
+
f (t, S
t
) +
1
2
f (t, S
t
)
2
(t, S
t
)S
2
t
dt.
(1.8)
Wegen Annahme 5 schreiben wir:
V
t
- V
0
= a
t
S
t
+ b
t
S
0
t
- (a
0
S
0
+ b
0
S
0
0
) =
=
t
0
a
u
dS
u
+
t
0
b
u
dS
0
u
.
Wir k¨
urzen mit der Differentialschreibweise ab und wir setzen die Gleichun-
gen (1.5) und (1.6) aus der Annahme 1 ein:
dV
t
= a
t
dS
t
+ b
t
dS
0
t
=
= a
t
(t, S
t
)S
t
dt + a
t
(t, S
t
)S
t
d
B
t
+ b
t
rS
0
t
dt =
= a
t
(t, S
t
)S
t
d
B
t
+ [a
t
(t, S
t
)S
t
+ rb
t
S
0
t
]dt.
(1.9)
Jetzt setzen wir die beiden Gleichungen (1.8) und (1.9) gleich. Bei dem Ver-
gleich der d
B
t
-Terme ergibt sich:
f (t, S
t
)(t, S
t
)S
t
= a
t
(t, S
t
)S
t
.
Aus der obigen Gleichung ergibt sich:
f (t, S
t
) = a
t
.
(1.10)
Die Gleichung (1.10) ist die sogennante Hedging Gleichung. Falls f eine be-
kannte Funktion ist, so wird f (t, S
t
) die Anzahl der Aktien angeben, die
gekauft werden m¨
ussen, um ein Portfolio zu erzeugen.
14
Vergleichen wir die dt-Terme der beiden Gleichungen (1.8) und (1.9), so folgt:
f (t, S
t
)(t, S
t
)S
t
+
f (t, S
t
) +
1
2
f (t, S
t
)
2
(t, S
t
)
2
S
2
t
=
= a
t
(t, S
t
)S
t
+ rb
t
S
0
t
. (1.11)
Nun l¨
osen wir die Gleichung (1.7) aus Annahme 5 nach b
t
auf und setzten
dann die Gleichung (1.10) ein:
b
t
=
1
S
0
t
[f (t, S
t
)
- a
t
S
t
] =
1
S
0
t
[f (t, S
t
)
- f (t, S
t
)S
t
].
(1.12)
Dann setzen wir die Darstellungen f¨
ur a
t
und b
t
aus den Gleichungen (1.10)
und (1.12) in die obige Gleichung (1.11) ein und wir erhalten:
f (t, S
t
) +
1
2
f (t, S
t
)
2
(t, S
t
)S
2
t
= rf (t, S
t
)
- rf (t, S
t
)S
t
.
Wir stellen diese Gleichung um und folgern:
1
2
f (t, S
t
)
2
(t, S
t
)S
2
t
+ rf (t, S
t
)S
t
+
f (t, S
t
)
- rf(t, S
t
) = 0.
(1.13)
Unser arbitragefreie Preis ist die L¨
osung der partiellen und deterministischen
Differentialgleichung (1.13) zum Endwert f (T, S
T
) = f (T, S) = F (S).
Die Gleichung (1.13) wird auch die Black-Scholes Gleichung genannt.
15
1.3.2
Black-Scholes-Formel
Aus dem vorherigen Abschnitt wissen wir, dass der arbitragefreie Preis eines
Derivats die L¨
osung der Black-Scholes-Gleichung(1.13) ist. Das Ziel dieses
Abschnittes ist eine L¨
osung der Black-Scholes-Gleichung (kurz: BSG) anzu-
geben. Die folgenden Ausf¨
uhrungen stammen aus dem Buch [34].
Wir nehmen f¨
ur den restlichen Verlauf dieser Herleitung eine konstante Vo-
latilit¨
at an. Wir betrachten erneut die BSG:
1
2
2
S
2
f (t, S) + rSf (t, S) +
f (t, S)
- rf(t, S) = 0,
(1.14)
mit dem Endwert f (T, S) = F (S).
