Jens Kersting
Bewertung ausgewählter exotischer Optionen
ISBN: 978-3-8366-2520-3
Herstellung: Diplomica® Verlag GmbH, Hamburg, 2009
Zugl. Hochschule der Sparkassen-Finanzgruppe, Bonn, Deutschland, Bachelorarbeit,
2008
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© Diplomica Verlag GmbH
http://www.diplomica.de, Hamburg 2009
II
Abstract
Die vorliegende Arbeit widmet sich der Beschreibung und Bewertung von ausgewähl-
ten exotischen Optionen. Nach einer Vorstellung der grundlegenden mathematischen
Annahmen zur Optionspreisbestimmung werden mit dem Binomialmodell, der Black-
Scholes-Formel und der Monte-Carlo-Simulation drei bekannte Methoden zur Bewer-
tung von Optionen vorgestellt. In einem ersten Schritt werden hierfür einfache Optio-
nen mit den vorgenannten Modellen bewertet und die einschränkenden Annahmen der
Modelle untersucht. Nach einer allgemeinen Beschreibung von exotischen Optionen
und einem Ansatz für ihre Klassifizierung, werden im weiteren Verlauf der Arbeit mit
der Forward Start Option, der Barrier Option sowie der Basket Option drei exotische
Optionstypen vorgestellt und bewertet. Dabei wird deutlich, dass die drei vorgestellten
Bewertungsmodelle nicht ohne weiteres auf exotische Optionen anwendbar sind, son-
dern modifiziert werden müssen, um einen Preis für die exotischen Optionskontrakte
ermitteln zu können. Dies wird in Kapitel 4 vorgenommen. Abschließend werden die
wesentlichen Ergebnisse dieser Arbeit zusammengefasst und ihre Relevanz für die
Bankpraxis beschrieben.
Danksagungen
Dank gilt Frau Prof. Dr. Susanne Kruse für Ihre Flexibilität bei der Themenwahl und
die Unterstützung bei der Erarbeitung der Inhalte dieser Arbeit. Für die hilfreichen
Anmerkungen, die diese Arbeit abgerundet haben, bedanke ich mich darüber hinaus bei
Dr. Frank Lehrbass, Dr. Peter Scheffel, Dipl.-Wirt.-Math. Karin Ellers sowie Dipl.-
Kfm. Magnus Hillebrand.
III
Inhalt
Seite
Abstract
II
Danksagungen
II
Inhaltsverzeichnis
III
Abbildungsverzeichnis
IV
Abkürzungs- und Symbolverzeichnis
V
1. Einleitung
1
2. Grundsätzliche Überlegungen zur Bewertung von Optionen und Vorstellung
ausgewählter Bewertungsmodelle
2
2.1 Die unsichere Wertentwicklung von Finanztiteln in der Zukunft und ihre
Berücksichtigung bei der Optionsbewertung
2
2.2 Das Binomialmodell
4
2.2.1 Europäische Optionen im Binomialmodell
5
2.3 Das Black-Scholes-Modell
9
2.4 Monte-Carlo-Simulation
12
2.4.1 Einführung in die Bewertung von Optionen mit der Monte-Carlo-Simulation
12
2.4.2 Möglichkeiten zur Reduktion der Varianz der Ergebnisse
15
3. Exotische Optionen und ihre Klassifizierung
17
3.1 Einführung in die exotischen Optionen
17
3.2 Klassifizierung von exotischen Optionen
18
4. Ausgewählte exotische Optionen und Ansätze für ihre Bewertung
20
4.1 Forward Start Optionen
20
4.1.1 Einführung in die Forward Start Optionen
20
4.1.2 Bewertung von Forward Start Optionen mit dem Binomialmodell
20
4.1.3 Bewertung von Forward Start Optionen mit dem Black-Scholes-Modell
22
4.2 Barrier Optionen
24
4.2.1 Einführung in die Barrier Optionen
24
4.2.2 Bewertung von Barrier Optionen im Binomialmodell
27
4.3 Basket Optionen
29
4.3.1 Einführung in die Basket Optionen
29
4.3.2 Bewertung von Basket Optionen mit der Monte-Carlo-Simulation
31
5. Zusammenfassung und Würdigung
35
Anhang
36
Literaturverzeichnis
42
IV
Abbildungsverzeichnis
Abbildung
Seite
Abb. 2.1: Darstellung der möglichen Wertverläufe der Underlyings
im einstufigen Binomialbaum
5
Abb. 2.2: Darstellung des Zahlenbeispiels aus 2.2.1 im Binomialbaum
6
Abb. 2.3: Mögliche Verläufe des Underlying- und Optionspreises im
mehrstufigen Binomialbaum
8
Abb. 2.4: Der Optionspreis nach Black-Scholes im dreidimensionalen Koordinatensystem 11
