Torsten Narjes
Das lineare Filterproblem in separablen Hilberträumen
Mit einer Einführung in die stochastische Integration einschließlich Behandlung der Ito-
Formel
ISBN: 978-3-8366-3809-8
Herstellung: Diplomica® Verlag GmbH, Hamburg, 2009
Zugl. Christian-Albrechts-Universität zu Kiel, Kiel, Deutschland, Diplomarbeit, 1992
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http://www.diplomica.de, Hamburg 2009
VORWORT UND EINLEITUNG
i
Vorwort und Einleitung
Zum Verst¨andnis dieser Diplomarbeit sind gute Kenntnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie
und Integrationstheorie sowie Grundkenntnisse in Funktionalanalysis hilfreich.
Im Mittelpunkt meiner Diplomarbeit stehen zwei Themenbereiche, die ich nun kurz
vorstellen m¨ochte. Die Kapitel 16 geben eine umfangreiche Einf¨uhrung in die Theorie
der stochastischen Integration in Hilbertr¨aumen, wobei ich in Kapitel 13 zun¨achst grund-
legende Begriffe wie z. B. Stoppzeit, Martingal oder bedingte Erwartung behandle. Daran
schließt sich die eigentliche Einf¨
uhrung in die stochastische Integration in Hilbertr¨aum-
en an, wobei das Buch von M. M´
etivier
und J. Pellaumail [13] die Basis f¨
ur den
von mir gew¨ahlten Zugang bildet. In Kapitel 4 werden dabei neben den grundlegenden
Definitionen die Eigenschaften stochastischer Integrale und Integralprozesse sowie Kon-
vergenzs¨atze f¨
ur Folgen stochastischer Integralprozesse behandelt. In Kapitel 5 definiere
ich die quadratischen und tensor-quadratischen Variationsprozesse und erarbeite wichtige
Aussagen ¨
uber diese Prozesse -- dies dient zur Vorbereitung von Kapitel 6, das mit der
Ito-Formel f¨
ur stochastische Prozesse in Hilbertr¨aumen und einigen Korollaren hieraus
die von mir gegebene Einf¨
uhrung in die Theorie der stochastischen Integration abschließt.
Die umfangreiche Behandlung der Theorie der stochastischen Integration ist als Un-
terbau f¨
ur die Kapitel 79 erforderlich, die das lineare Filterproblem in separablen Hil-
bertr¨aumen behandeln. Hierbei handelt es sich um einen Gegenstand der stochastischen
Kontrolltheorie. In der deterministischen Kontrolltheorie interessieren wir uns allgemein
f¨
ur lineare differentielle dynamische Systeme, d. h. f¨
ur mathematische Modelle eines Teils
der Realit¨at, an dessen zeitlicher Ver¨anderung wir interessiert sind -- die Bezeichnung
"
linear differentiell" dr¨
uckt hierbei aus, daß nur solche Systeme betrachtet werden sollen,
die sich durch lineare Differentialgleichungen beschreiben lassen. Wenn t
IR der Zeit-
parameter, x(t) der Systemzustand, u(t) die Eingangsgr¨oße und y(t) die Ausgangsgr¨oße
zum Zeitpunkt t ist (x, u, y haben Werte in Vektorr¨aumen), so hat ein solches System
z. B. die Gestalt
x
(t) = F (t) x(t) + B(t) u(t)
y
(t) = G(t) x(t)
System
Umgebung
-
-
Eingang
Ausgang
Zustand x
u
y
Der Systemzustand zum Zeitpunkt t ist dabei eine Gr¨oße, die s¨amtliche Informationen
ii
VORWORT UND EINLEITUNG
¨
uber die Vorgeschichte des Systems enth¨alt, die f¨
ur die weitere zeitliche Entwicklung des
Systems relevant ist (nach [11, S. 10]). Der Ausgang y beschreibt die Wirkung des Systems
auf seine Umgebung, die von einem Beobachter außerhalb des Systems erfaßt werden
kann. Der Eingang u beschreibt den Einfluß der Umgebung auf das System. Enth¨alt u
sogenannte Stellgr¨oßen, d. h. Parameter, die im Laufe der Zeit beliebig variiert werden
k¨onnen, so haben wir ein Kontrollsystem vorliegen. Einen Regelkreis erhalten wir, wenn der
Eingang u auch eine Funktion der Beobachtungen y ist. Im allgemeinen wird u daneben
auch unbeeinflußbare und zeitlich nicht vorhersehbare St¨orungen beschreiben.
In der stochastischen Kontrolltheorie ber¨
ucksichtigt man zuf¨allige St¨oreinfl¨
usse auf ein
System und auf die Messung der Beobachtungen jeweils durch Terme, in denen Prozeßse
mit dem Namen
"
Weißes Rauschen" auftreten. Damit sind Systemzustand und Beob-
achtungen durch stochastische Prozesse zu beschreiben, so daß wir formal (!) folgendes
System erhalten (Wir lassen jetzt die Regelbarkeit außer acht):
dX
t
dt
= F (t) X
t
+ C(t)
dU
t
dt
Y
t
= G(t) X
t
+ D(t)
dV
t
dt
Hierbei sind U und V voneinander stochastisch unabh¨angige Brown'sche Bewegungen
(s. u.). In heuristischer Weise l¨aßt sich ein weißes Rauschen als Zeitableitung einer Brown'-
schen Bewegung interpretieren (siehe z. B. [14, S. 14] und [11, S. 176 ff.]), jedoch ist dies
rein formal, da Brown'sche Bewegungen fast sicher nirgendwo differenzierbare Pfade haben
(siehe z. B. [10, S. 110 f.]), und weil ein weißes Rauschen W Eigenschaften besitzt, die kein
gew¨ohnlicher stochastischer Prozeß besitzen kann, dessen Realisierungen Hilbertraum-
wertige Funktionen sind (siehe [14, S. 13] und [9, S. 10]):
(i) EW
t
= 0 f¨
ur alle t
(ii) W ist station¨ar, d. h. die gemeinsame Verteilung von (W
t+t
1
, . . . W
t+t
k
) h¨angt nicht
von t ab
(iii) W
s
und W
t
sind stochastisch unabh¨angig f¨
ur s = t, und es ist Cov(W
s
, W
t
) =
I
(t
- s) mit IR.
Aus diesen Gr¨
unden betrachtet man statt des obigen Systems das durch formales Aufin-
tegrieren entstehende System folgender stochastischer Integralgleichungen
1
:
X
t
=
]0,t]
F
(s) X
s
ds
+
]0,t]
C
(s) dU
s
]0,t]
Y
s
ds
=
]0,t]
G
(s) X
s
ds
+
]0,t]
D
(s) dV
s
.
Als Filterproblem bezeichnet man nun die Aufgabe, ausgehend von den Beobachtungen
Y
den (nicht voll zug¨anglichen) Systemzustand X
"
optimal" zu sch¨atzen, um z. B. einen
1
Die Theorie stochastischer Integralgleichungen ist kein Gegenstand dieser Diplomarbeit. Siehe Seite
162
VORWORT UND EINLEITUNG
iii
optimalen stochastischen Regler konstruieren zu k¨onnen. Bei diesem Beispiel spricht man
pr¨aziser vom linearen Filterproblem, da ein System linearer stochastischer Integralglei-
chungen zugrundeliegt. F¨
ur den Fall endlichdimensionaler Hilbertr¨aume ist die L¨osung
des linearen Filterproblems bekannt und findet unter dem Namen Kalman-Bucy-Filter
zahlreiche Anwendungen. Der unendlichdimensionale Fall ist jedoch noch Gegenstand
aktueller Arbeiten und bereitet eigent¨
umliche Schwierigkeiten, wenn der Raum der Beob-
achtungen unendlichdimensional ist (vgl. z. B. den Fehler in [1, S. 155]). Ich beschr¨anke
mich in meiner Arbeit auf den Fall, daß der Systemzustand Werte in separablen Hilber-
tr¨aumen und die Beobachtungen Werte in endlichdimensionalen Hilbertr¨aumen annehmen
k¨onnen.
Weitere Informationen zur Kontrolltheorie und Systemtheorie findet der Leser bei-
spielsweise in [11].
Neben den beiden großen Themenbereichen
"
Stochastische Integration" und
"
Lineares
Filterproblem" enth¨alt diese Arbeit im Anhang Informationen u. a. ¨
uber Vektorkonjuga-
tion, Kovarianz-Operatoren und Charakterisierung Brown'scher Bewegungen in separa-
blen Hilbertr¨aumen, soweit f¨
ur diese Arbeit erforderlich. Weitergehende Informationen zu
Brown'schen Bewegungen erh¨alt der Leser in [10]. Zu vielen anderen wahrscheinlichkeits-
theoretischen Aspekten in Banachr¨aumen ist die Lekt¨
ure des Buchs von N.N. Vakhania
et al. [16] sehr empfehlenswert.
Die Anregung zu dieser Arbeit entsprang einem Seminarvortrag, den ich im Februar
1990 zusammen mit M. Baudach im mathematischen Seminar zum Thema
"
stochasti-
sche Filtertheorie" (Prof'es Dr'es J. Ahrens, A. Irle, V. Wrobel) gehalten habe und
in dem der eindimensionale Fall des linearen Filterproblems im Mittelpunkt stand. Als
Lekt¨
ure diente das Buch von B. Øksendal [14], aus dem ich zentrale Gedankeng¨ange
auch f¨
ur diese Arbeit entnommen habe -- dies betrifft Kapitel 7, aber auch Kapitel 9.
Ohne intensive Unterst¨
utzung und Betreuung w¨are eine derartige Arbeit nicht m¨oglich
gewesen. Eine Danksagung und die eidesstattliche Erkl¨arung findet der Leser am Ende
der Diplomarbeit.
Kronshagen, im Juli 1992
Torsten Narjes
INHALTSVERZEICHNIS
v
Inhaltsverzeichnis
Notationen und Symbole
ix
1 Stochastische Prozesse
1
1.1 Filtrierungen und stochastische Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Der Begriff des stochastischen Prozesses
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 Modifikation und P - ¨
Aquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4 Adaptierte stochastische Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.5 Die -Algebra der vorhersagbaren Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2 Zufallszeiten
9
2.1 Zufallszeiten: Definition und allgemeine Eigenschaften . . . . . . . . . . . .
9
2.2 Stoppzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3 Lokalisierung und Pr¨alokalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Martingale, bedingte Erwartung und Dol´
eans-Funktionen
15
3.1 Die bedingte Erwartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Die Dol´eans-Funktion stochastischer Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Martingale, Submartingale und Supermartingale . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Orthogonalinkrement-Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Stochastische Integration I. Einf¨
uhrung in die stochastische Integration 25
4.1 Stochastische Integration von Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Stochastische Integration bez¨
uglich (L,J,K)-L
2
-primitiver Integratoren.