Schritt 1
Schritt 1
Schritt 1: Wir schreiben die Black-Scholes-Gleichung um in die bekannte
W¨
armeleitungsgleichung (kurz: WLG).
Die WLG ist folgendermaßen definiert:
h (, x) = h(, x),
(1.15)
mit dem Anfangswert h(0, x) = h
0
(x).
Als erstes eliminieren wir die nicht konstanten Koeffizienten S
2
und S aus
BSG (1.14) durch eine Variablentransformation. Wir w¨
ahlen zun¨
achst:
x = ln(S),
=
1
2
2
(T
- t) und
g(, x) = f T
-
2
2
, e
x
.
(1.16)
Wir berechnen die Ableitungen von g(, x) unter Ber¨
ucksichtigung von S = e
x
und den Notationen der Ableitungen auf Seite 13. So erhalten wir:
g(, x) =
-
2
2
f (t, S),
g (, x) = f (t, S)S
und
g (, x) = f (t, S)S + f (t, S)S
2
.
Mit Hilfe dieser Ableitungen k¨
onnen wir die Black-Scholes-Gleichung (1.14)
umschreiben zu:
2
2
g (, x)
-
2
2
g (, x) + rg (, x)
-
2
2
g(, x)
- rg(, x) = 0.
Wir multiplizieren die obige Gleichung mit
2
2
und setzen k =
2r
2
ein. Dann
erhalten wir:
g (, x) + (k
- 1)g (, x) - kg(, x) = g(, x).
(1.17)
16
Weiter setzen wir:
g(, x) = e
x+
h(, x).
(1.18)
Wir wollen nun die neue Funktion g(, x) aus der Gleichung (1.18) in die
Gleichung (1.17) einsetzen. Hierzu ben¨
otigen wir die Berechnungen:
g(, x) = e
x+
[h(, x) + h(, x)],
g (, x) = e
x+
[h(, x) + h (, x)]
und
g (, x) = e
x+
[
2
h(, x) + 2h (, x) + h (, x)].
Wir setzen nun diese drei Ableitungen in die Gleichung (1.17) ein und erhal-
ten:
h (, x) + (2 + k
- 1)h (, x) +
2
+ (k
- 1) - k - h(, x) = h(, x).
Jetzt m¨
ussen und so bestimmt werden, dass wir die WLG (1.15) erhalten.
Dies gelingt uns, wenn wir und folgendermaßen w¨
ahlen:
=
-
k
- 1
2
und
=
2
+ (k
- 1) - k =
k
- 1
2
2
-
(k
- 1)
2
2
- k = -
1
4
(k + 1)
2
.
Wir setzen und in die Gleichung (1.18) ein. Also erhalten wir f¨
ur die
Funktion h(, x):
h(, x) = e
1
2
(k-1)x+
1
4
(k+1)
2
g(, x).
So ergibt sich die WLG:
h(, x) - h (, x) = 0,
(1.19)
mit der Anfangsbedingung h
0
(x) = h(0, x) = e
1
2
(k-1)x
g(0, x).
Schritt 2:
Schritt 2:
Schritt 2: Jetzt l¨
osen wir die WLG (1.15). Hierzu benutzen wir die folgenden
drei Hilfss¨
atze:
Hilfssatz 1:
Sei h(t, x) :=
1
2
t
e
-
x2
4t
die Dichte der Normalverteilung
N (0, 2t). Dann ist
h(t, x) die L¨
osung von:
h (t, x) = h(t, x).
Beweis (skizzenhaft):
Die Behauptung l¨
asst sich durch die einfache Berechnung der ben¨
otigten
Ableitungen zeigen.
17
Hilfssatz 2:
Sei h
0
:
R R eine stetige Funktion und c R.
Falls
-
c
2
| h
0
(u)
| ·e
-
(x-u)2
4t
du <
gilt, dann lautet die L¨osung der WLG:
1
2
t
-
h
0
(u)
· e
-
(x-u)2
4t
du.
Beweis (skizzenhaft):
Wir setzen h(t, x) =
1
2
t
-
h
0
(u)
· e
-
(x-u)2
4t
du. Dann berechnen wir die
erste Ableitung nach t und die zweite Ableitung nach x. Wir sehen, dass
diese gleich sind.
