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Yuliya Schumacher
Über die Spingruppe eines pseudoeuklidischen Vektorraumes
ISBN: 978-3-8366-1661-4
Druck Diplomica® Verlag GmbH, Hamburg, 2008
Zugl. Universität zu Köln, Köln, Deutschland, Diplomarbeit, 2006
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© Diplomica Verlag GmbH
http://www.diplom.de, Hamburg 2008
Printed in Germany
i
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
iii
1
Konstruktion der Spingruppe
1
1.1
Orthogonale Gruppe eines pseudoeuklidischen Vektorraumes . . . . .
1
1.2
Clifford-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Der Satz von Cartan-Dieudonn´
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4
Die Spingruppe Spin(V, ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2
Topologische Eigenschaften der Spingruppe Spin(V, ).
21
2.1
Beschreibung der Zusammenhangskomponenten von Spin(V, ) . . . .
21
2.2
Stellt Spin
+
(V, ) eine universelle ¨
Uberlagerungsgruppe von SO
+
(V, )
dar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.2.1
Logarithmus und Quadratwurzel von positiven Endomorphis-
men. Polarzerlegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.2.2
Polardarstellung von O(V, )
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.2.3
Die Fundamentalgruppe
1
(SO
+
(V, )). . . . . . . . . . . .
39
2.3
Die Spingruppe eines Lorentz-Vektorraumes . . . . . . . . . . . . . .
44
Literaturverzeichnis
49
iii
Einleitung
Die spezielle orthogonale Gruppe eines euklidischen Vektorraumes U ist bekanntlich
wegweise zusammenh¨
angend und besitzt daher eine universelle ¨
Uberlagerung. In
[12] wird beschrieben, wie eine universelle ¨
Uberlagerungsgruppe von SO(U ), die sog.
Spingruppe,
"
konstruiert" werden kann.
Die vorliegende Arbeit besch¨
aftigt sich mit der Frage, ob dieses Konstruktionsver-
fahren auch f¨
ur pseudoeuklidische Vektorr¨
aume realisierbar ist und ob es zu dem
gleichen Ergebnis f¨
uhrt, wie f¨
ur einen euklidischen Vektorraum U . Unter einem pseu-
doeuklidischen Vektorraum ist dabei ein endlich-dimensionaler reeller Vektorraum
V mit einer nicht-entarteten, symmetrischen Bilinearform : V × V IR zu
verstehen. Die positive Definitheit wird also nicht verlangt.
Bei dem in [12] beschrieben Ansatz wird mit der Clifford-Algebra des Vektorrau-
mes U bzw. mit der Gruppe ihrer Einheiten gearbeitet: dort wird zun¨
achst die sog.
Clifford-Gruppe extrahiert, welche sp¨
ater als eine Liesche Gruppe erkannt wird.
Verm¨
oge eines bestimmten Liegruppen-Homomorphismus (der explizit angegeben
werden kann) wird die Clifford-Gruppe surjektiv auf die orthogonale Gruppe O(U )
abgebildet. Ein surjektiver Liegruppen-Homomorphismus, dessen Kern diskret ist,
ist bekanntlich bereits eine ¨
Uberlagerung. Allerdings besteht der Kern von aus
ganz IR. Um dieses Problem zu beheben, wird auf eine derartige Liesche Un-
tergruppe der Clifford-Gruppe eingeschr¨
ankt, dass der Kern dieser Einschr¨
ankung
diskret wird, wobei die Surjektivit¨
at erhalten bleibt. Diese Untergruppe wird in der
Literatur mit P in bezeichnet. Da der Kern von |P in nun aus nur 2 Elementen be-
steht, wird |P in zu einer zweibl¨
attrigen ¨
Uberlagerung von O(U ). Anschließend wird
in P in eine weitere Liesche Untergruppe, die sog. Spingruppe Spin(U ),
"
entdeckt", so
dass die Einschr¨
ankung von auf Spin(U ) zu einer zweibl¨
attrigen ¨
Uberlagerung von
SO(U ) wird. Dar¨
uberhinaus stellt man fest, dass die Spingruppe Spin(U ) einfach-
zusammenh¨
angend und somit eine universelle ¨
Uberlagerungsgruppe von SO(U ) ist.
Als Orientierungsquelle hierf¨
ur wird im Rahmen dieser Arbeit gr¨
oßtenteils [12] ver-
wendet.