Der Begriff des dominierenden Maßes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3 Dominierende Maße bei quadratintegrierbaren Martingalen . . . . . . . . . 39
4.4 Dominierende Maße bei Prozessen von endlicher Variation. Zusammenhang
zwischen stochastischem und Lebesgue-Stieltjes-Integral . . . . . . . . . . . 43
4.5 Stochastische Integration bez¨
uglich -Prozessen . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.6 Ein Lemma zur Vertauschbarkeit von stochastischer und gew¨ohnlicher In-
tegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 Stochastische Integration II. Quadratische Variation und
Tensorvariation
51
5.1 Die quadratischen Variationsprozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Die reinen tensor-quadratischen Variationsprozesse
. . . . . . . . . . . . . 66
5.3 Die gemischt tensor-quadratischen Variationsprozesse . . . . . . . . . . . . 76
vi
INHALTSVERZEICHNIS
5.4 Kreuzvariationsprozesse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.5 Quadratische und Tensor-Variationsprozesse
bei cadlag quadratintegrierbaren Martingalen . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 Stochastische Integration III. Ito-Formel und Ito-Isometrie
85
6.1 Vorbereitungen f¨
ur die Ito-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Ito-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3 Transformationsformeln f¨
ur Tensor-Variationsprozesse und Kovarianzen . . 99
6.4 Ito-Isometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7 Das lineare Filterproblem I. Einf¨
uhrung in das lineare Filterproblem 109
7.1 Die Situation beim allgemeinen Filterproblem . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2 Situation und Spezialisierungen beim linearen Filterproblem . . . . . . . . 111
7.3 Einschub: Die Wiener-Hopf-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.4 Von der Definition des Sch¨atzers zu einer ersten analytischen Darstellung . 116
8 Das lineare Filterproblem II. Zum Problem der t-Meßbarkeit und
Integral-Darstellbarkeit des Sch¨
atzers
123
8.1 Eine Integraldarstellung f¨
ur ^~
X
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.2 Die Konsequenzen der Wiener-Hopf-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.3 Die Fredholm'schen Integralgleichungen f¨
ur den Sch¨atzerkern k(t, u). Un-
tersuchung der Integraloperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.4 Nachweis der t-Meßbarkeit des Integralkerns k(t, u) . . . . . . . . . . . . . 140
9 Das lineare Filterproblem III. Vom Innovationsprozeß zum
Kalman-Bucy-Filter-Theorem
147
9.1 Der Innovationsprozeß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.2 Die innovative Brown'sche Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.3 Erste Integraldarstellung des Sch¨atzers in Abh¨angigkeit vom Systemprozeß 155
9.4 Der Systemprozeß X als L¨osung einer stochastischen Integralgleichung . . . 157
9.5 Der martingalisierte Systemprozeß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.6 Kovarianzfunktionen und Sch¨atzfehlerfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.7 Explizite Integraldarstellung des Sch¨atzers unter Benutzung der Sch¨atzfeh-
lerfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
9.8 Eigenschaften der Sch¨atzfehler- und Kovarianzfunktionen. Die Sch¨atzfeh-
lerfunktion als L¨osung einer Riccati'schen Differentialgleichung . . . . . . . 168
9.9 Das Kalman-Bucy-Filter-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
A Mehrfachintegrals¨
atze
173
B Der Volterra'sche Integraloperator mit L
2
-Kern
177
C Differentiation in Banachr¨
aumen
183
C.1 Die Fr´echet'sche Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
C.2 Mehrfache Ableitungen. Der Satz von Taylor mit Integralrestglied in ten-
sorieller Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
INHALTSVERZEICHNIS
vii
D Hilbert-Schmidt-Norm und -Skalarprodukt
187
E Vektorkonjugation und kanonische Isometrie
189
E.1 Vektorkonjugation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
E.2 Operatorkonjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
E.3 Kanonische Isometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
E.4 Die Wirkung des Tensorprodukts von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . 191
F Kovarianz-Operatoren bei Hilbertraum-wertigen Zufallsgr¨
oßen
193
G Gauß'sche Zufallsgr¨
oßen und Prozesse
199
G.1 Gauß'sche Zufallsgr¨oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
G.2 Gauß'sche Prozesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
H Brown'sche Bewegungen
207
H.1 Die reelle eindimensionale Brown'sche Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . 207
H.2 Die komplexe eindimensionale Brown'sche Bewegung . . . . . . . . . . . . 211
H.3 Brown'sche Bewegungen mit Werten in separablen Hilbertr¨aumen . . . . . 215
Literaturverzeichnis
221
Danksagung
225
NOTATIONEN UND SYMBOLE
ix
Notationen und Symbole
a
b (a,b IR) = min{a,b}
a
b (a,b IR) = max{a,b}
f
|
A
Restriktion der Abbildung f auf A
i
f
Partielle Ableitung der Funktion f nach der i-ten Va-
riable
L
p
K
(H)
Raum der p-Lebesgue-integrierbaren Funktionen auf H
mit Werten in K
L
p
K
(H)
Raum der ¨
Aquivalenzklassen p-Lebesgue-integrierbarer
Funktionen auf H mit Werten in K
L(H,K)
Raum der stetigen linearen Abbildungen des Vektor-
raums H in den Vektorraum K
HS(H,K)
Raum der Hilbert-Schmidt-Operatoren, die vom Hil-
bertraum H in den Hilbertraum K abbilden
Aut(H)
Raum der Automorphismen des Vektorraums H
·|·
H
Skalarprodukt im Hilbertraum H
P
H
(x)
Orthogonale Projektion des Hilbertraumelements x auf
den Unterhilbertraum H
x
(x
H)
Vektorkonjugation im komplexen separablen Hilbert-
raum H
S. 189
H
= L(H, I
C)
Der zum Hilbertraum H duale Raum
h
=
·|h
H
Das zu h
H duale Element aus H
A
Der zum Operator A adjungierte Operator
H ^
2
H
Vervollst¨andigung von H
H bzgl. der durch das Ska-
larprodukt x
y|x y
:= x
|x
H
y
|y
H
erzeugten
Norm
·
x
n
= x
x ··· x
n
-mal
S. 184
x
= x
2
x
= x
x
x
NOTATIONEN UND SYMBOLE
(,
F,P)
Wahrscheinlichkeitsraum mit -Algebra
F und Wahr-
scheinlichkeitsmaß P
E
Erwartungswert
Var
Varianz
Cov
Kovarianz
E(Y
|G)
Bedingte Erwartung von Y bzgl. der -Algebra
G
{F
t
, t
T} Filtrierung
S. 1
{F
X
t
, t
T} Vom stochastischen Prozeß X erzeugte Filtrierung
S. 5
X
u
, X
u
Bei bzw. unmittelbar vor der Stoppzeit u gestoppter sto-
chastischer Prozeß X
S. 13
[X]
Quadratischer Variationsprozeß des stochastischen Pro-
zesses X
S. 53
[X]
c
,
[X]
d
Stetiger bzw. unstetiger Teil von [X]
S. 63
[[X]]
Reiner tensor-quadratischer Variationsprozeß des sto-
chastischen Prozesses X
S. 67
[[X]]
Gemischt tensor-quadratischer Variationsprozeß des sto-
chastischen Prozesses X
S. 76
[X, Y ]
Skalarer Kreuzvariationsprozeß der stochastischen Pro-
zesse X und Y
S. 78
[[X, Y ]]
Tensorieller Kreuzvariationsprozeß der stochastischen
Prozesse X und Y
S. 80
C
B
Kovarianzparameter der Brown'schen Bewegung B
S. 215
^
Y
Bester Sch¨atzer f¨
ur die Zufallsgr¨oße Y
S. 110
~
X
Driftfreier Prozeß zum Prozeß X
S. 116
L
H
,
K
H
,
N
H
Spezielle Unterr¨aume von L
2
H
(,
F,P)
S. 110, 116
KAPITEL 1. STOCHASTISCHE PROZESSE
1
Kapitel 1
Stochastische Prozesse
Wir wollen zu Beginn neben der Definition des Begriffs
"
Stochastischer Prozeß" weitere
grundlegende Definitionen bereitstellen, die f¨
ur das Arbeiten mit stochastischen Prozessen
unerl¨aßlich sind -- erg¨anzt durch einige einfache Schlußfolgerungen und Bemerkungen.
Im folgenden ist (,
F,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und T ein 0 enthaltendes,
abgeschlossenes Teilintervall von [0,
[. Ist T ein Intervall endlicher L¨ange, so setzen wir
t
m
:= max T .
1.1
Filtrierungen und stochastische Basen
Definition 1.1 Sei (,
F,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
a) Eine wachsende Familie
{F
t
, t
T} von -Unteralgebren von F heißt eine Filtrie-
rung von
F.
b) Eine stochastische Basis ist ein Tripel (,
F,{F
t
, t
T}), wobei {F
t
, t
T} eine
Filtrierung von
F ist.
c) Eine stochastische Basis mit Wahrscheinlichkeitsmaß P ist ein Quadrupel
(,
F,{F
t
, t
T},P), wobei {F
t
, t
T} eine Filtrierung von F ist.
Definition 1.2 (nach [3, S. 31] und [13, S. 2])
a) Ein Wahrscheinlichkeitsraum (,
F,P) heißt vollst¨andig genau dann, wenn gilt:
F
F,P(F) = 0,G F = G F (und damit P(G) = 0).
b) Eine stochastische Basis (,
F,{F
t
, t
T},P) heißt vollst¨andig genau dann, wenn
(,
F,P) vollst¨andig ist und dar¨uberhinaus gilt:
F
F,P(F) = 0 = F F
0
.
Anmerkung. In Zukunft wollen wir nur vollst¨andige stochastische Basen betrachten.
2
KAPITEL 1. STOCHASTISCHE PROZESSE
Definition 1.3 Zu einer Filtrierung
{F
t
, t
T} definieren wir weitere Filtrierungen
{F
t+
, t
T} und {F
t-
, t
T} durch
F
t+
:=
sT ]t,[
F
s
bzw.
F
t-
:=
s[0,t[
F
s
f¨ur jedes t
T.
Definition 1.4 Eine Filtrierung
{F
t
, t
T} von F heißt rechtsseitig (bzw. linksseitig)
stetig genau dann, wenn
F
t
=
F
t+
(bzw.
F
t
=
F
t-
)
f¨ur alle t
T gilt.
1.2
Der Begriff des stochastischen Prozesses
H sei im folgenden ein Banachraum, versehen mit der Borel'schen -Algebra
H.
Definition 1.5 Ein H-wertiger stochastischer Prozeß X ist eine -- im allgemeinen ¨uber-
abz¨ahlbare -- Familie von Zufallsgr¨oßen
X
t
: (,
F
t
)
(H,H),
indiziert durch t
T. X ist damit auch eine Abbildung
t
X
t
: T
L
0
H
(,
F,P).
Gelegentlich schreibt man auch X =
{X
t
, t
T}.
Anmerkung. Ist X ein stochastischer Prozeß im Sinne obiger Definition, so wird mit-
unter auch die Abbildung
(, t)
X
t
() :
× T H
als stochastischer Prozeß bezeichnet.
Definition 1.6
a) Sei (,
F) ein meßbarer Raum und X ein H-wertiger stochastischer Prozeß. Der
stochastische Prozeß X heißt meßbar genau dann, wenn die Abbildung
(, t)
X
t
() : (
× T,F B(T)) (H,H)
meßbar ist (d. h. wenn f¨ur jedes A
H die Menge {(,t) × T : X
t
()
A} zur
-Algebra
F B(T) geh¨ort).
KAPITEL 1. STOCHASTISCHE PROZESSE
3
b) Sei (,
F,{F
t
, t
T}) eine stochastische Basis und X ein H-wertiger stochastischer
Prozeß. X heißt progressiv meßbar bez¨uglich der Filtrierung
{F
t
, t
T} von F genau
dann, wenn f¨ur jedes t
T die Abbildung
(, s)
X
s
() : (
× [0,t],F
t
B([0,t])) (H,H)
meßbar ist (d. h. wenn f¨ur jedes t
T und A H die Menge
{(,s) × [0,t[: X
s
()
A}
zur -Algebra
F
t
B([0,t]) geh¨ort).
Definition 1.7 Der zu
geh¨orige Pfad eines H-wertigen stochastischen Prozesses
X
ist die Abbildung
t
X
t
() : T
H.
Anmerkung.
Ist H ein Banachraum, so betrachtet man im allgemeinen anstelle
von
L
0
H
(,
F,P) die Menge L
0
H
(,
F,P) der P-
¨
Aquivalenzklassen von Elementen aus
L
0
H
(,
F,P). Entsprechend betrachtet man dann den stochastischen Prozeß X im Sinne
von
t
X
t
: T
L
0
H
(,
F,P).
und spricht von X gelegentlich mit dem Zusatz, daß X
"
nur bis auf Modifikation" definiert
ist (Zum Begriff der Modifikation: Siehe n¨achster Abschnitt).