Hilfssatz 3:
Sei h
0
:
R R eine stetige Funktion mit
1
2
t
-
| h
0
(u)
| ·e
-
(x-u)2
4t
du <
f¨
ur alle t > 0. So gilt f¨
ur alle x
R:
lim
t0
1
2
t
-
h
0
(u)
· e
-
(x-u)2
4t
du = h
0
(x).
Beweis:
Den ausf¨
uhrlichen Beweis k¨
onnen wir in dem Buch [34] von G. Schl¨
uchtermann
nachvollziehen.
Zusammenfassend l¨
asst sich der n¨
achste Satz mit den drei letzten Hilfs¨
atzen
beweisen.
Satz 1.11:
Die L¨
osung der W¨
armeleitungsgleichung h (t, x) = h(t, x) mit Anfangswert-
bedingung h(0, x) = h
0
(x) ist:
h(t, x) =
1
2
t
-
h
0
(u)e
-
(x-u)2
4t
du.
Zus¨
atzlich muss die n¨
achste Integrabilit¨
atsbedingung erf¨
ullt sein:
1
2
t
-
| h
0
(u)
| u
2
e
-
(x-u)2
4t
du <
f¨ur alle t < .
18
Schritt 3:
Schritt 3:
Schritt 3: Das Ziel ist, die BSG zu l¨
osen, also den arbitragefreien Preis des
Derivats V
t
= f (t, S
t
) zu bestimmen. In dem ersten Schritt transformier-
ten wir durch eine geeignete Substitution, die Black-Scholes Gleichung in
die W¨
armeleitungsgleichung. Jetzt machen wir die Substitution unter der
Ber¨
ucksichtigung der L¨
osung der WLG r¨
uckg¨
angig.
Wir beginnen also mit der Parametrisierung (1.16) und es ergibt sich mit
Hilfe der Substitution (1.18):
f (t, S) = g
1
2
2
(T
- t), ln S =
= e
ln S
e
1
2
2
(T -t)
h
1
2
2
(T
- t), ln S .
Nun setzen wir die L¨
osung der WLG aus dem Satz 1.11 in obige Gleichung
ein. Benutzt wird unsere Wahl von h
0
(
·) und f(·, ·) aus dem Schritt 1:
h
0
() = h(0, ) = e
-
1
2
(k-1)
g(0, ) = e
-
1
2
(k-1)
f (T, e
) = e
-
1
2
(k-1)
F (e
).
Folglich ergibt sich:
f (t, S) =
e
ln S
e
1
2
2
(T -t)
2
2
(T
- t)
-
h
0
()e
-
(-ln S)2
22(T -t)
d =
=
e
ln S
e
1
2
2
(T -t)
2
2
(T
- t)
-
e
-
F (e
)e
-
(-ln S)2
22(T -t)
d.
Wir substituieren mit =
- ln S und erg¨anzen quadratisch, so dass folgt:
f (t, S) =
e
1
2
2
(T -t)
2
2
(T
- t)
-
e
-
F (Se
)e
-
2
22(T -t)
d =
=
e
1
2
2
(T -t)
2
2
(T
- t)
-
F (Se
)e
-
+2(T -t)
2
-24(T -t)2
22(T -t)
d =
=
e
1
2
2
(T -t)(+
2
)
2
2
(T
- t)
-
F (Se
)e
-
+2(T -t)
2
22(T -t)
d.
(1.20)
Nach der Wahl der Parameter , und k =
2r
2
k¨
onnen wir berechnen:
+
2
=
-
1
4
(k + 1)
2
+
-
k
- 1
2
2
=
-k = -
2r
2
.
Wir w¨
ahlen nun = z + r
-
2
2
(T
- t). Jetzt setzen wir dies und die obige
Berechnung in die Gleichung (1.20) ein. Es folgt f¨
ur alle t
[0, T ]:
V
t
= f (t, S
t
) =
=
e
-r(T -t)
2
2
(T
- t)
-
F (S
t
e
r(T -t)
e
-
2
2
(T -t)
e
z
)e
-
z2
22(T -t)
dz. (1.21)
19
Wir bemerken, dass
1
2
2
(T -t)
e
-
z2
22(T -t)
die Dichte von
N (0,
2
(T
- t)) ist.