Die Arbeit ist folgendermaßen aufgebaut:
Im ersten Kapitel wird nach einer knappen definitorischen Zusammenfassung der
f¨
ur diese Arbeit zentralen und durchgehend verwendeten Begriffe, wie die Signa-
tur einer symmetrischen Bilinearform und die orthogonale Gruppe, der Begriff der
Clifford-Algebra und der Clifford-Gruppe zu einem endlich-dimensionalen reellen
Vektorraum V mit einer quadratischen Form Q : V IR eingef¨
uhrt sowie einige
ihrer Eigenschaften beschrieben. Dar¨
uber hinaus wird ein Liegruppen-Homomorphis-
mus angegeben, welcher die Clifford-Gruppe surjektiv auf die orthogonale Gruppe
abbildet. Dies geschieht im Abschnitt 1.2 in kompletter ¨
Ubereinstimmung mit [12].
Ein unverzichtbares Werkzeug f¨
ur die folgenden ¨
Uberlegungen ist der Satz von
Cartan-Dieudonn´
e, welcher besagt, dass jede (von der Identit¨
at verschiedene) ortho-
gonale Transformation von V eine Komposition von Spiegelungen an bestimmten
Hyperebenen von V ist, wobei die Anzahl dieser Spiegelungen nicht gr¨
oßer als die
iv
Dimension von V ist. Der Abschnitt 1.3 besch¨
aftigt sich mit diesem Satz. Der in [12]
vorgef¨
uhrte Beweis setzt voraus, dass der Vektorraum V euklidisch ist, und bedarf
im Falle eines pseudouklidischen Vektorraumes weitgehender Erg¨
anzungen. Diese
habe ich in Orientierung an [1] vorgenommen. In 1.4 wird das Konstruktionsverfah-
ren aus [12] fortgesetzt, wobei eine geringf¨
ugige Ver¨
anderung in der Definition von
P in notwendig wird. Als n¨
achstes wird in 1.4 die Spingruppe Spin(V, ) von dem
pseudoeuklidischen Vektorraum V definiert und als eine Liegruppe identifiziert, und
es folgt eine Beschreibung der Elemente von Spin(V, ). Anschließend wird in 1.4 ge-
zeigt, dass die spezielle orthogonale Gruppe SO(V, ) von der Spingruppe Spin(V, )
2-bl¨
attrig ¨
uberlagert wird. Daran erkennt man den ersten wesentlichen Unterschied
zu dem euklidischen Fall, n¨
amlich die Tatsache, dass Spin(V, ) nicht zusammen-
h¨
angend ist, denn im Falle, dass V echt nicht-euklidisch ist, besteht die speziel-
le orthogonale Gruppe SO(V, ) aus zwei Zusammenhangskomponenten. Um auch
weiterhin von einer universellen ¨
Uberlagerungsgruppe reden zu k¨
onnen, wird man
also an dieser Stelle sich auf die Betrachtung von neutralen Zusammenhangskompo-
nenten der beiden Gruppen einschr¨
anken m¨
ussen. Es stellt sich allerdings dabei die
Frage, wie die neutrale Komponente von Spin(V, ) ¨
uberhaupt aussieht. Das Kapi-
tel 2 dient dazu, diese Frage zu beantworten und die w¨
ahrenddessen aufgedeckten
weiteren Unterschiede zu dem euklidischen Fall zu studieren.
In 2.1 wird die Spingruppe Spin(V, ) zun¨
achst in zwei disjunkte nicht-leere offe-
ne Teilmengen zerlegt, welche eine
"
einfache" Gestalt besitzen.
1
Als n¨
achstes wird
gezeigt, dass Spin(V, ) genau zwei Zusammenhangskomponenten hat, und mit Hil-
fe der Zerlegung von Spin(V, ) in
"
einfache" Teilmengen gelangt man zu einer
expliziten Beschreibung der Neutralkomponente von Spin(V, ). Es bleibt aller-
dings noch die Frage offen, ob die neutrale Komponente von Spin(V, ) einfach-
zusammenh¨
angend ist. Dass dies bei h¨
oheren Dimensionen und Signaturwerten nicht
der Fall ist, steht z.B. in [8], Seite 220, bzw. folgt aus einer Feststellung in [7],
Seite 20, mir ist allerdings keine Literaturquelle bekannt, wo diese Tatsache ausf¨
uhr-
lich begr¨
undet wird. Ich gebe in meiner Arbeit eine Antwort auf die obige Frage,
indem ich im Abschnitt 2.2 eine Beschreibung der Fundamentalgruppe der neutra-
len Komponente SO
+
(V, ) von SO(V, ) angebe, woraus folgt, dass eine universelle
¨
Uberlagerung von SO
+
(V, ) im Falle eines echt nicht-euklidischen Vektorraumes V
nicht notwendigerweise 2-bl¨
attrig ist. In den Teilabschnitten 2.2.1 und 2.2.2 werden
technische Mittel geschaffen, mit deren Hilfe ich im Teilabschnitt 2.2.3 dann zeige,
dass die orthogonale Gruppe von V zu einem topologischen Raum hom¨
oomorph
ist, dessen Zusammenhangskomponenten Fundamentalgruppen bekannter Struktur
besitzen.