In unseren Betrachtungen werden sehr h¨aufig Prozesse mit Pfaden auftreten, die halbseitig
stetig sind und zur anderen Seite wenigstens einen Grenzwert besitzen. Diese Erscheinun-
gen wollen wir in Zukunft mit abk¨
urzenden Begriffen bezeichnen:
Definition 1.8 Sei H ein Banachraum.
a) Eine Funktion f : T
H heißt cadlag, wenn sie rechtsseitig stetig ist und f¨ur jedes
t
T \ {0} der linksseitige Grenzwert lim
st
f
(s) existiert.
Entsprechend heißt f caglad, wenn f linksseitig stetig ist und f¨ur jedes t
T \ {t
m
}
der rechtsseitige Grenzwert lim
st
f
(s) existiert.
b) Ein H-wertiger stochastischer Prozeß X heißt cadlag (bzw. caglad) genau dann, wenn
P
-fast alle Pfade von X cadlag (bzw. caglad) sind.
1.3
Modifikation und P - ¨
Aquivalenz
Definition 1.9 Seien (,
F,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X, Y zwei H-wertige
stochastische Prozesse.
a) Y heißt eine Modifikation von X (oder umgekehrt) genau dann, wenn gilt:
P
(
{ : X
t
() = Y
t
()
}) = 1 f¨ur jedes t T.
4
KAPITEL 1. STOCHASTISCHE PROZESSE
b) X und Y heißen ununterscheidbar oder P -¨aquivalent genau dann, wenn gilt:
P
(
{ : X
t
() = Y
t
() f¨ur alle t
T}) = 1.
c) X und Y heißen gleich genau dann, wenn f¨ur alle (, t)
× T X
t
() = Y
t
() gilt.
Bemerkung 1.10 Die in obiger Definition unter a), b), c) aufgef¨uhrten Relationen zwi-
schen stochastischen Prozessen sind ¨
Aquivalenzrelationen.
Anmerkung.
Der Leser beachte in Definition 1.9 den Unterschied zwischen a) und
b): Sind zwei stochastische Prozesse X und Y Modifikationen voneinander, so bedeutet
dies, daß X
t
und Y
t
f¨
ur jedes t
T P-fast sicher ¨ubereinstimmen. Sind X und Y jedoch
P
-¨aquivalent, so haben X und Y P -fast sicher dieselben Pfade: Eigenschaft b) ist st¨arker.
Definition 1.11 (nach [12, S. 4])
a) Ein stochastischer Prozeß X : T
L
0
H
(,
F,P) heißt evaneszent genau dann, wenn
P
(
{ : X
t
() = 0 f¨ur alle t
T}) = 1
ist, d. h. wenn er P -¨aquivalent zum Null-Prozeß ist.
b) Eine Menge A
×T heißt evaneszent genau dann, wenn der stochastische Prozeß
1
A
evaneszent ist.
Definition 1.12 Seien
X
: T
L
0
H
(,
F,P) und Y : T L
0
H
(,
F,P)
zwei stochastische Prozesse. X und Y besitzen dieselben endlichdimensionalen Verteilungen
genau dann, wenn f¨ur jedes n
IN und t
1
< t
2
< . . . < t
n
mit
{t
1
, . . . t
n
} T und f¨ur
jedes A
B(H
n
)
P
((X
t
1
, X
t
2
, . . . X
t
n
)
A) = P((Y
t
1
, Y
t
2
, . . . Y
t
n
)
A)
gilt.
Lemma 1.13 Seien X, Y zwei H-wertige stochastische Prozesse. Ist Y eine Modifikation
von X und besitzen X und Y f¨ur P -fast alle
rechtsseitig stetige Pfade, so sind X
und Y ununterscheidbar.
Beweis. Wir definieren die Mengen
C
X
:=
: lim
st
X
s
() = X
t
() f¨
ur alle t
T und
C
Y
:=
: lim
st
Y
s
() = Y
t
() f¨
ur alle t
T .
KAPITEL 1. STOCHASTISCHE PROZESSE
5
Nach Voraussetzung ist P (C
X
) = P (C
Y
) = 1, ferner ist P (
{ : X
t
() = Y
t
()
}) = 1
f¨
ur jedes t
T, also P({ : X
t
() = Y
t
()
}) = 0 f¨ur jedes t T. Somit ist auch die
Menge
{ : X
r
() = Y
r
() f¨
ur ein r
T IQ}
als abz¨ahlbare Vereinigung von P -Nullmengen selbst eine P -Nullmenge. Also ist
P
(
{ : X
r
() = Y
r
() f¨
ur alle r
T IQ}) = 1.
Da jede reelle Zahl als Limes einer monoton fallenden Folge rationaler Zahlen darstellbar
ist, gilt
{ : X
t
() = Y
t
() f¨
ur alle t
T}
{ : X
r
() = Y
r
() f¨
ur alle r
T IQ} C
X
C
Y
;
letztere ist eine Menge vom P -Maß 1.
1.4
Adaptierte stochastische Prozesse
Definition 1.14 Sei (,
F,{F
t
, t
T}) eine stochastische Basis. Ein H-wertiger sto-
chastischer Prozeß X heißt an die Filtrierung
{F
t
, t
T} von F adaptiert genau dann,
wenn
X
t
: (,
F
t
)
(H,H)
f¨ur jedes t
T eine Zufallsgr¨oße ist, also F
t
-
H-meßbar ist.
Definition 1.15 Die durch
F
X
t
:= X
-1
s
(A) : s
[0,t],A H , t T,
gegebene Filtrierung
{F
X
t
, t
T} von F heißt die durch den stochastischen Prozeß X
erzeugte Filtrierung von
F.
Bemerkung 1.16 Sei (,
F,{F
t
, t
T}) eine stochastische Basis. Der H-wertige sto-
chastische Prozeß X sei an die Filtrierung
{F
t
, t
T} von F adaptiert. Dann ist F
X
t
F
t
f¨ur alle t
T.
Beweis. F¨
ur jedes t
T ist F
X
t
die gr¨obste -Algebra, bez¨
uglich der X
t
eine Zufallsgr¨oße
ist.
Definition 1.17 Sei X ein an die selbst erzeugte Filtrierung
{F
X
t
, t
T} adaptierter
H-wertiger Prozeß.
a) Ist dann die Erwartungsfunktion (vgl. [2, S.380])
t
EX
t
: T
H
konstant, so heißt X driftfrei, andernfalls heißt X mit Drift behaftet. Ein driftfreier
Prozeß heißt auch ein Prozeß mit zentrierten Zuw¨achsen, da die Driftfreiheit ¨aquiva-
lent ist zur Eigenschaft
E(X
t
- X
s
) = 0
f¨ur alle s, t
T.
6
KAPITEL 1. STOCHASTISCHE PROZESSE
b) X heißt ein Prozeß mit unabh¨angigen Zuw¨achsen genau dann, wenn f¨ur alle s, t
T
mit s
t die Zufallsgr¨oße X
t
- X
s
stochastisch unabh¨angig von der -Algebra
F
X
s
ist. Hierzu ¨aquivalent ist folgende Eigenschaft:
F¨ur alle s
1
, t
1
, s
2
, t
2
T mit s
1
< t
1
, s
2
< t
2
und ]s
1
, t
1
]
]s
2
, t
2
] =
sind X
t
1
- X
s
1
und X
t
2
- X
s
2
voneinander stochastisch unabh¨angig.
1.5
Die -Algebra der vorhersagbaren Mengen
Im folgenden werden Mengen und Mengenringe auf
× T eingef¨uhrt, die eine dominante
Rolle in der stochastischen Integrationstheorie spielen.
Definition 1.18
a) Der Mengenhalbring
R der Rechteckmengen auf × (T \ {0}) bez¨uglich der Filtrie-
rung
{F
t
, t
T} ist gegeben durch
R := {F×]s,t] :]s,t] T,F F
s
}.
b) Mit
A bezeichnen wir dann den von R auf × (T \ {0}) erzeugten Mengenring
(Boole'schen Ring).
c)
P := (R) heißt die -Algebra der vorhersagbaren Mengen auf × (T \ {0}) bez¨uglich
der Filtrierung
{F
t
, t
T}.
d) Ein H-wertiger stochastischer Prozeß X heißt vorhersagbar bez¨uglich der Filtrierung
{F
t
, t
T} genau dann, wenn die Abbildung
(, t)
X
t
() : (
× T,P) (H,H)
meßbar ist.
Jede Menge des Mengenrings
A besitzt folgende wichtige Zerlegungseigenschaft
1
:
Lemma 1.19 Zu jedem A
A existiert eine endliche Familie (A
i
)
iI
mit A
i
R f¨ur
i
I, die eine Partition von A bildet.
Beweis. Sei
A das Mengensystem aller A A, die eine endliche Familie (A
i
)
iI
, mit
A
i
R f¨ur i I, als Partition besitzen.
Gewiß ist
R A A , und wenn A ein Mengenring ist, so muß, da A von R
erzeugt ist, auch
A A gelten, also insgesamt A = A . Im folgenden zeigen wir, daß A
ein Mengenring ist.
Unmittelbar klar ist, daß mit A, B
A auch A B A ist. Zu zeigen ist demnach
nur noch, daß mit A, B
A auch A \ B A ist.
Seien nun also A, B
A . Dies bedeutet nach Definition von A , daß jeweils endliche
Familien von Mengen aus
R existieren, die Partitionen von A bzw. B darstellen. Sei nun
1
Siehe auch [5, Lemma 1.20 1.22]
KAPITEL 1. STOCHASTISCHE PROZESSE
7
(B
i
)
1in
R eine endliche disjunkte Familie mit B =
n
i=1
B
i
.
Wir definieren nun C
1
, C
2
, . . . C
n+1
rekursiv durch
C
1
:= A, C
i+1
:= C
i
\ B
i
f¨
ur i = 1, . . . n.
Dann ist
C
n+1
= A
\
n
i=1
B
i
= A
\ B.
Hierbei wird deutlich, daß der Beweis fertig ist, wenn gilt:
D
A B
i
R = D \ B
i
A .
Dies ist aber klar, da D =
jJ
D
j
mit einer endlichen, disjunkten Familie (D
j
)
jJ
R
gilt und die Differenz zweier Rechteckmengen als disjunkte Vereinigung von maximal 4
Rechteckmengen dargestellt werden kann.
Bemerkung 1.20 Seien A
i
R f¨ur i {1,2}, also A
i
= F
i
×]s
i
, t
i
] mit F
i
F
s
i
.
Aus A
1
A
2
=
folgt dann sofort
F
1
F
2
=
]s
1
, t
1
]
]s
2
, t
2
] =
.
Lemma 1.21 Die -Algebra
P der vorhersagbaren Mengen bez¨uglich der Filtrierung
{F
t
, t
T} stimmt mit der -Algebra P
+
der vorhersagbaren Mengen bez¨uglich der Fil-
trierung
{F
t+
, t
T} ¨uberein.
Beweis. Wegen
F
t
F
t+
f¨
ur t
T gilt f¨ur die entsprechenden Systeme der Rechteck-
mengen
R R
+
und daher schließlich
P P
+
.
Zur umgekehrten Inklusion: Seien s, t
T und F F
s+
. F¨
ur Rechteckmengen aus
R
+
gilt dann
F
×]s,t] =
kIN
F
× s +
1
k
, t .
Und weil F
F
s+
F
s+
1
k
f¨
ur alle k
IN ist, geh¨oren alle F×]s +
1
k
, t
] zu
R, somit ist
F
×]s,t] (R) = P. Also ist R
+
P, und damit folgt auch
P
+
= (
R
+
)
P.
KAPITEL 2. ZUFALLSZEITEN
9
Kapitel 2
Zufallszeiten
In diesem Kapitel wollen wir mit den Zufallszeiten Werkzeuge einf¨
uhren, die wir im sp¨ate-
ren Verlauf -- n¨amlich in der Theorie der stochastischen Integration (Kapitel 46) --
gewinnbringend einsetzen k¨onnen.