Mit der Definition 1.4 der Brown'schen Bewegung und den Eigenschaften der
Normalverteilung gilt:
(
B
T
- B
t
)
N (0,
2
(T
- t)).
Hiermit d¨
urfen wir die Gleichung (1.21) wie folgt schreiben:
V
t
= e
-r(T -t)
E F (S
t
e
r(T -t)
e
-
2
2
(T -t)+(B
T
-B
t
)
) .
(1.22)
Schritt 4:
Schritt 4:
Schritt 4: Hier leiten wir die Black-Scholes Formel her. Sei Y eine standard-
normalverteilte Zufallsvariable, so gilt:
Y
T
- t N (0,
2
(T
- t)).
Dann d¨
urfen wir die Gleichung (1.22) auch wie folgt schreiben:
V
t
= e
-r(T -t)
E F (S
t
e
r(T -t)
e
-
2
2
(T -t)+Y
T -t
) .
Mit Hilfe der Auszahlungsfunktion einer europ¨
aischen Call-Option
F (S) = (S
- K)
+
folgern wir:
V
t
= e
-r(T -t)
1
2
-
max S
t
e
r(T -t)
e
-
2
2
(T -t)+z
T -t
-K, 0 e
-
z2
2
dz. (1.23)
Wir schreiben das Maximum in dem Integral aus der Gleichung (1.23) um.
Dazu ben¨
otigen wir die Berechnung:
S
t
e
r(T -t)
e
-
2
2
(T -t)
e
T -tz
- K > 0
r(T - t) -
2
2
(T
- t) +
T
- tz > ln(
K
S
t
)
z >
ln(
K
S
t
)
- (r -
2
2
)(T
- t)
T
- t
z > -
ln(
S
t
K
) + (r
-
2
2
)(T
- t)
T
- t
=:
-d
2
.
Wir benutzen nun die Wahl von (
-d
2
) und die Gleichung (1.23) wird zu:
V
t
= e
-r(T -t)
-d
2
S
t
e
r(T -t)
e
-
2
2
(T -t)
e
T -tz
- K
1
2
e
-
z2
2
dz =
= e
-r(T -t)
-d
2
S
t
e
r(T -t)
e
-
2
2
(T -t)
e
T -tz
1
2
e
-
z2
2
dz
(
)
-
- e
-r(T -t)
-d
2
K
1
2
e
-
z2
2
dz
(
)
.
(1.24)
20
Wir bestimmen den ersten Term (
) der Gleichung (1.24):
(
) = S
t
e
-r(T -t)
e
r(T -t)
-d
2
e
-
2
2
(T -t)+
T -tz-
z2
2
1
2
dz =
= S
t
-d
2
1
2
e
-
1
2
(z-
T -t)
2
dz.
(1.25)
Wir w¨
ahlen z := d
2
, ~
z :=
-d
2
-
T
- t := -d
1
. Mit (
·) bezeichnen wir die
kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Dann setzen
wir diese Wahl in die Gleichung (1.25) ein. So ergibt sich:
(
) = S
t
-d
1
1
2
e
-
~
z2
2
d~
z =
= S
t
-
1
2
e
-
~
z2
2
d~
z
-
-d
1
-
1
2
e
-
~
z2
2
d~
z =
= S
t
(1
- (-d
1
)) =
= S
t
(d
1
).
Nun berechnen wir den zweiten Term (
) in der Gleichung (1.24):
(
) = e
-r(T -t)
-d2
K
1
2
e
-
z2
2
=
= e
-r(T -t)
K(1
- (-d
2
)) =
= e
-r(T -t)
K(d
2
).
Wir setzen die Ergebnisse von (
) und () in die Gleichung (1.24) ein und
wir erhalten:
V
t
= S
t
(d
1
)
- e
-r(T -t)
K(d
2
).