Abb. 4.1: Grafische Darstellung der Bewertung einer Forward Start Option
im zweistufigen Binomialbaum
21
Abb. 4.2: Beispielhafte Wertentwicklung des Underlyings einer Forward Start
Option im Binomialmodell (Zahlenbeispiel)
22
Abb. 4.3: Auflistung und Beschreibung möglicher Arten von Barrier-Optionen
25
Abb. 4.4: Bedeutung von Barrier und Wertverlauf des Underlyings der für
Knock-in- und Knock-Out-Barrier Optionen
25
Abb. 4.5: Wertentwicklung und Auszahlungsprofile einer Up-and-In Call Barrier
Option im vierstufigen Binomialmodell
28
V
Abkürzungs- und Symbolverzeichnis
OTC-Markt
Over-the-counter Markt
T
Laufzeit einer Option
t
einzelnes Zeitintervall
µ
durchschnittlicher Ertrag eines Finanztitels
Volatilität eines Finanztitels
standardnormalverteilte Zufallsvariable
r
risikoloser Zinssatz
X
Wiener Prozess
dS(t)
Veränderung des Preises eines Finanztitels
S(t0)
Underlyingpreis in der Gegenwart
Su(t0)
Underlyingpreis im Binomialmodell bei positiver Wertentwicklung
Sd(t0)
Underlyingpreis im Binomialmodell bei negativer Wertentwicklung
u
Faktor für die positive Wertentwicklung im Binomialmodell
d
Faktor für die negative Wertentwicklung im Binomialmodell
p*
Wahrscheinlichkeit für positive Wertentwicklung im Binomialmodell
K
Basispreis der Option
C
u
Preis einer Call-Option bei positiver Wertentwicklung im Binomialmodell
C
d
Preis einer Call-Option bei negativer Wertentwicklung im Binomialmodell
C
0
Preis einer Call-Option in der Gegenwart im Binomialmodell
V
u
Wert des Hedgeportfolios bei positiver Wertentwicklung
V
d
Wert des Hedgeportfolios bei negativer Wertentwicklung
PV(V)
Barwert des Hedgeportfolios
Optionspreis im Binomialmodell
Fc(S
t
,t)
Wert einer europäischen Call-Option im Black-Scholes-Modell
F
P
(S
t
,t)
Wert einer europäischen Put-Option im Black-Scholes-Modell
E[S(t)]
Erwartungswert für den Underlyingspreis im Zeitpunkt t
S
t
Underlyingspreis im Zeitpunkt t
Std(
)
Standardschätzfehler
T*
Laufzeitende einer Forward Start Option
FST
C
Preis einer Forward Start Call-Option im Black-Scholes-Modell
C
0Barrier
Preis einer Barrier-Call-Option im Binomialmodell
V
Basket
Wert des Referenzportfolios einer Basket Option
Korrelationskoeffizient
F
C
Preis einer Basket Call Option
1
1.
Einleitung
,,With derivatives you can have almost any payoff pattern you want. If you can draw it on
paper, or describe it in words, someone can design a derivative that gives you that payoff."
Dieser häufig zitierte Satz von Fisher Black, einem der Entwickler des Black-Scholes-
Modells zur Optionsbewertung, aus dem Jahre 1995, fasst die Entwicklung des Options-
marktes in den letzten Jahrzehnten überzeugend zusammen. Die ursprünglich recht einfa-
chen Formen dieser Derivate, oft auch als Plain-Vanilla-Optionen bezeichnet, wurden in
vielerlei Hinsicht weiterentwickelt und so an individuelle Bedürfnisse von Investoren an-
gepasst. Dies führte dazu, dass heute insbesondere auf dem Over-the-Counter-Markt
(OTC-Markt), auf dem institutionelle Investoren agieren, eine Vielzahl von Weiterent-
wicklungen der einfachen Optionen, sogenannte exotische Optionen, existieren.
Die vorliegende Arbeit stellt einige ausgewählte Formen dieser exotischen Optionen und
verschiedene Ansätze für ihre Bewertung vor. In Kapitel 2 werden zunächst einige grund-
legende Annahmen der quantitativen Finanzanalyse aufgeführt, die für die Ermittlung ei-
nes zuverlässigen Preises benötigt werden. Im folgenden Verlauf dieses Kapitels werden
mit dem Binomialmodell (Kapitel 2.2), der Black-Scholes-Formel (Kapitel 2.3) und der
Monte-Carlo-Simulation (Kapitel 2.4) drei Methoden der Optionsbewertung am Beispiel
von einfachen Optionen vorgestellt.