2.1
Zufallszeiten: Definition und allgemeine Eigen-
schaften
Definition 2.1 Sei (,
F,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Zufallszeit u ist eine
Zufallsvariable
u
: (,
F,P) (T {},B(T {})).
Definition 2.2 Eine Zufallszeit u : (,
F,P) (T {},B(T {})) heißt einfach
genau dann, wenn u() nur endlich viele Elemente enth¨alt.
Definition 2.3
a) Eine Zufallszeit u heißt (P -fast sicher) endlich genau dann, wenn u() <
f¨ur
(P -fast) alle
gilt.
b) Eine Zufallszeit u heißt beschr¨ankt genau dann, wenn es ein M
0 gibt, so daß
u
() < M f¨ur alle
gilt.
2.2
Stoppzeiten
Definition 2.4 Sei (,
F,{F
t
, t
T}) eine stochastische Basis. Eine Zufallszeit u heißt
eine Stoppzeit bez¨uglich der Filtrierung
{F
t
, t
T} genau dann, wenn f¨ur alle t T gilt:
{ : u() t} F
t
.
Bemerkung 2.5 Sind u und v zwei Stoppzeiten bez¨uglich der Filtrierung
{F
t
, t
T}, so
sind auch u
v und u v Stoppzeiten bez¨uglich der Filtrierung {F
t
, t
T}.
10
KAPITEL 2. ZUFALLSZEITEN
Definition 2.6 Sei (,
F,{F
t
, t
T}) eine stochastische Basis und u eine Stoppzeit
bez¨uglich der Filtrierung
{F
t
, t
T}. Die zu u assoziierte -Algebra F
u
wird definiert
durch
F
u
:=
{A F : F¨ur alle t T ist A { : u() t} F
t
}.
Bemerkung 2.7 Ist f¨ur alle
u() = s T, so ist F
u
=
F
s
.
Definition 2.8 Seien u und v zwei
{F
t
, t
T}-Stoppzeiten. Mit [u,v[ sei folgende Teil-
menge von
× T bezeichnet:
[u, v[:=
{(,t) × T : u() t < v()}.
Analog lassen sich Mengen [u, v], ]u, v[ etc. definieren. Alle diese Teilmengen von
× T
werden als stochastische Intervalle bezeichnet.
Anmerkung. Es ist dem jeweiligen Kontext zu entnehmen, ob durch ]
·,·] etc. ein reelles
oder ein stochastisches Intervall bezeichnet wird.
Notation 2.9 Der Graph von u, also [u, u] :=
{(,t) × T : u() = t}, wird kurz mit
[u] bezeichnet.
Lemma 2.10 (Siehe auch Definition 1.18. Vgl. [13, S. 6 f.]) Sei
A der von den stochasti-
schen Intervallen ]u, v] mit einfachen
{F
t
, t
T}-Stoppzeiten u,v erzeugte Mengenring.
Dann gilt
A = A.
Beweis.
1. Inklusion
A A .
Es gen¨
ugt zu zeigen:
R A ; dann folgt bereits A A . Sei also
B
:= F
×]s,t] R, also s,t T und F F
.
Wir definieren einfache Stoppzeiten u, v durch
u
() :=
s
f¨
ur
F
t
f¨
ur
\ F
und v() := t f¨
ur
;
dann ist B =
{(,t) × T : u() < t v()} =]u,v] A , also R A .
2. Inklusion
A A.
Sei u eine einfache Stoppzeit. Dann existieren nach Definition eine endliche, monoton
wachsende Folge (t
k
)
1kn
T und eine endliche Familie (F
k
)
1kn
F, die eine
Partition von bildet und f¨
ur die zus¨atzlich F
k
F
t
k
f¨
ur k = 1, . . . n gilt, so daß
u
=
n
k=1
1
F
k
t
k
ist. Offensichtlich ist, wenn wir nun f¨
ur beliebiges, festes a
T mit a > u
B
k
:= F
k
×]t
k
, a
] setzen, (B
k
)
1kn
eine Partition von ]u, a]. Also ist ]u, a]
A,
und wenn v eine weitere einfache Stoppzeit mit v > u ist, so gilt f¨
ur alle a
T mit
a
v ]u,v] =]u,a]\]v,a] A. Somit ist A A, d. h. insgesamt A = A.
KAPITEL 2. ZUFALLSZEITEN
11
Mit diesem Lemma ist klar, daß f¨
ur einfache
{F
t
, t
T}-Stoppzeiten u die Menge ]0,u]
zu
A geh¨ort. F¨ur praktische F¨alle und auch f¨ur Beweise ist aber interessant, mit welchen
Rechteckmengen die Zerlegung nach Lemma 1.19 besteht. Dazu dient
Bemerkung 2.11 Sei u eine einfache
{F
t
, t
T}-Stoppzeit, also
u
=
iI
1
B
i
s
i
,
wobei I =
{0,...n} mit n := |u()\{0}|, 0 = s
0
s
1
...s
n
T und außerdem (B
i
)
iI
eine Partition von derart ist, daß B
i
F
s
i
f¨ur alle i
I ist. Dann besitzt ]0,u] A
eine Partition aus
R der Gestalt
]0, u] =
n
i=1
B
i
×]0,s
i
]
und eine weitere Partition aus
R der Gestalt
]0, u] =
n
i=1
F
i-1
×]s
i-1
, s
i
]
mit F
i
:=
\
i
j=0
B
j
f¨ur i < n.
Beweis. Zur ersten angegebenen Partition ist nichts weiter zu sagen. Daß die zweite an-
gegebene Partition tats¨achlich eine Partition von ]0, u] ist und nur Mengen aus
R enth¨alt,
sieht man so: Offenbar ist F
i
F
s
i
als Komplement einer in
F
s
i
liegenden Vereinigung,
so daß die zu untersuchende Partition nur Mengen aus
R enth¨alt. Von der ersten angege-
benen Partition ausgehend, k¨onnen wir nun schreiben:
]0, u] =
n
i=1
B
i
×]0,s
i
] =
n
i=1
i
j=1
B
i
×]s
j-1
, s
j
] =
n
j=1
n
i=j
B
i
×]s
j-1
, s
j
]
=
n
j=1
\
j-1
i=0
B
i
×]s
j-1
, s
j
] =
n
j=1
F
j-1
×]s
j-1
, s
j
],
womit alles gezeigt ist.
Satz 2.12 (aus [13, S. 7])
a) Zu jeder (beschr¨ankten)
{F
t
, t
T}-Stoppzeit u gibt es eine Folge (u
n
)
nIN
einfacher
(bzw. einfacher beschr¨ankter)
{F
t
, t
T}-Stoppzeiten mit u
n
> u
auf
{ :
u
() <
}, die monoton gegen u f¨allt.
b) Ist u eine
{F
t
, t
T}-Stoppzeit, so ist der reelle Prozeß 1
]0,u]
vorhersagbar bez¨uglich
{F
t
, t
T}.
c) Jeder Banachraum-wertige, caglad
{F
t
, t
T}-adaptierte Prozeß ist vorhersagbarer
bez¨uglich
{F
t
, t
T}.
12
KAPITEL 2. ZUFALLSZEITEN
Beweis. (nach [13, S. 7])
a) Wir definieren zu vorgegebenem u die Zufallszeiten u
n
durch
u
n
() :=
n 2
n
-1
k=0
(k + 1) 2
-n
1
{:k 2
-n
u()<(k+1) 2
-n
}
auf
{ : u() < n}
+
auf
{ : u() n}
Offensichtlich sind die u
n
, n
IN Stoppzeiten, wobei ein einzelnes u
n
beschr¨ankt ist,
sobald u durch n beschr¨ankt ist, und trivialerweise konvergiert die Folge (u
n
)
nIN
monoton fallend gegen u, mit u
n
> u
.
b) Wegen
]0, u] =
k0 nk
]0, u
n
k]
und ]0, u
n
k] A ist ]0,u] P, also ist 1
]0,u]
vorhersagbar bez¨
uglich
{F
t
, t
T},
da die Urbilder dieses Prozesses in
P liegen.
c) Sei X ein beliebiger Banachraum-wertiger, caglad
{F
t
, t
T}-adaptierter Prozeß.
Wir definieren nun Prozesse X
n
durch
X
n
t
() :=
kIN
0
X
k 2
-n
() 1
]k 2
-n
,(k+1) 2
-n
]
(t) + X
0
()1
{0}
(t).
Da jede Zufallsgr¨oße X
k 2
-n
im Sinne der punktweisen Konvergenz auf durch
einfache
F
k 2
-n
-meßbare Zufallsgr¨oßen approximiert werden kann, sind die Prozesse
X
k 2
-n
1
]k 2
-n
,(k+1) 2
-n
]
vorhersagbar. Also ist jedes X
n
, n
IN, vorhersagbar bzgl.
{F
t
, t
T}. Aus der linksseitigen Stetigkeit von X folgt, daß X
n
t
() f¨
ur alle
und t gegen X
t
() konvergiert. Und hieraus ergibt sich die Vorhersagbarkeit von X
bez¨
uglich
{F
t
, t
T}.
Definition 2.13 Eine
{F
t
, t
T}-Stoppzeit u heißt vorhersagbar bzgl. {F
t
, t
T} ge-
nau dann, wenn eine monoton wachsende Folge (u
n
)
nIN
von
{F
t
, t
T}-Stoppzeiten so
existiert, daß
lim
n
u
n
() = u() f¨ur alle
(punktweise Konvergenz) und
u
n
() < u() f¨ur alle
mit u() > 0
gilt.
Definition 2.14
a) Eine monoton wachsende Folge (u
n
)
nIN
von
{F
t
, t
T}-Stoppzeiten heißt eine
sup T -Folge von Stoppzeiten genau dann, wenn gilt:
lim
n
P
(
{ : u
n
() < t
}) = 0 f¨ur jedes t T.
KAPITEL 2. ZUFALLSZEITEN
13
b) Eine sup T -Folge beschr¨ankter Stoppzeiten wollen wir auch eine stochastische Zerle-
gung von T nennen.
Definition 2.15 Eine Doppelfolge (v
n,k
)
n,kIN
von Stoppzeiten heißt eine Folge stochasti-
scher Zerlegungen von T mit gegen Null strebender Feinheit genau dann, wenn
(i) f¨ur jedes n
IN die Folge (v
n,k
)
kIN
eine stochastische Zerlegung von T ist und
(ii) f¨ur P -fast alle
gilt:
lim
n
sup
kIN
(v
n,k+1
()
- v
n,k
()) = 0.
Solche Doppelfolgen werden wir in Kapitel 46 beim Studium der Variationsprozesse und
bei der Herleitung der Ito-Formel ben¨otigen.
2.3
Lokalisierung und Pr¨
alokalisierung
Definition 2.16
a) Sei u eine T -wertige Zufallszeit und X ein stochastischer Prozeß. Der stochastische
Prozeß X
u
, definiert f¨ur t
T durch
X
u
t
() :=
X
t
()
f¨ur t
u()
X
u()
() f¨ur t > u()
,
heißt der bei der Zufallszeit u gestoppte Prozeß.
b) Sei u eine
{F
t
, t
T}-wertige Stoppzeit und X ein stochastischer Prozeß. Der
stochastische Prozeß X
u
, definiert f¨ur t
T durch
X
u
t
() :=
X
t
()
f¨ur t < u()
X
u()-
() f¨ur t
u()
,
heißt der unmittelbar vor der Stoppzeit u gestoppte Prozeß.