Es wurde der folgende Satz bewiesen:
Satz 1.12 (Black-Scholes-Formel f¨
ur Call-Optionen):
Der Wert einer europ¨
aischen Call-Option mit dem F¨
alligkeitsdatum T und
dem Strike-Preis K l¨
asst sich folgendermaßen bestimmen:
C(K, t, S
t
, T ) = S
t
(d
1
)
- Ke
-r(T -t)
(d
2
).
(1.26)
Hierbei bezeichnet die Funktion (
·) die Verteilungsfunktion der Standard-
normalverteilung:
(x) =
1
2
x
-
e
-
s2
2
ds.
(1.27)
Die Parameter d
1
und d
2
sind folgendermaßen gew¨
ahlt:
d
1,2
:=
ln(
S
t
K
) + (r
±
2
2
)(T
- t)
T
- t
.
(1.28)
21
Satz 1.13 (Black-Scholes-Formel f¨
ur Put-Optionen):
F¨
ur europ¨
aische Put-Optionen mit dem Aus¨
ubungsdatum T und dem Aus¨
ubungspreis
K l¨
asst sich ihr Wert wie folgt errechnen:
P (K, t, S, T ) = Ke
-r(T -t)
(
-d
2
)
- S(-d
1
).
(1.29)
Die Funktion (
·) ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
aus der Gleichung (1.27). Die beiden Parameter d
1
, d
2
sind wie in der Glei-
chung (1.28) gew¨
ahlt.
Beweis:
Wir benutzen die Call-Put-Parit¨
at:
S + P (K, t, S, T )
- C(K, t, S, T ) = Ke
-r(T -t)
.
Auf Grund der Symmetrie der Normalverteilung gilt:
P (K, t, S, T ) = C(K, t, S, T )
- S + Ke
-r(T -t)
=
= S((d
1
)
- 1) - Ke
-r(T -t)
((d
2
)
- 1)) =
= Ke
-r(T -t)
(
-d
2
)
- S(-d
1
).
Abbildung 1.2: Der Black-Scholes Preis einer europ¨
aischen Call-Option mit
K = 100, = 0.3 und r = 0.05.
Die Abbildung 1.2 zeigt, wie der Preis einer europ¨
aischen Call-Option in
Abh¨
angigkeit von Restlaufzeit und Aktienpreis variiert. Die Black-Scholes-
Formel liefert uns nach der Abbildung 1.2 h¨
ohere Optionspreise, falls Akti-
enpreis und Restlaufzeit ansteigen.
22
Kapitel 2
Klassische Bestimmung der
Volatilit¨
at
Motivation
In dem vorigen Kapitel 1 befassten wir uns mit dem Black-Scholes Modell.
In dieser Modellierung k¨
onnen wir Preise von europ¨
aischen Optionen mit der
Black-Scholes Formel aus dem Satz 1.12 bestimmen. Bei dieser Optionspreis-
berechnung ist lediglich die Volatilit¨
at unbekannt, falls wir den konstanten
Zinssatz r kennen.
Um diese Optionspreise genauer bestimmen zu k¨
onnen, ist eine Berechnung
der Volatilit¨
at erforderlich.
Es existieren einige klassische Ans¨
atze um die Volatilit¨
at zu berechnen.
In diesem Kapitel analysieren wir diese Methoden der Volatilit¨
atsfindung.
2.1
Historische Volatilit¨
at
Die historische Volatilit¨
at wird aus den vergangenen Kurs¨
anderungen der be-
trachteten Aktie berechnet. Im Allgemeinen beschreibt die historische Vola-
tilit¨
at
hist
die annualisierte Standardabweichung der logarithmischen Kurs-
¨
anderungen des Wertpapiers. Zuerst betrachten wir diese logarithmischen
Kurs¨
anderungen n¨
aher. Unser Vorgehen wird unter anderem von T. Bj¨
ork in
dem Buch [2] dargestellt.