Im Falle, dass V ein Lorentz-Vektorraum und dim V 4 ist, kommt man insbeson-
dere zu dem Ergebnis, dass die neutrale Komponente von Spin(V, ) eine universelle
¨
Uberlagerungsgruppe von SO
+
(V, ) ist.
2
Im Abschnitt 2.3 wird ein alternativer
Beweis daf¨
ur angegeben.
Die in der Arbeit verwendeten Bezeichnungen stimmen gr¨
oßtenteils mit denen aus
1
Bei diesem Schritt orientiere ich mich an einer Definition in [8], Seite 220.
2
Vgl. [8], S. 220.
v
[12] ¨
uberein, um die Analogie zu der dort beschriebenen Vorgehensweise deutlicher
zu machen.
Die allgemein bekannten Resultate aus der linearen Algebra und der Analysis wie
z.B Diagonalisierbarkeitskriterien f¨
ur Endomorphismen endlich-dimensionaler reel-
ler Vektorr¨
aume bzw. einfache topologische Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten
werden i. d. R. ohne weiteren Kommentare verwendet. Dasgleiche gilt f¨
ur die Stan-
dardbezeichnungen wie z.B. das Kronekersymbol.
Definitionen, Lemmata, S¨
atze und Theoreme werden jeweils fortlaufend nummeriert.
1
KONSTRUKTION DER SPINGRUPPE
1
1 Konstruktion der Spingruppe
In diesem Kapitel sei V ein endlich-dimensionaler reeller Vektorraum der Dimension
n 1.
1.1 Orthogonale Gruppe eines pseudoeuklidischen Vektorraumes
Es werde eine symmetrische Bilinearform : V × V IR fixiert. Dann existiert per
definitionem eine quadratische Form Q : V IR, so dass
v V :
(v, v) = Q(v)
gilt. Die quadratische Form Q ist eindeutig durch festgelegt. Aus diesem Grund
wird im Folgenden gelegentlich statt (u, u) auch die Schreibweise Q(u) verwendet.
Die Bilinearform heißt nicht-entartet, falls das Radikal von , das ist der Un-
tervektorraum
V
0
:= { v V | u V : (v, u) = 0 },
nur das Nullelement enth¨
alt. In diesem Fall wird auch die zugeh¨
orige quadratische
Form Q nicht-entartet genannt. Unter dem Radikal von Q versteht man ebenfalls
den Untervektorraum V
0
.
Ist U ein Untervektorraum von V , so heißt U nicht-entartet, falls die Bilinearform
|U : U × U IR nicht-entartet ist.
Ist nicht-entartet, so existiert eine Basis b von V, so dass die Bilinearform durch
(u, v) = -
s
i=1
x
i
(u) · x
i
(v) +
n
i=s+1
x
i
(u) · x
i
(v)
beschrieben werden kann, wobei (x
1
, . . . , x
n
) die duale Basis von V
zu b bezeich-
net.
3
Die Zahl s ist von der Basiswahl unabh¨
angig und wird im Folgenden die Sig-
natur der Bilinearform oder auch die Signatur des Vektorraumes V genannt.
4
Generalvoraussetzung. Im Folgenden soll stets von der Nullform verschieden
sein. Wenn nichts anderes gesagt wird, so ist im Falle einer nicht-entarteten Biline-
arform davon auszugehen, dass s {0, . . . , n} ist.
Ein Vektor u V \{0} heißt isotrop, falls (u, u) = 0 ist. Ist (u, u) > 0, so heißt
u raumartig, und im Falle (u, u) < 0 wird u zeitartig genannt.
Bemerkung. Ist 0 < s < n, so existiert in V aufgrund der Stetigkeit von ein
isotroper Vektor.
3
Vgl. dazu [16], Kap. 5.2, Satz D.
4
Vgl. auch [11], Anhang A, A.10.
1
KONSTRUKTION DER SPINGRUPPE
2
Definition 1. F¨
ur die Bilinearform kann man die Untergruppen
O(V, ) := { A GL(V ) | u, v V : (Au, Av) = (u, v) }
und
SO(V, ) := { A O(V, ) | det(A) = 1 }
definieren. O(V, ) heißt orthogonale Gruppe von V , ihre Elemente werden im
Folgenden orthogonale Transformationen genannt.