Definition 2.17 Seien X ein stochastischer Prozeß und (u
n
)
nIN
eine sup T - Folge von
Stoppzeiten.
a) Man bezeichnet dann (X
u
n
)
nIN
als Lokalisierung und (X
u
n
)
nIN
als Pr¨alokalisierung
von X.
b) Haben die stochastischen Prozesse X
u
n
(bzw. X
u
n
) f¨ur alle n
IN eine Eigenschaft
E, so sagt man: X besitzt lokal (bzw. pr¨alokal) die Eigenschaft E.
Bemerkung 2.18 Durch Umschreiben der Definition 2.16 erh¨alt man die Beziehungen
14
KAPITEL 2. ZUFALLSZEITEN
a) X
u
t
= X
u
+ 1
[0,u]
(
·,t)(X
t
- X
u
) und
b) X
u
t
= X
u-
+ 1
[0,u[
(
·,t)(X
t
- X
u-
).
Bemerkung 2.19 Aus Definition 2.16 folgt direkt die Beziehung
X
u
t
()
- X
u
t
() = 1
[0,t]
(u()) X
u()
()
- X
u()-
()
beziehungsweise
X
u
t
- X
u
t
= (1
- 1
[0,u[
(t)) (X
u
- X
u-
).
KAPITEL 3. MARTINGALE
15
Kapitel 3
Martingale, bedingte Erwartung und
Dol´
eans-Funktionen
In diesem Kapitel lernen wir nun eine besonders wichtige Klasse stochastischer Prozesse
kennen, n¨amlich die Martingale. Zur Charakterisierung der Martingale benutzen wir die
Begriffe der bedingten Erwartung und der Dol´eans-Funktion, die wir zu Beginn dieses
Kapitels einf¨
uhren wollen.
3.1
Die bedingte Erwartung
Satz 3.1 (aus [16, S. 125]) Seien (,
F,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und H ein se-
parabler Banachraum. Weiter sei
G F eine -Algebra.
Dann existiert genau ein stetiger linearer Operator
E(
·|G) : L
1
H
(,
F,P) L
1
H
(,
G,P)
derart, daß f¨ur jede Zufallsgr¨oße X
L
1
H
(,
F,P) und jedes G G
1
G
E(X
|G)dP =
1
G
X dP
gilt.
Beweis.
Wir betrachten zun¨achst den Operator der skalaren bedingten Erwartung
~
E(
·|G) : L
1
IR
(,
F,P) L
1
IR
(,
G,P), den wir definieren durch
1
G
~
E(Y
|G)dP =
1
G
Y dP
f¨
ur jede Zufallsgr¨oße Y
L
1
IR
(,
F,P) und jedes G G. Die Existenz und Wohldefiniert-
heit dieses Operators folgt aus dem Satz von Radon-Nikodym (siehe [16, S. 27] und [3, S.
116 ff.]) in Verbindung mit Satz 17.11 aus [3, S. 118 f.].
16
KAPITEL 3. MARTINGALE
Sei X nun eine einfache Zufallsgr¨oße
1
aus L
1
H
(,
F,P), d. h. sei
X
=
n
k=1
h
k
1
F
k
mit h
k
H und F
k
F f¨ur k {1,...n}.
Dann setzen wir
^
E(X
|G) :=
n
k=1
h
k
~
E(1
F
k
|G),
wobei wir bemerken, daß wegen der Linearit¨at von ~
E(
·|G) diese Definition nicht von der
Darstellung von X abh¨angt. Offenbar gilt f¨
ur einfache Zufallsgr¨oßen X und alle G
G
1
G
^
E(X
|G)dP =
n
k=1
h
k
1
G
~
E(1
F
k
|G)dP =
1
G
n
k=1
h
k
1
F
k
dP
=
1
G
X dP.
Ferner ist ^
E(
·|G) stetig und linear; die Operatornorm betr¨agt 1. Daher besitzt
^
E(X
|G)
nach dem Fortsetzungssatz f¨
ur stetige Operatoren (Satz 41.4 in [8, S. 251 f.]) genau eine
stetige lineare Fortsetzung
E(
·|G) : L
1
H
(,
F,P) L
1
H
(,
G,P).
Sei nun X
L
1
H
(,
F,P), und sei (X
n
)
nIN
eine Folge einfacher H-wertiger Zufallsgr¨oßen
mit
lim
n
X
n
= X
in L
1
H
(,
F,P), d. h.
lim
n
X
n
- X
L
1
H
(,F ,P )
= 0.
Dann haben wir wegen der Stetigkeit von E(
·|G)
1
G
E(X
|G)dP =
1
G
E( lim
n
X
n
|G)dP
=
1
G
lim
n
E(X
n
|G)dP
=
lim
n
1
G
E(X
n
|G)dP
=
lim
n
1
G
X
n
dP
=
1
G
lim
n
X
n
dP
=
1
G
X dP
f¨
ur alle G
G.
Jetzt ist nur noch nachzupr¨
ufen, daß E(
·|G) der einzige stetige lineare Operator mit
dieser Eigenschaft ist. Sei dazu ein Y
L
1
H
(,
G,P) mit
1
G
Y dP
= 0 f¨
ur alle G
G
1
Die einfachen Zufallsgr¨oßen liegen dicht in L
1
H
(,
F,P)
KAPITEL 3. MARTINGALE
17
gegeben. Dann ist f¨
ur beliebiges f
L(H, IC) = H
1
G
f
Y dP =
1
G
e(f
Y )dP + i
1
G
e(f
Y )dP = 0 f¨ur alle G G,
und da die Nullfunktion G-meßbar ist, muß nach Satz 17.11 aus [3, S. 118 f.]
e(f
Y ) =
m(f
Y ) = 0 und damit auch
f
Y = 0 P-fast sicher
sein. Da dies f¨
ur alle f
L(H, IC) gilt und H separabel ist, folgt hieraus
Y
= 0 P -fast sicher.
Damit ist E(
·|G) der einzige stetige lineare Operator mit der Eigenschaft, daß f¨ur jede
Zufallsgr¨oße X
L
1
H
(,
F,P) und jedes G G
1
G
E(X
|G)dP =
1
G
X dP
gilt.
Definition 3.2
a) Der nach Satz 3.1 existierende und eindeutig bestimmte Operator E(
·|G) :
L
1
H
(,
F,P) L
1
H
(,
G,P) heißt Operator der bedingten Erwartung bzgl. der
-Algebra
G.
b) E(X
|G) heißt die bedingte Erwartung der Zufallsgr¨oße X L
1
H
(,
F,P) bzgl. der
-Algebra
G.
Anmerkung. Operatoren der bedingten Erwartung auf L
1
H
(,
F,P) existieren also f¨ur
jeden Banachraum H. Es gilt aber nicht in jedem Banachraum der Satz von Radon-
Nikodym! Siehe hierzu [16, S.120 ff.].
18
KAPITEL 3. MARTINGALE
3.2
Die Dol´
eans-Funktion stochastischer Prozesse
Definition 3.3
a) Sei X : T
L
1
H
(,
F,P) ein an die Filtrierung {F
t
, t
T} adaptierter stocha-
stischer Prozeß mit Werten in einem Banachraum H. Sei d
X
:
A H diejenige
additive Mengenfunktion, die f¨ur A = F
×]s,t] R durch
d
X
(A) := E (1
F
(X
t
- X
s
))
gegeben ist. Dann heißt d
X
die Dol´eans-Funktion des Prozesses X.
b) Wenn d
X
zus¨atzlich nichtnegativ reell ist und eine -additive Fortsetzung von d
X
auf
P existiert, so heißt diese Fortsetzung das Dol´eans-Maß des Prozesses X und
wird mit
X
bezeichnet.
3.3
Martingale, Submartingale und
Supermartingale
Definition 3.4 (nach [13, S. 9])
a) Sei X : T
L
1
H
(,
F,P) ein an die Filtrierung {F
t
, t
T} von F adaptierter
stochastischer Prozeß mit Werten in einem Banachraum H. X heißt ein
{F
t
, t
T}-
Martingal genau dann, wenn gilt:
E(X
t
|F
s
) = X
s
f¨ur alle s, t
T mit s < t.
b) Im Falle H = IR heißt X ein
{F
t
, t
T}-Submartingal (bzw. {F
t
, t
T}-Super-
martingal) genau dann, wenn gilt:
E(X
t
|F
s
)
X
s
(bzw. E(X
t
|F
s
)
X
s
) f¨ur alle s, t
T mit s < t.
Bemerkung 3.5
a) Martingale besitzen keine Drift und haben somit zentrierte Zuw¨achse.
b) Ist ein an eine Filtrierung
{F
t
, t
T} adaptierter Prozeß X ein {F
t
, t
T}-
Martingal, so ist er auch ein
{F
X
t
, t
T}-Martingal.
Beweis. Sei X ein
{F
t
, t
T}-Martingal, und seien s,t T mit s t. Dann gelten
a) EX
t
= E(E(X
t
|F
s
)) = EX
s
und
b) E(X
t
|F
X
s
) = E(E(X
t
|F
s
)
|F
X
s
) = E(X
s
|F
X
s
) = X
s
.
Satz 3.6 Sei X : T
L
1
H
(,
F,P) wieder ein an die Filtrierung {F
t
, t
T} adaptierter
stochastischer Prozeß mit Werten in einem Banachraum H. Dann gilt:
KAPITEL 3. MARTINGALE
19
a) X ist ein
{F
t
, t
T}-Martingal genau dann, wenn d
X
(A) = 0 f¨ur alle A
A ist.
b) Ist speziell H = IR, so ist X ein
{F
t
, t
T}-Submartingal (bzw. -Supermartingal)
genau dann, wenn d
X
(A)
0 (bzw. d
X
(A)
0) f¨ur alle A A ist.
Beweis.
a) Sei X ein Martingal. Da A
A als endliche disjunkte Vereinigung von Mengen
A
i
= F
i
×]s
i
, t
i
]
R mit F
i
F
s
i
(i
I, I endliche Indexmenge) darstellbar ist, ist
d
X
(A) =
iI
E(1
F
i
(X
t
i
- X
s
i
)) =
iI
E(E(1
F
i
(X
t
i
- X
s
i
)
|F
s
i
))
=
iI
E(1
F
i
E(X
t
i
- X
s
i
|F
s
i
)) =
iI
E(1
F
i
0) = 0.
Sei nun umgekehrt d
X
(A) = 0 f¨
ur alle A
A. Dann gilt dies insbesondere f¨ur Recht-
eckmengen A = F
×]s,t], mit s,t T und F F
s
; somit ist E(1
F
(X
t
- X
s
)) = 0
f¨
ur jedes s
T und alle t T mit t > s und F F
s
. Nun ist
0 = E(1
F
(X
t
- X
s
)) = E(E(1
F
(X
t
- X
s
)
|F
s
))
= E(1
F
E(X
t
- X
s
|F
s
)) =
1
F
E(X
t
- X
s
|F
s
) dP
f¨
ur jedes s
T und alle t T mit t > s und F F
s
, also haben wir nach der
Definition der bedingten Erwartung
E(X
t
- X
s
|F
s
) = 0 P -fast sicher f¨
ur alle s, t
T mit s < t.
Da X
s
F
s
-meßbar ist, ist somit in L
1
H
(,
F,P)
E(X
t
|F
s
) = X
s
f¨
ur alle s, t
T mit s < t,
d. h. X ist ein Martingal bez¨
uglich
{F
t
, t
T}.
b) Der Nachweis l¨auft v¨ollig analog zu a); es sind lediglich die jeweiligen Ungleichungen
als Ausgangspunkt zu nehmen.
Lemma 3.7 Sei H ein Hilbertraum und M ein H-wertiges quadratintegrierbares
{F
t
, t
T
}-Martingal. Dann gelten:
a) M
2
H
ist ein nichtnegatives
{F
t
, t
T}-Submartingal, und es ist
E( M
t
- M
s
2
H
|F
s
) = E( M
t
2
H
- M
s
2
H
|F
s
)
f¨ur s, t
T mit s t.
b) F¨ur s, t
T mit s t ist
E((M
t
- M
s
)
|F
s
) = E(M
t
- M
s
|F
s
)
und
E((M
t
- M
s
)
|F
s
) = E(M
t
- M
s
|F
s
).