23
2.1.1
Logarithmische Kursschwankungen
Es sei das Zeitintervall I = [0, t] gegeben, wobei t <
der gegenw¨artige
Zeitpunkt ist. Wir beobachten die vergangenen Kursst¨
ande der Aktie S
t
an
n+1 diskreten und ¨
aquidistanten Zeitpunkten. Die Aktienpreise werden wie
in dem Kapitel 1.3 nach Black-Scholes modelliert. Wir erhalten somit eine
diskrete Zerlegung des Zeitintervalls f¨
ur n
N \ {0}:
0 = t
0
t
1
· · · t
n
= t
mit
= t
i
- t
i-1
=
t
n
,
i = 1, . . . , n.
Als Erstes definieren wir die logarithmischen Kurs¨
anderungen wie folgt:
Y
i
= ln
S
t
i
S
t
i-1
= ln S
t
i
- ln S
t
i-1
,
i = 1, . . . , n
- 1.
(2.1)
Diese logarithmischen Kurs¨
anderungen werden auch Log
- Returns genannt
und deren Werte sind nur bis zum aktuellen Zeitpunkt t > 0 beobachtbar. Der
Aktienpreis (S(t
i
))
i=0,...,n
ist ein Diffusionsprozess und dessen Dynamik wird
durch die Gleichung (1.6) beschrieben. F¨
ur sp¨
atere Definitionen ben¨
otigen
wir die Dynamik der Log-Returns. Nun betrachten wir diese n¨
aher und ver-
wenden die n¨
achsten Ableitungen:
m(x) = ln(x),
m (x) =
x
m(x) =
1
x
und
m (x) =
2
x
2
m(x) =
-
1
x
2
.
Es folgt f¨
ur den ersten Term der Gleichung (2.1) mit der It^
o-Formel aus dem
Satz 1.6 und den Ableitungen von oben:
d ln S
t
i
=
1
S
t
i
dS
t
i
+
1
2
-
1
S
2
t
i
S
2
t
i
2
t
i
dt
i
.
(2.2)
Weiter folgt aus der Gleichung (2.2) mit der Modellgleichung (1.6):
d ln(S
t
i
) =
1
S
t
i
dS
t
i
-
1
2
2
t
i
dt
i
=
=
1
S
t
i
t
i
S
t
i
dt
i
+
1
S
t
i
t
i
S
t
i
d
B
t
i
-
1
2
2
t
i
dt
i
=
=
t
i
-
1
2
2
t
i
dt
i
+
t
i
d
B
t
i
.
(2.3)
24
Die Gleichung (2.3) lautet in Integralschreibweise:
ln(S
t
i
) = ln(S
0
) +
t
i
0
s
-
1
2
2
s
ds +
t
i
0
s
d
B
s
.
(2.4)
Benutzen wir dieselbe Vorgehensweise f¨
ur ln(S
t
i-1
), so ergibt sich:
ln(S
t
i-1
) = ln(S
0
) +
t
i-1
0
s
-
1
2
2
s
ds +
t
i-1
0
s
d
B
s
.
(2.5)
Wir setzen die beiden Gleichungen (2.4) und (2.5) in die Gleichung (2.1) der
Log-Returns ein. Es ergibt sich:
Y
i
= ln
S
t
i
S
t
i-1
=
t
i
0
s
-
1
2
2
s
ds +
t
i
0
s
d
B
s
-
-
t
i-1
0
s
-
1
2
2
s
ds
-
t
i-1
0
s
d
B
s
.
Es gilt t
i
> t
i-1
, also d¨
urfen wir f¨
ur die Log-Returns schreiben:
Y
i
=
t
i
t
i-1
s
-
1
2
2
s
ds +
t
i
t
i-1
s
d
B
s
.
(2.6)
25
2.1.2
Definition der historischen Volatilit¨
at
In diesem Abschnitt geben wir die Definition der historischen Volatilit¨
at an.
Wir modellieren die Aktienpreise durch eine geometrische Brown'sche Be-
wegung. Das bedeutet mit der Definition eines Wiener-Prozesses, dass die
logarithmischen Returns unabh¨
angig normal verteilt sind.
Zuerst beweisen wir skizzenhaft den folgenden Satz.