Kapitel 3 widmet sich allgemeinen Themen und Fragestellungen zu exotischen Optionen.
In Kapitel 3.1 werden, nach einer Einführung zu exotischen Optionen, die Motive von
Marktteilnehmern, die zur Entwicklung dieser komplexen Produkte geführt haben, vorge-
stellt. In Abschnitt 3.2 wird ein Klassifizierungssystem aufgezeigt, mit welchem die zahl-
reichen Formen von exotischen Optionen zu Obergruppen zusammengefasst werden kön-
nen. Dies ist, wie im Folgenden gezeigt wird, besonders für die Wahl des verwendeten
Bewertungsmodells relevant. Das Kapitel 4 befasst sich mit einigen ausgewählten exoti-
schen Optionsformen und ihrer Bewertung, wobei zur Veranschaulichung Forward Start
Optionen, Barrier Optionen und Basket Optionen ausgewählt wurden. Nach einer Einord-
nung in das in Kapitel 3.1 eingeführte Klassifizierungssystem, werden Preise für die oben
erwähnten Kontrakte mit den Bewertungsmethoden aus Kapitel 2 ermittelt. Kapitel 5 fasst
die wesentlichen Ergebnisse dieser Arbeit zusammen, wobei die verwendeten Modelle kri-
tische gewürdigt werden. Im Anschluss daran wird die Relevanz dieses Themas für die
Bankpraxis diskutiert.
2
2. Grundsätzliche Überlegungen zur Bewertung von Optionen und Vorstellung aus-
gewählter Bewertungsmodelle
2.1 Die unsichere Wertentwicklung von Finanztiteln in der Zukunft und ihre Berücksichti-
gung bei der Optionsbewertung
Die Verfahren zur Bewertung von Finanztiteln sind zahlreich und verfolgen verschiedene
Ansätze. Während einige Methoden, wie zum Beispiel die technische Analyse oder die
Fundamentalanalyse zur Bewertung von Aktien, den Preis eines Finanztitels in der Zukunft
auf Basis von historischen Kursverläufen oder Unternehmenszahlen ermitteln, so verfolgt
die quantitative Bewertungsmethodik einen anderen Ansatz. Die quantitative Finanzanaly-
se unterstellt eine zufällige Komponente in den zukünftigen Preise von Finanztiteln, die
nicht sicher prognostizierbar sind. Es wird versucht, diese zufällige Wertentwicklung in
mathematischen Modellen abzubilden und zu einem möglichst verlässlichen Ergebnis für
den Preis des Finanztitels in der Zukunft zu gelangen. Im folgenden Verlauf dieses Ab-
schnitts sollen zunächst die wichtigsten Annahmen und Parameter, die den ab Kapitel 2.2
vorgestellten und später angewandten Modellen zugrunde liegen, kurz beschrieben werden.
Bei der Bewertung einer Option kommt unter anderem der Laufzeit T eine Bedeutung zu.
Häufig werden Preise von Finanzwerten in der Gegenwart durch Abzinsung eines erwarte-
ten zukünftigen Wertes ermittelt. Bei umgekehrter Vorgehensweise werden, ausgehend
vom gegenwärtigen Wert, mögliche Wertverläufe bis zu einem Zeitpunkt in der Zukunft
betrachtet. Modelle mit diskreter Zeitbetrachtung verwenden ein oder mehrere gleichlange
Intervalle, die mit t
notiert werden. Falls nur ein Intervall vorhanden ist gilt
T
t
=
. Wird
die Laufzeit eines Kontraktes in eine beliebige Anzahl n von Intervallen
i
t
unterteilt gilt,
dass
=
=
n
t
i
t
T
0
ist.
Der relative Wertzuwachs eines Finanztitels in der Zukunft sei gegeben durch
t
t
R
i
+
=
µ
(2.1)
1
mit
i
R
als Ertrag des Finanztitels im Betrachtungszeitpunkt i , dem Term
t
µ
als Durch-
schnitt der Renditen in einem Zeitintervall und
als Standardabweichung der Erträge um
den Mittelwert. Mit der Volatilität
wird die mögliche Abweichung der tatsächlichen zu-
künftigen Werte vom Erwartungswert beschrieben. Der Ausdruck
t
ist eine Zufalls-
1
vgl. Wilmott (2007), S. 105
3
komponente, mit der die unsichere Wertentwicklung des Titels in der Zukunft nachgebildet
wird. Das
beschreibt eine standardnormalverteilte Variable. Die Variable µ ist die
Wachstumsrate, auch Drift genannt, welche bei Risikofreiheit durch den risikolosen Zins-
satz r ersetzt werden kann.