20
KAPITEL 3. MARTINGALE
c) F¨ur s, t
T mit s t ist (siehe Definition F.5)
Cov(M
t
- M
s
) = Cov(M
t
)
- Cov(M
s
).
Ferner ist die Funktion t
Cov(M
t
) : T
HS(H) monoton wachsend im Sinne
der Halbordnung auf den positiven symmetrischen Hilbert-Schmidt-Operatoren
von H.
Beweis.
a) Allein aus der Martingal-Eigenschaft von M ergibt sich
E( M
t
- M
s
2
H
|F
s
)
= E( M
t
2
H
+ M
s
2
H
- M
t
|M
s H
- M
s
|M
t H
|F
s
)
= E( M
t
2
H
+ M
s
2
H
- M
s
2
H
- M
s
2
H
|F
s
)
= E( M
t
2
H
- M
s
2
H
|F
s
)
f¨
ur s, t
T mit s t, wie behauptet. Und hieraus erh¨alt man nun wegen
M
t
- M
s
2
H
0 sofort
E( M
t
2
H
|F
s
)
M
s
2
H
f¨
ur alle s, t
T mit s t,
d. h. M
2
H
ist ein (nichtnegatives)
{F
t
, t
T}-Submartingal.
b) Wiederum erh¨alt man nur aus der Martingal-Eigenschaft von M
E((M
t
- M
s
)
|F
s
)
= E(M
t
+ M
s
- M
t
M
s
- M
s
M
t
|F
s
)
= E(M
t
+ M
s
- M
s
- M
s
|F
s
)
= E(M
t
- M
s
|F
s
)
f¨
ur s, t
T mit s t. Analog l¨auft der Beweis der entsprechenden Behauptung
¨
uber das gemischte Tensorquadrat von M .
c) Es ist
Cov(M
t
) = E((M
t
- EM
t
)
)
= E M
t
- EM
t
M
t
- M
t
EM
t
+ (EM
t
)
= E(M
t
)
- (EM
t
)
= E(M
t
)
- (EM
0
)
,
da M nach Bemerkung 3.5 keine Drift hat. F¨
ur s, t
T mit s < t haben wir damit
Cov(M
t
)
- Cov(M
s
) =
E(M
t
)
- (EM
0
)
- E(M
s
)
- (EM
0
)
= E(M
t
- M
s
) = E((M
t
- M
s
)
) nach Teil b),
und da die Zuw¨achse nach Bemerkung 3.5 zentriert sind, ist letzterer Ausdruck gleich
Cov(M
t
- M
s
). Ferner ist die Kovarianz einer Hilbertraum-wertigen Zufallsgr¨oße
KAPITEL 3. MARTINGALE
21
nach Lemma F.6 stets ein positiver symmetrischer nuklearer Operator, so daß f¨
ur
t > s
stets
Cov(M
t
)
- Cov(M
s
) = Cov(M
t
- M
s
)
0
ist, d. h. die Funktion t
Cov(M
t
) : T
HS(H) ist monoton wachsend im Sinne
der Halbordnung auf den positiven symmetrischen Hilbert-Schmidt-Operatoren
von H.
Korollar 3.8 Mit den Bezeichnungen aus Lemma 3.7 gilt f¨ur s, t
T mit s t und f¨ur
alle F
F
s
a) E 1
F
( M
t
- M
s
2
H
) = E 1
F
( M
t
2
H
- M
s
2
H
) ,
b) E (1
F
((M
t
- M
s
)
)) = E 1
F
(M
t
- M
s
) und
c) E 1
F
((M
t
- M
s
)
) = E 1
F
(M
t
- M
s
) .
Beweis.
Alle drei Behauptungen folgen sofort aus Lemma 3.7, wenn man jeweils
EX = E(E(X
|F
s
)) schreibt (X ist hierbei eines der sechs obigen E-Argumente) und die
F
s
- Meßbarkeit von F ber¨
ucksichtigt.
Satz 3.9 (Dol´eans-Maß eines nichtnegativen Submartingals, siehe [13, S. 14])
Sei X ein nichtnegatives
{F
t
, t
T}-Submartingal auf T = [0,t
m
] mit
lim
st
E(X
s
- X
t
) = 0
f¨ur jedes t
[0,t
m
[.
(3.1)
Dann hat die Dol´eans-Funktion von X eine -additive Fortsetzung auf
P, d. h. nichtne-
gative Submartingale besitzen ein Dol´eans-Maß.
Bevor wir diesen Satz beweisen, verifizieren wir
Bemerkung 3.10 Es gelten die Voraussetzungen von Satz 3.9. Dann gilt f¨ur jedes A
A
mit A
H×]0,t
m
]
d
X
(A)
E(1
H
(X
t
m
- X
u
)),
wobei u() := inf
{t T : (,t) A} t
m
ist.
Beweis von Bemerkung 3.10.
A
A mit A ×]0,t
m
] ist im stochastischen Intervall ]u, t
m
] enthalten. Offenbar ist
]u, t
m
]
P, und wenn A H×]0,t
m
] ist, dann ist u() = t
m
f¨
ur jedes
\ H. Daher
ist
X
t
m
- X
u
= 1
H
(X
t
m
- X
u
).
Sei d
X
die Dol´eans-Funktion von X. Da
d
X
([u, t
m
]) = E(1
H
(X
t
m
- X
u
))
22
KAPITEL 3. MARTINGALE
ist, folgt aus der Nichtnegativit¨at von d
X
d
X
(A)
E(X
t
m
- X
u
) = E(1
H
(X
t
m
- X
u
)).
Beweis von Satz 3.9.
Wir zeigen nun, daß die nichtnegative additive Mengenfunktion d
X
eine -additive Fort-
setzung auf
P hat. Daf¨ur ist es ausreichend zu zeigen, daß f¨ur jede monoton fallende Folge
(A
n
)
nIN
aus
A mit
nIN
A
n
=
lim
n
d
X
(A
n
) = 0
ist. Zu jedem vorhersagbaren Rechteck F
×]s,t] betrachten wir auch die Mengen
F
× s +
1
n
, t
F × s +
1
n
, t
F×]s,t],n IN,
und nach Voraussetzung (3.1) ist dabei
lim
n
d
X
F
× s +
1
n
, t
= d
X
(F
×]s,t])
Daher k¨onnen wir zu jedem > 0 eine Folge (A
n
)
nIN
A und eine Folge (C
n
)
nIN
von
Teilmengen von
×]0,t
m
] finden mit folgenden Eigenschaften f¨
ur n
IN:
- A
n
C
n
A
n
,
- d
X
(A
n
\ A
n
)
2
-n
,
- C
n
() :=
{t T : (,t) C
n
} ist kompakt f¨ur jedes .
Aus
nIN
A
n
=
und der Eigenschaft der C
n
folgt
nIN
H
n
=
, wobei H
n
:=
:
kn
C
k
() =
.
(3.2)
Da
kn
A
k
H
n
×]0,t
m
] ist, zeigt Bemerkung 3.10, daß
d
X
(
kn
A
k
)
H
n
X
t
m
dP
ist. Aus Gl.(3.2) erhalten wir daher lim
n
d
X
(
kn
A
k
) = 0, w¨ahrend andererseits
d
X
(A
n
\
kn
A
k
)
kn
2
-k
2 ist. Somit ist
lim
n
d
X
(A
n
)
2 f¨ur jedes > 0, d.h. lim
n
d
X
(A
n
) = 0,
und damit ist der Satz bewiesen.
KAPITEL 3. MARTINGALE
23
3.4
Orthogonalinkrement-Prozesse
Definition 3.11 Ein stochastischer Prozeß X heißt Orthogonalinkrement-Prozeß genau
dann, wenn er unabh¨angige, zentrierte Zuw¨achse besitzt.
Satz 3.12 Jeder Orthogonalinkrement-Prozeß X ist ein Martingal bez¨uglich der von ihm
selbst erzeugten Filtrierung
{F
X
t
, t
T}.
Beweis. Seien s, t
T mit s < t. Da X unabh¨angige Zuw¨achse besitzt, ist X
t
- X
s
stochastisch unabh¨angig von der -Algebra
F
X
s
, und somit haben wir
E(X
t
- X
s
|F
X
s
) = E(X
t
- X
s
) = 0,
letzteres, weil die Zuw¨achse von X zentriert sind. Also ist
E(X
t
|F
X
s
) = X
s
f¨
ur alle s, t
T mit s < t,
d. h. X ist ein
{F
X
t
, t
T}-Martingal.
KAPITEL 4. STOCHASTISCHE INTEGRATION I
25
Kapitel 4
Stochastische Integration I.
Einf¨
uhrung in die stochastische
Integration
In diesem Kapitel wollen wir m¨oglichst allgemein das
"
stochastische Integral" eines Pro-
zesses Y (den Integranden) gegen einen anderen Prozeß X (den Integrator),
Z
t
=
[0,t]
Y
s
dX
s
=
T
1
[0,t]
Y
s
dX
s
,
definieren und erarbeiten, wobei es
"
g¨
unstig" ist, dies nur f¨
ur vorhersagbare Prozesse
Y
L
2
L
(
× T,P,) und cadlag-Prozesse X mit X
t
L
0
J
(,
F
t
, P
) zu versuchen (Zu den
genauen Voraussetzungen siehe sp¨ater). Der Unterschied zu den gew¨ohnlichen Lebesgue-
Integralen oder Lebesgue-Stieltjes-Integralen, an die die obige Zeile stark erinnert, liegt
darin, daß stochastische Integrale auch f¨
ur Prozesse mit Pfaden von nicht-endlicher Va-
riation einen Sinn haben -- und dies macht gerade die Bedeutung der stochastischen In-
tegration aus. Der Beziehung zwischen Lebesgue-Stieltjes-Integralen und stochastischen
Integralen ist ein Abschnitt gewidmet.
Die folgende Darstellung orientiert sich an [13, S.20 ff.] und beginnt -- wie bei neuen
Integralbegriffen ¨
ublich -- mit der Definition des Integrals von Treppenfunktionen.
4.1
Stochastische Integration von
Treppenfunktionen
Im folgenden sei T = [0, t
m
], t
m
<
; ferner sei (,F,{F
t
, t
T},P) eine rechtsseitig
stetige stochastische Basis mit Wahrscheinlichkeitsmaß P , d. h. es ist
F
t
=
F
t+
f¨
ur alle t
T.
Weiter seien J und K Banachr¨aume. Mit L(J, K) sei die Menge aller auf J definierten,
beschr¨ankten linearen Operatoren mit Werten in K bezeichnet. L sei immer ein Unter-
Banachraum von L(J, K).
26
KAPITEL 4. STOCHASTISCHE INTEGRATION I
Die Beschr¨ankung auf einen Unterraum von L(J, K) ist z. B. im Hilbertraum-Fall
notwendig, da L(J, K) genau im Falle J = I
C (bzw. IR) oder K = I
C (bzw. IR) selbst ein
Hilbertraum ist. (Achtung : Im endlichdimensionalen Fall stimmen L(J, K) und HS(J, K)
zwar als Vektorr¨aume ¨
uberein, unterscheiden sich jedoch im allgemeinen in ihrer Norm!)
Definition 4.1
a) Ein stochastischer Prozeß Y : T
L
0
L
(,
F,P) heißt eine A-Treppenfunktion genau
dann, wenn endliche Familien
(a
i
)
iI
J und (A
i
)
iI
A (I IN endliche Indexmenge)
existieren, so daß Y in der Form
Y
=
iI
a
i
1
A
i
dargestellt werden kann.
b) Mit S(
A,L) bezeichnen wir den Vektorraum aller L-wertigen A-Treppenfunktionen.