Satz 2.1:
Der Prozess (g
t
)
t>0
sei an die von der Brown'schen Bewegung erzeugte Fil-
tration
F
B
t
adaptiert und es gelte
t
0
E[g
2
]ds <
.
Zus¨
atzlich sei der Prozess (X
t
)
t>0
definiert durch:
X
t
=
t
0
g
d
B
.
Dann ist der Prozess (X
t
)
t>0
ein Martingal bez¨
uglich
F
B
t
.
Beweis:
Wir w¨
ahlen s > 0 fest und t > s. Nun gilt:
E[X
t
|F
B
s
] =
E
t
0
g
d
B
F
B
s
=
=
E
s
0
g
d
B
F
B
s
+
E
t
s
g
d
B
F
B
s
.
Das Integral in der ersten bedingten Erwartung ist nach der Definition des
stochastischen Integrals
F
B
t
-messbar und so ergibt sich:
E
s
0
g
d
B
F
B
s
=
s
0
g
d
B
.
Ebenfalls gilt nach der Proposition 4.4 in dem Buch [2] von T. Bj¨
ork:
E
t
s
g
d
B
F
B
s
= 0.
Zusammenfassend erhalten wir die Martingaleigenschaft:
E[X
t
|F
B
s
] =
s
0
g
d
B
= X
s
.
26
F¨
ur den Erwartungswert der Log-Returns d¨
urfen wir mit Hilfe der Gleichung
(2.6) und dem Satz 2.1 schreiben:
E[Y
i
] =
t
i
t
i-1
s
-
1
2
2
s
ds.
Um die Varianz der logarithmischen Schwankungen zu berechnen, ben¨
otigen
wir die n¨
achste Folgerung aus der Gleichung (2.6):
(Y
i
)
2
=
t
i
t
i-1
s
-
1
2
2
s
ds +
t
i
t
i-1
s
d
B
s
2
=
=
t
i
t
i-1
s
-
1
2
2
s
ds
2
+
t
i
t
i-1
s
d
B
s
2
+
+2
t
i
t
i-1
s
-
1
2
2
s
ds
t
i
t
i-1
s
d
B
s
.
(2.7)
Wir erhalten mit der Gleichung (2.7) und der It^
o-Isometrie:
V ar[Y
i
] =
E[Y
i
]
2
- E[Y
2
i
] =
E
t
i
t
i-1
s
d
B
s
2
=
=
t
i
t
i-1
2
s
ds.
In diesem Abschnitt beziehen wir uns auf einem diskreten Zeithorizont, das
heißt wir erhalten f¨
ur den Erwartungswert und die Varianz der Log-Returns:
E[Y
i
] =
t
i-1
-
1
2
2
t
i-1
(t
i
- t
i-1
)
und
V ar[Y
i
] =
2
t
i-1
(t
i
- t
i-1
).
Die historische Volatilit¨
at
hist
l¨
asst sich mit der Statistischen Theorie nun
definieren.
Definition 2.2:
Die historische Volatilit¨
at
hist
ist wie folgt definiert:
hist
=
1
(t
i
- t
i-1
)
1
n
- 1
n
i=1
(Y
i
- Y )
2
1
2
(2.8)
mit
Y =
1
n
n
i=1
Y
i
.
27
2.2
Implizite Volatilit¨
at
Eine andere M¨
oglichkeit die Volatilit¨
at zu bestimmen ist der Ansatz der
impliziten Volatilit¨
at.
Allgemein wird die implizite Volatilit¨
at mit Hilfe der Black-Scholes Formel
zur Optionspreisbestimmung berechnet. Diese Volatilit¨
atsfindung wird als
das inverse Problem der Finanzmathematik bezeichnet.
In dem n¨
achsten Abschnitt beschreiben wir das Vorgehen aus dem Buch [23]
von M.G¨
unter und J. Ansgar.
2.2.1
Inverses Problem der Finanzmathematik
In dem Kapitel 1.3.2 leiteten wir die Black-Scholes-Formel (1.26) f¨
ur konstan-
te Volatilit¨
at bereits her. Nun seien die Parameter S
t
, K, T und r aus dieser
Formel gegeben. Zus¨
atzlich nehmen wir an, dass uns die Preise der auf dem
Markt gehandelten Call-Optionen zu dem Zeitpunkt t < T bekannt sind.