2
Problematisch an einer diskreten Zeitbetrachtung mit t
ist, dass die Güte eines Preises
für einen Finanztitel sehr stark von der gewählten Länge eines Intervalls abhängt. Dem
liegt der Gedanke zugrunde, dass eine Wertentwicklung umso verlässlicher prognostiziert
werden kann, je kürzer der Betrachtungszeitraum ist. In einem unendlich kleinem Zeitin-
tervall sind nur zwei Wertentwicklungen möglich: ein sehr kleiner Anstieg oder Rückgang
des Preises. Da diese stetige Zeitbetrachtung die verlässlichsten Ergebnisse für den zukünf-
tigen Wert des Titels liefert, kommen bei der Bewertung von Derivaten sehr häufig sto-
chastische Berechnungsmethoden mit stetiger Zeitrechnung zum Einsatz. Diese ermögli-
chen eine Berücksichtigung derart kleiner Zeitintervalle, ohne dass sie einen solch hohen
Rechenaufwand verursachen, wie ein diskretes Modell mit einer unendlichen Anzahl von
Zeitintervallen.
3
Eine Möglichkeit zur Abbildung von stochastischen Bewegungen zukünftiger Preise eines
Finanztitels und zur Bewertung eines Derivates ist die Verwendung von sog. Wiener Pro-
zessen, auch bekannt als Brownsche Bewegungen. Die Veränderungen einer Einheit sei
durch
d
beschrieben. Der Ausdruck dS beispielsweise beschreibt die Veränderung des
Preises des Underlyings. Im Gegensatz zu (2.1) soll im folgenden Verlauf jedoch davon
ausgegangen werden, dass die Zeit stetig ist. Das Intervall t
geht somit gegen Null. Am
Beispiel der Gleichung (2.1) bedeutet dies, dass das erste Intervall t
zu dt wird. Der Term
t
wird zu dX , wobei sich dieser Wert über einen Zeitraum dt wie eine standardnor-
malverteilte Zufallsvariable verhält.
4
Der Term X wird als Wiener Prozess bezeichnet.
Die mögliche Wertveränderung
)
(
i
t
S
eines Underlyings nach n Zeitintervallen t
sei be-
zeichnet mit:
,
)
(
)
(
)
(
1
0
=
=
-
n
i
i
n
t
S
t
S
t
S
wenn
n
(2.2)
Der Preis des Underlyings im Zeitpunkt i wird mit S(t
i
) bezeichnet. Ferner wird angenom-
men, die Wertänderung des Underlyings in einem Zeitintervall t
sei eine Funktion von
t
oder
t
-
. Der rechte Term von Gleichung (2.2) besteht für eine unendliche Anzahl
2
vgl. Wilmott (2007), S. 106
3
vgl. Neftci (2000), S. 46
4
vgl. Wilmott (2007), S. 111 ff.
4
von n Perioden aus einer Vielzahl von unabhängigen, gleichverteilten Werten. Da die
Wertveränderungen von t
, der Länge des Zeitintervalls, determiniert werden, werden die
Wertveränderungen immer kleiner, je näher t
gegen Null geht. Die Summe aller Wert-
änderung kann aufgrund der Annahme, diese seien normalverteilt, mit einem Wiener Pro-
zess approximiert werden.
5
Die relative Wertveränderung eines Underlyings sei gegeben
durch die stochastische Differentialgleichung
)
(
)
(
)
(
)
(
t
dX
t
S
dt
t
S
t
dS
µ
+
=
(2.3)
Die Veränderung d des Underlyingpreises
)
(t
S
setzt sich aus den zwei Termen auf der
rechten Seite der Gleichung (2.3) zusammen. Der Ausdruck
dt
t
S
)
(
µ
bildet hierbei die
Verzinsungskomponente, der rechte Term
)
(
)
(
t
dX
t
S
ist eine Zufallskomponente, die den
zufälligen Preisverlauf des Underlyings in Gleichung (2.3) berücksichtigt. Dieser Glei-
chung liegt die Annahme zugrunde, dass sich der Preis des Underlyings aus einer festen
Verzinsung und einer zufälligen Komponente zusammensetzt.