Bemerkung 4.2 Da nach Lemma 1.19 zu jedem B
A eine endliche Familie (B
i
)
iI
mit B
i
R f¨ur i I existiert, die eine Partition von B bildet, ist eine kanonische
Darstellung eines jeden Y
S(A,L) in Definition 4.1 a) m¨oglich : Wir k¨onnen dort
die endliche Familie (A
i
)
iI
so w¨ahlen, daß die A
i
in
R liegen und paarweise disjunkt
sind.
Definition 4.3 (Stochastisches Integral f¨
ur Treppenfunktionen) Wir definieren f¨ur t
T
eine lineare Abbildung
I
t
: S(
A,L) L
0
K
(,
F,P)
durch die Festsetzung
I
t
(Y ) := 1
F
a
(X
st
- X
rt
)
f¨ur alle Y
S(A,L) der speziellen Gestalt
Y
= a1
A
mit a
L und A = F×]r,s] R.
Nach dem bisher Gesagten (siehe insbesondere Bemerkung 4.2) ist dann I
t
auf S(
A,L)
wohldefiniert. F¨ur ein bestimmtes Y
S(A,L) wird I
t
(Y ) als stochastisches Integral von
Y
¨
uber [0, t] bez¨uglich X bezeichnet, in Zeichen:
I
t
(Y ) =
[0,t]
Y dX
=
[0,t]
Y
s
dX
s
.
F¨ur t = t
m
wollen wir statt I
t
m
einfach I schreiben.
Bemerkung 4.4 F¨ur einfache
{F
t
, t
T}-Stoppzeiten u und v ist 1
]u,v]
S(A,L).
Beweis. Die Behauptung folgt direkt aus Lemma 2.10.
KAPITEL 4. STOCHASTISCHE INTEGRATION I
27
4.2
Stochastische Integration bez¨
uglich (L,J,K)-L
2
-
primitiver Integratoren. Der Begriff des dominie-
renden Maßes
Ab jetzt geht es darum, die Definition des stochastischen Integrals auch auf Integranden
außerhalb von S(
A,L) auszudehnen. Es wird sich zeigen, daß dies nicht ohne zus¨atzliche
Bedingungen an den Integrator m¨oglich ist.
Definition 4.5 (nach [13, S. 20])
Ein stochastischer Prozeß X mit X
t
L
0
J
(,
F
t
, P
) heißt (L, J, K)-L
2
-primitiv genau dann,
wenn zu X auf dem meßbaren Raum (
× T,P) ein endliches, positives Maß existiert,
das auf evaneszenten Mengen (siehe Definition 1.11) verschwindet und folgende Eigen-
schaft besitzt:
F¨ur alle Y
S(A,L) gilt
E
T
Y dX
2
K
×T
Y
2
L
d <
oder -- anders ausgedr¨uckt --
T
Y dX
2
L
2
K
(,F ,P )
Y
2
L
2
L
(×T,P,)
<
Ein solches Maß heißt ein dominierendes Maß f¨ur X bez¨uglich der kanonischen bilinea-
ren Abbildung L
× J K.
Anmerkung. Im allgemeinen besitzt ein (L, J, K)-L
2
-primitiver stochastischer Prozeß
unendlich viele verschiedene dominierende Maße. Siehe hierzu Satz 4.10.
Bemerkung 4.6 L
2
L
(
× T,P,) ist die Vervollst¨andigung von S(A,L) bez¨uglich der
Norm
Y
×T
Y
2
L
d
1
2
Von nun an wollen wir uns immer dann, wenn ein dominierendes Maß existiert, den
Raum S(
A,L) mit dieser Norm versehen denken. Durch Anwendung des Fortsetzungs-
satzes f¨ur stetige Operatoren (siehe z. B. Satz 41.4 in [8, S.251 f.]) k¨onnen wir dann
zahlreiche f¨ur den -- nunmehr normierten -- Raum S(
A,L) gewonnene Ergebnisse auf
L
2
L
(
× T,P,) ¨ubertragen.
Ist L ein Hilbertraum, so ist auch L
2
L
(
× T,P,) ein Hilbertraum, und S(A,L)
L
2
L
(
× T,P,) ist dann, mit der obigen Norm versehen, ein Pr¨ahilbertraum.
28
KAPITEL 4. STOCHASTISCHE INTEGRATION I
Satz 4.7 Sei X ein (L, J, K)-L
2
-primitiver stochastischer Prozeß mit dominierendem Maß
. Dann ist die lineare Abbildung I : S(
A,L) L
0
K
(,
F,P) aus Definition 4.3, gegeben
durch I(Y ) =
T
Y dX
f¨ur Y
S(A,L), stetig -- f¨ur die Operatornorm gilt I
op
1 --
und besitzt somit eine eindeutige, stetige lineare Fortsetzung
^
I
: L
2
L
(
× T,P,) L
0
K
(,
F,P).
Beweis.
Aus Definition 4.5 ergibt sich unmittelbar I
op
1, d. h. I : S(A,L) L
2
K
(,
F,P) ist
eine stetige lineare Abbildung und besitzt, da S(
A,L) dicht in L
2
L
(
×T,P,) liegt, nach
dem Fortsetzungssatz f¨
ur stetige Operatoren (Satz 41.4 in [8, S. 251 f.]) eine eindeutige,
stetige lineare Fortsetzung ^
I
: L
2
L
(
× T,P,) L
0
K
(,
F,P).
Definition 4.8 Auch die Fortsetzung ^
I
bezeichnen wir als stochastisches Integral ¨uber T
bez¨uglich X. Das Bild von Y
L
2
L
(
× T,P,) unter
^
I
wird mit
^
I
(Y ) =
T
Y dX
=
T
Y
s
dX
s
bezeichnet und heißt stochastisches Integral von Y ¨uber T bez¨uglich des (L, J, K)-L
2
-primi-
tiven Prozesses X.
Lemma 4.9 Sei X ein (L, J, K)-L
2
-primitiver stochastischer Prozeß mit irgendeinem do-
minierendem Maß .
a) Sei : S(
A,L) [0,[ definiert durch
(Y ) := E
T
Y dX
2
K
1
2
=
T
Y dX
2
L
2
K
(,F ,P )
f¨ur Y
S(A,L).
Dann ist eine Halbnorm auf S(
A,L). Ist L ein Hilbertraum, so wird S(A,L) durch
-- anstelle der kanonischen Norm aus Bemerkung 4.6 -- zu einem Halbinnen-
produktraum.
b) Mit obiger Definition des stochastischen Integrals l¨aßt sich der Definitionsbereich
von auf L
2
L
(
× T,P,) ausweiten, und wird zu einer Halbnorm auf ganz
L
2
L
(
× T,P,), f¨ur jedes dominierende Maß .
c) F¨ur alle dominierenden Maße und jedes Y
L
2
L
(
× T,P,) gilt
(Y )
Y
L
2
L
(×T,P,)
.
Beweis.
a) --.
b) --.
KAPITEL 4. STOCHASTISCHE INTEGRATION I
29
c) Nach Definition 4.5 gilt (Y )
Y
L
2
L
(×T,P,)
f¨
ur alle Y
S(A,L). Und da auf
L
2
L
(
× T,P,) offensichtlich stetig bzgl. der kanonischen Norm ist, besteht diese
Ungleichung somit auch auf ganz L
2
L
(
× T,P,).
Satz 4.10 (nach [13, S. 21])
Sei X ein (L, J, K)-L
2
-primitiver stochastischer Prozeß mit dominierenden Maßen
1
und
2
. Dann stimmen die Fortsetzungen der auf S(
A,L) definierten, linearen Abbildung
Y
T
Y dX
: S(
A,L) L
0
K
(,
F,P)
bez¨uglich beider Maße auf L
2
L
(
× T,P,
1
)
L
2
L
(
× T,P,
2
) ¨uberein.
Beweis. (nach einer Mitteilung von P.C. Kunstmann)
Wir zeigen zun¨achst
L
2
L
(
× T,P,
1
)
L
2
L
(
× T,P,
2
) =
L
2
L
(
× T,P,
1
+
2
).
Bezeichne
M(µ;L) den Raum der µ-meßbaren, L-wertigen Funktionen und N(µ) den
Mengenring der µ-Nullmengen. Dann gen¨
ugt es,
M(
1
; L)
M(
2
; L) =
M(
1
+
2
; L)
zu zeigen. Dabei ist wegen
N(
1
+
2
)
N(
1
)
N(
1
)
und der Positivit¨at der Maße die Inklusion
M(
1
+
2
; L)
M(
1
; L)
M(
2
; L)
klar. Um die umgekehrte Inklusion zu zeigen, betrachten wir nun ein beliebiges f
M(
1
; L)
M(
2
; L). Dann existieren Folgen (g
n
)
nIN
und (h
n
)
nIN
aus S(
A,L) und
Nullmengen N
i
N(
i
), i
{1,2}, derart, daß f auf N
c
1
punktweiser Limes von
(g
n
)
nIN
und auf N
c
2
punktweiser Limes von (h
n
)
nIN
ist. Dabei lassen sich N
1
und N
2
(gegebenenfalls durch Vergr¨oßern) so w¨ahlen, daß N
1
, N
2
(A) = P sind. Also sind
1
N
c
1
,
1
N
1
\N
2
M(
1
+
2
; I
C). Damit liegt die durch
f
n
:= g
n
1
N
c
1
+ h
n
1
N
1
\N
2
,
n
IN,
definierte Folge in
M(
1
+
2
; L) und konvergiert außerhalb der
1
+
2
-Nullmenge punkt-
weise gegen f , so daß also f
M(
1
+
2
; L) ist.
Seien nun die Fortsetzungen der linearen Abbildung
Y
T
Y dX
: S(
A,L) L
2
K
(,
F,P)
30
KAPITEL 4. STOCHASTISCHE INTEGRATION I
bez¨
uglich der Maße
1
,
2
und
1
+
2
mit I
1
, I
2
beziehungsweise I
3
bezeich-
net. Sei Y
L
2
L
(
× T,P,
1
)
L
2
L
(
× T,P,
2
). Nach dem oben Gezeigten ist dann
Y
L
2
L
(
× T,P,
1
+
2
). W¨ahle nun eine
L
2
L
(
× T,P,
1
+
2
)-Approximationsfolge
(Y
n
)
nIN
aus S(
A,L) f¨ur Y , d. h. mit
lim
n
×T
Y
n
- Y
2
L
d
(
1
+
2
) = 0.
Dann ist (Y
n
)
nIN
auch eine
L
2
L
(
× T,P,
i
)-Approximationsfolge, i
{1,2}, und es gilt
I
1
(Y ) = I
2
(Y ) = lim
n
Y
n
dX
= I
3
(Y ),
womit die Behauptung bewiesen ist.
Korollar 4.11 Sei D die Menge aller dominierenden Maße f¨ur X, und sei
L
2
(X; L, K) :=
D
L
2
L
(
× T,P,),
ausgestattet mit der Halbnorm . Sei L
2
(X; L, K) der Raum der ¨
Aquivalenzklassen aus
L
2
(X; L, K) bzgl. . Dann existiert eine stetige Fortsetzung der Abbildung
Y
T
Y dX
: S(
A,L) L
0
K
(,
F,P)
auf L
2
(X; L, K).
Nun wollen wir einen Satz betrachten zur gleichm¨aßigen Approximation beliebiger stocha-
stischer Integralprozesse bez¨
uglich (L, J, K)-L
2
-primitiver Integratoren durch eine Folge
von Prozessen, die durch jeweilige Bildung des Integralprozesses aus einer konvergenten
Folge von S(
A,L)-Treppenfunktionen hervorgeht. Hierf¨ur ben¨otigen wir noch folgendes
kleines Lemma:
Lemma 4.12 Seien X (L, J, K)-L
2
-primitiv, Y
L
2
L
(
× T,P,), und Z := Y dX.