Wir betrachten in der Regel einen Mittelwert ¨
uber alle Call-Optionspreise
mit dem gleichen Strike K und der gleichen Restlaufzeit = T
- t auf dem
selben Basiswert. Diesen Mittelwert bezeichnen wir mit C
obs
(K, t, S
t
, T ).
Die implizite Volatilit¨
at k¨
onnen wir aus der Optionspreisformel (1.26) be-
rechnen, da alle Parameter und der Optionspreis als bekannt vorausgesetzt
werden.
Jetzt zeigen wir die Eindeutigkeit dieses Ergebnisses.
Aus dem Satz 1.12 auf der Seite 21 wissen wir, dass die Parameter d
1
, d
2
aus
der Gleichung (1.28) von der Volatilit¨
at abh¨
angen. Also schreiben wir:
d
1
= d
1
(),
d
2
= d
2
()
und
C() = C(K, t, S
t
, T ) = S
t
(d
1
())
- Ke
-r(T -t)
(d
2
()).
Folglich ist die implizite Volatilit¨
at (K, ) die L¨
osung der Gleichung:
C((K, )) = C
obs
(K, t, S
t
, T ).
(2.9)
Bemerkung 2.3:
Wir notieren die implizite Volatilit¨
at mit (K, ), da wir diese als Abbildung
betrachten:
(K, ) :
R
+
× [0, T ] R
+
.
Diese Notation ist sinnvoll, weil f¨
ur verschiedene Werte von dem Strike K und
der Restlaufzeit die zugeh¨
origen impliziten Volatilit¨
aten auf dem gleichen
Basiswert variieren.
28
Es l¨
asst sich zeigen, dass die Gleichung (2.9) eine eindeutige L¨
osung besitzt
und zwar genau dann, wenn die folgenden Arbitrage-Schranken erf¨
ullt sind:
S
t
- Ke
-r(T -t) +
C
obs
(K, t, S
t
, T )
S
t
.
Die Arbitrage-Schranken garantieren f¨
ur die Funktion C()
-C
obs
(K, t, S
t
, T )
nicht negative Werte, falls
. Andererseits erhalten wir aus diesen
Schranken nicht positive Funktionswerte, falls
0.
Wir betrachten nun den Sensitivit¨
atsfaktor Vega
V, dessen Herleitung sich
in dem Anhang A.0.1 befindet:
V =
C() = S
t
T
- t (d
1
).
(2.10)
Wir erkennen, dass die Optionskennzahl
V strikt positiv ist. Daraus folgt,
dass die Abbildung
C() - C
obs
(K, t, S
t
, T ) monoton wachsend und ste-
tig ist. Also besitzt diese Funktion eine eindeutige Nullstelle. Diese Nullstelle
ist die eindeutige L¨
osung des Problems (2.9), n¨
amlich die implizite Volatilit¨
at
(K, ).
Die numerische L¨
osung des Problems (2.9) l¨
asst sich gut mit dem Newton-
Verfahren berechnen.
Die Nullstelle (K, ) der Funktion f () := C()
- C
obs
(K, t, S
t
, T ) appro-
ximieren wir also mit der Iteration:
k+1
=
k
-
f (
k
)
f (
k
)
.
Mit unseren Notationen ergibt sich:
k+1
=
k
-
C(
k
)
- C
obs
(K, t, S
t
, T )
C (
k
)
=
k
-
C(
k
)
- C
obs
(K, t, S
t
, T )
V(
k
)
.
Bemerkung 2.4:
Das Newton-Verfahren ist f¨
ur diese Problemstellung gut geeignet, da dieses
Verfahren eine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit besitzt.
29
Ende der Leseprobe aus 148 Seiten
- nach oben
Details
- Arbeit zitieren
- , 2011, Dynamische Modelle mit Hilfe der lokalen Volatilität, Hamburg, Bedey Media GmbH, https://www.diplom.de/document/229193
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