Die Zufallskomponente
)
(
)
(
t
dX
t
S
folgt einer Brownschen Bewegung X . Es gilt:
dt
dt
Z
t
dX
×
=
)
(
)
(
(2.4)
Die Lösung der stochastischen Differentialgleichung (2.3) erfolgt mit Hilfe von Itôs Lem-
ma. Hieraus ergibt sich die folgende Funktion für den Underlyingpreis
6
:
)
(
²
2
1
)
0
(
)
(
T
X
rT
e
S
T
S
+
-
×
=
(2.5)
Der Erwartungswert der logarithmischen Aktienrenditen , welche durch
))
0
(
/
)
(
ln(
S
T
S
gegeben sind, ist gegeben durch
T
rT
²
5
,
0
-
mit einer Standardabweichung von
T
.
Wiener Prozesse bzw. Brownsche Bewegungen sind ein wesentliches Element des Black-
Scholes-Modells sowie der Monte-Carlo-Simulation, die in den folgenden Abschnitten 2.3
und 2.4 vorgestellt werden.
2.2
Das Binomialmodell
Das Binomialmodell hat seinen Ursprung in der Arbeit von Cox, Ross und Rubinstein aus
dem Jahr 1979
7
. Es handelt sich bei diesem Ansatz um ein einfaches Modell zur Bewer-
tung von Optionen, welchem eine diskrete Zeitbetrachtung zugrunde liegt. Die Laufzeit T
der Option wird in mehrere kleinere Zeitintervalle t
n
unterteilt. Wesentlich für die Ermitt-
lung des Optionspreises ist ferner die Annahme, dass der zukünftige Wert eines Underly-
5
vgl. Neftci (2000), S. 176
6
vgl. Kruse (2007), S. 111
7
Cox, Ross, Rubinstein: "Option Pricing A Simplified Approach" (März 1979), erschienen unter dem sel-
ben Titel im ,,Journal of Financial Economics", September 1979
5
ings, und somit auch einer Option auf dieses Underlying, nicht vorhersagbar ist und ein
Handel mit dem Underlying nur zu den betrachteten Zeitpunkten t
n
möglich ist.
Es wird in der Gegenwart t
0
davon ausgegangen, dass sich der Wert des Underlyings in t
1
auf einen Faktor u erhöht oder sich auf einen Faktor d verringert. Für u und d gilt demnach:
1
>
u
und
1
0
<
< d
Die Abbildung dieser beiden möglichen Wertverläufe erfolgt in einem Binomialbaum, wie
er in Abbildung 2.1 dargestellt wird.
Abb. 2.1: Darstellung der möglichen Wertverläufe der Underlyings im
einstufigen Binomialbaum
(Quelle: eigene Darstellung)
Verläuft der gegenwärtige Wert des Underlyings S(t
0
) positiv, so wird dieser Wert in t
1
mit
S
u
(t
0
) bezeichnet, wobei das u für ,,up" steht, analog dazu bei negativer Wertentwicklung
mit S
d
(t
0
), mit d für ,,down". Das Binomialmodell betrachtet unterschiedliche Zeitpunkte t
n
und unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten für die mögliche Wertentwicklung in der Zu-
kunft.
Da sich eine Shortposition in einer Option C und eine korrespondierende Longposition mit
einer Anzahl von Einheiten des Underlyings S derart kombinieren lassen, dass dieses
Portfolio kein Risiko mehr enthält, kann die Drift-Rate
µ
durch den risikolosen Zins r er-
setzt werden.
8
Unter Berücksichtigung dieses risikofreien Zinssatzes kann dann argumen-
tiert werden, dass ein risikoloses Portfolio einen Ertrag in Höhe von r erbringen muss.
9
Dabei unterstellt das Modell eine flache Zinsstrukturkurve.
2.2.1 Europäische Optionen im Binomialmodell
Die oben dargestellte Vorgehensweise soll zunächst anhand eines Beispiels für eine euro-
päische Option veranschaulicht werden. Zur Bewertung einer europäischen Call-Option
8
vgl. Cox, Ross, Rubinstein (1979), S. 3
9
vgl. Hull (2006) S. 241/242
S(t
0
)
u
d
S
u
(t
0
)
S
d
(t
0
)
1 Periode (t
0
+
t
)
Ende der Leseprobe aus 47 Seiten
- nach oben
Details
- Arbeit zitieren
- , 2008, Bewertung ausgewählter exotischer Optionen, Hamburg, Bedey Media GmbH, https://www.diplom.de/document/226498
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