Ferner sei v eine einfache
{F
t
, t
T}-Stoppzeit. Dann gilt
Z
v
=
T
1
]0,v]
Y
s
dX
s
.
Beweis. Sei v eine einfache
{F
t
, t
T}-Stoppzeit, also
v
=
iI
1
B
i
s
i
,
KAPITEL 4. STOCHASTISCHE INTEGRATION I
31
wobei I =
{0,...n} mit n := |v()\{0}|, 0 = s
0
s
1
...s
n
T und außerdem (B
i
)
iI
eine Partition von derart ist, daß B
i
F
s
i
f¨
ur alle i
I ist. Dann ist
Z
v
=
iI
1
B
i
Z
s
i
=
iI
1
B
i
]0,s
i
]
Y
s
dX
s
=
iI
1
B
i
T
1
]0,s
i
]
Y
s
dX
s
=
T
iI
1
B
i
×]0,s
i
]
Y
s
dX
s
=
T
1
]0,v]
Y
s
dX
s
.
Satz 4.13 (nach [13, S. 22 f.])
Seien J, K, L Banachr¨aume und sei L
L(J,K). X sei ein (L,J,K)-L
2
-primitiver stocha-
stischer Prozeß mit dominierendem Maß . Sei Y
L
2
L
(
× T,P,), und sei (Y
n
)
nIN
eine Folge aus L
2
L
(
× T,P,), die gegen Y in folgendem Sinne konvergiert: Es existie-
ren eine monoton fallende Nullfolge (
n
)
nIN
und eine Nullfolge (
n
)
nIN
aus [0,
[ mit
nIN
n
<
und
nIN
n
<
derart, daß f¨ur alle n IN
Y
n
- Y
2
L
2
L
(×T,P,)
n
2
n
(4.1)
gilt. Sei Z
n
eine cadlag-Modifikation
1
von
Y
n
dX
f¨ur jedes n
IN.
Dann konvergieren die Pfade Z
n
(,
·) f¨ur P-fast alle gleichm¨aßig auf jedem in
T
\ {t
m
} enthaltenen abgeschlossenen Intervall gegen die Pfade einer cadlag-Modifikation
von
Y dX
.
Beweis. (nach [13, S. 22 f.]) F¨
ur einfache Stoppzeiten v ist
Z
n
v
=
T
1
[0,v]
Y
n
s
dX
s
P
-fast sicher nach Lemma 4.12.
Damit erhalten wir f¨
ur jede Wahl von n
IN
Z
n
v
- Z
n+1
v
2
L
2
K
(,F ,P )
= E
Z
n
v
- Z
n+1
v
2
K
= E
T
1
[0,v]
(Y
n
- Y
n+1
) dX
2
K
×T
1
[0,v]
Y
n
- Y
n+1 2
L
d
Y
n
- Y
n+1 2
L
2
L
(×T,P,)
2
n
2
n
Diese Absch¨atzung ist unabh¨angig von der speziellen Wahl von v, und da die Z
n
cadlag
sind und jede Stoppzeit nach Satz 2.12 a) Limes einer monoton fallenden Folge einfacher
Stoppzeiten ist, gilt f¨
ur jede Stoppzeit v und alle n
IN
Z
n
v
- Z
n+1
v
2
L
2
K
(,F ,P )
2
n
2
n
1
Diese existiert, wenn der Integratorprozeß eine cadlag-Modifikation besitzt. Siehe Lemma 4.15
32
KAPITEL 4. STOCHASTISCHE INTEGRATION I
Nun definieren wir uns spezielle Stoppzeiten u
n
, n
IN, durch
u
n
() := inf t
T : Z
n
t
()
- Z
n+1
t
()
K
n
t
m
und Mengen G
n
, n IN, durch
G
n
:=
{ : u
n
() < t
m
}.
Wegen der cadlag-Eigenschaft der Z
n
ist dann gewiß
Z
n
u
n
()
()
- Z
n+1
u
n
()
()
2
K
2
n
f¨
ur alle
mit u
n
() < t
m
,
d. h. es ist
G
n
: Z
n
u
n
()
()
- Z
n+1
u
n
()
()
2
K
2
n
f¨
ur alle n
IN
.
Dadurch k¨onnen wir nun Z
n
u
n
- Z
n+1
u
n
2
L
2
K
(,F ,P )
wie folgt nach unten absch¨atzen:
Z
n
u
n
- Z
n+1
u
n
2
L
2
K
(,F ,P )
= E
Z
n
u
n
- Z
n+1
u
n
2
K
=
Z
n
u
n
- Z
n+1
u
n
2
K
dP
G
n
Z
n
u
n
- Z
n+1
u
n
2
K
dP
2
n
G
n
dP
=
2
n
P
(G
n
).
Insgesamt haben wir also f¨
ur alle n
IN die Ungleichung
P
(G
n
)
2
n
Z
n
u
n
- Z
n+1
u
n
2
L
2
K
(,F ,P )
2
n
2
n
;
somit f¨
ur das Maß von G
n
:
P
(G
n
)
2
n
, n
IN.
Wir definieren G :=
kIN nk
G
n
und fragen: Welche Bedeutung hat die Menge
\ G?
Zun¨achst ist
nk
G
n
=
:
nk
u
n
() < t
m
.
Dann ist
G
=
kIN nk
G
n
=
kIN
:
nk
u
n
() < t
m
=
:
kIN nk
u
n
() < t
m
=
{ : F¨ur unendlich viele n IN ist u
n
() < t
m
}
KAPITEL 4. STOCHASTISCHE INTEGRATION I
33
Das Komplement dieser Menge ist
\ G = :
n
0
IN
u
n
() = t
m
f¨
ur alle n
n
0
=
:
n
0
IN nn
0
Z
n
t
()
- Z
n+1
t
()
K
<
n
f¨
ur alle t
[0,t
m
[
=
:
n
0
IN nn
0
sup
t[0,t
m
[
Z
n
t
()
- Z
n+1
t
()
K
n
=
:
n
0
IN
n
n0
k
IN
sup
t[0,t
m
[
Z
n
t
()
- Z
n+k
t
()
K
n+k-1
=n
=
: (Z
n
t
())
nIN
ist eine Cauchyfolge und konvergiert
gleichm¨aßig auf abgeschlossenen Teilintervallen von [0, t
m
[ .
Nun ist nach Voraussetzung
nIN
P
(G
n
) = 2
nIN
n
<
, und das Borel-Cantelli-Lemma
(siehe z. B. [2, S. 74 f.]) zeigt nun, daß P (G) = 0 sein muß, also P (
\ G) = 1. Wir
definieren nun
Z
t
() :=
lim
n
Z
n
t
() f¨
ur
\ G
0
f¨
ur
G
und haben also gefunden, daß (Z
n
t
())
nIN
f¨
ur alle
\ G gleichm¨aßig auf jedem
in t
T \ {t
m
} enthaltenen abgeschlossenen Intervall gegen Z
t
() konvergiert. Wegen
der gleichm¨aßigen Konvergenz der Z
n
ist auch Z cadlag. Und schließlich konvergieren die
[0,t]
Y
n
s
dX
s
in L
2
K
(,
F,P) gegen
[0,t]
Y
s
dX
s
nach Satz 4.10 b), so daß f¨
ur jedes t
T \{t
m
}
P
-fast sicher
Z
t
=
[0,t]
Y
s
dX
s
gilt. Also ist Z eine Modifikation von
Y dX
.
Korollar 4.14 (nach [13, S. 23 f.]) Sei X ein (L, J, K)-L
2
-primitiver Prozeß mit dominie-
rendem Maß . Sei (Y
n
)
nIN
eine Folge aus L
2
L
(
×T,P,), die in L
2
L
(
×T,P,) gegen
Y konvergiert. Sei weiter Z
n
eine cadlag-Modifikation von
Y
n
dX
f¨ur jedes n
IN. Dann
existiert eine Teilfolge (n
r
)
rIN
nat¨urlicher Zahlen so, daß f¨ur P -fast alle
die Folgen
der Pfade (Z
n
r
())
rIN
gleichm¨aßig gegen die Pfade Z() einer cadlag-Modifikation Z von
Y dX
konvergieren.
Beweis. Die Teilfolge muß lediglich so gew¨ahlt werden, daß die Konvergenzbedingung f¨
ur
die Y
n
aus Satz 4.13 erf¨
ullt ist, und dies ist offensichtlich immer m¨oglich.
34
KAPITEL 4. STOCHASTISCHE INTEGRATION I
Lemma 4.15 (nach [13, S. 24]) Besitzt der (L, J, K)-L
2
-primitive Prozeß X mit domi-
mierendem Maß eine cadlag (bzw. stetige oder vorhersagbare) Modifikation, so auch der
Integralprozeß Z :=
Y dX
f¨ur alle Y
L
2
L
(
× T,P,).
Beweis. Sei zun¨achst Y
S(A,L), also (I endliche Indexmenge)
Y
=
iI
a
i
1
A
i
mit paarweise disjunkten A
i
R,
wobei f¨
ur i
I A
i
= F
i
×]s
i
, t
i
] mit F
i
F
s
i
sei. Dann ist
[0,t]
Y
s
dX
s
=
iI [0,t]
a
i
1
A
i
(s,
·)dX
s
=
iI
a
i
1
F
i
(X
t
i
t
- X
s
i
t
).
Und hieran liest man direkt ab : Ist X cadlag bzw. stetig oder vorhersagbar oder hat X
eine cadlag, stetige oder vorhersagbare Modifikation, so gilt dies auch f¨
ur den Prozeß Z.
Sei nun Y
L
2
L
(
× T,P,) beliebig. Sei weiter (Y
n
)
nIN
eine Folge aus S(
A,L), die
in L
2
L
(
× T,P,) gegen Y konvergiert. Nach Korollar 4.14 existiert eine Teilfolge (Y
n
r
),
so daß die Folge der Pfade der zugeh¨origen Z
n
r
P
-fast sicher gleichm¨aßig gegen die Pfade
von Z konvergieren. Und ist X cadlag bzw. stetig oder vorhersagbar, oder besitzt X eine
solche Modifikation, so muß dies, da dies nach obigen Betrachtungen f¨
ur alle Z
n
r
gilt,
auch f¨
ur Z gelten (Die Vorhersagbarkeit ist lediglich eine Meßbarkeits-Eigenschaft).
Das folgende Lemma zeigt, daß sich unter gewissen Voraussetzungen auch die L
2
-
Primitivit¨at vom Integrator- auf den Integralprozeß ¨ubertr¨agt:
Lemma 4.16 (nach [13, S. 33]) Seien J, K, K Banachr¨aume und L
L(J,K) bzw. L
L(K, K ) Unter-Banachr¨aume. Ferner sei L der Abschluß der Menge
{uv : v L,u L }
in L(J, K ).
Sei X :
× T J cadlag und (L,J,K)-L
2
- sowie (L, J, K )-L
2
-primitiv, jeweils mit
dominierendem Maß bzw. . Seien ferner Y
L
2
L
(
× T,P,) und Z eine cadlag-
Modifikation von
Y dX
.
Dann ist Z ein (L , K, K )-L
2
-primitiver Prozeß mit dominierendem Maß , gegeben
durch
(G) =
G
Y
2
L
d
f¨ur alle G
× T.
Beweis. Aufgrund unserer Voraussetzungen ist die Existenz einer cadlag-Modifikation Z
von
Y dX
durch Satz 4.13 und Lemma 4.15 verb¨
urgt. Die (L, J, K )-L
2
-Primitivit¨at von
X
bedeutet nach Definition 4.5, daß ein Maß auf (
× T,P) existiert, so daß f¨ur alle
Y
S(A,L)
E
T
Y dX
2
K
×T
Y
2
L
d <
Ende der Leseprobe aus 228 Seiten
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Details
- Arbeit zitieren
- , 1992, Das lineare Filterproblem in separablen Hilberträumen, Hamburg, Bedey Media GmbH, https://www.diplom.de/document/226958
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