Bemerkung. An der Bedingung u, v V : (Au, Av) = (u, v) in der obigen
Definition erkennt man, dass der Begriff der orthogonalen Gruppe an die Wahl der
Bilinearform gekn¨
upft ist.
Mit SO
+
(V, ) wird im Folgenden die neutrale Zusammenhangskomponente der
orthogonalen Gruppe O(V, ) bezeichnet. Als
"
Nebenprodukt" der in dieser Arbeit
gewonnenen Ergebnisse wird sich sp¨
ater herausstellen, dass im Falle einer nicht-
entarteten Bilinearform mit der Signatur 1 s n - 1 die volle orthogonale
Gruppe O(V, ) aus vier Zusammenhangskomponenten besteht, welche die Neben-
klassen von SO
+
(V, ) sind. Dieses Ergebnis findet man z. B. auch in [5], S.220, oder
in [9], S.238.
Lemma 1. Ist nicht-entartet und A eine orthogonale Transformation, so gilt
| det(A)| = 1.
Dies wird in [1], S.108 , bzw. in [12], Lemma 1, begr¨
undet.
O(V, ) ist eine Liegruppe
5
, und SO(V, ) ist eine offene (und daher Liesche) Unter-
gruppe von O(V, ).
6
Dies ergibt sich aus der Stetigkeit der Determinantenfunktion
und aus dem obigen Lemma. Da SO
+
(V, ) laut Definition zusammenh¨
angend und
id
V
SO
+
(V, ) ist, folgt weiterhin SO
+
(V, ) SO(V, ). Dass SO
+
(V, ) in der
Wirklichkeit eine offene Liesche Untergruppe von SO(V, ) vom Index 2 ist, folgt aus
dem oben Gesagten; dies wird im Folgenden als bekannt vorausgesetzt. Die nicht-
triviale Nebenklasse von SO
+
(V, ) in SO(V, ) wird mit SO
-
(V, ) bezeichnet.
7
Definition 2. Ist nicht-entartet und A O(V, ) eine orthogonale Transforma-
tion mit det(A) = 1, so wird A orientierungserhaltend genannt. Ist det(A) = -1,
so nennt man A orientierungsumkehrend.
1.2 Clifford-Algebren
Alle in diesem Abschnitt zusammengefassten Definitionen, Lemmata, S¨
atze und Be-
weisideen stammen aus [12] und wurden von mir nur geringf¨
ugig an den entsprechend
gekennzeichneten Stellen erweitert.
5
Vgl. z. B. [11], Anhang A, Aussage 2.
6
Bekanntlich ist jede offene Untergruppe einer topologischen Gruppe auch abgeschlossen.
7
Diese Tatsache folgt insbesondere auch aus den sp¨
ateren Ergebnissen der Arbeit. F¨
ur den
strukturellen Aufbau ist es allerdings sinnvoller, bereits am Anfang der Arbeit die Menge
SO(V, )\SO
+
(V, ) = geeignet zu kennzeichnen.
1
KONSTRUKTION DER SPINGRUPPE
3
Es gelten die Voraussetzungen und Bezeichnungen des vorigen Abschnitts.
Ist im Folgenden von einer Algebra A die Rede, so ist eine assoziative IR-Algebra mit
einem vom Nullelement verschiedenen Einselement e
A
gemeint. F¨
ur einen Algebra-
Homomorphismus : A
1
A
2
wird stillschweigend (e
1
) = e
2
verlangt, wobei e
1
und e
2
die Einselemente jeweiliger Algebren sind.
Definition 3. Unter einer Clifford-Algebra zum Paar (V, Q) versteht man eine Al-
gebra C mit folgenden Eigenschaften:
(i) C enth¨
alt IR V als Untervektorraum.
(ii) Die Zahl 1 IR ist das Einselement von C.
(iii) F¨
ur alle v V gilt: v
2
= Q(v) · 1.
(iv) Jede lineare Abbildung f : V A in eine weitere Algebra A, f¨
ur die
v V : f (v)
2
= Q(v)e
A
gilt, ist auf genau eine Weise zu einem Algebra-Homomorphismus : C A
fortsetzbar.
Die Frage nach der Existenz einer solchen Algebra C wird durch den folgenden Satz
beantwortet:
Satz 1. Zu jedem endlich-dimensionalen Vektorraum V und jeder quadratischen
Form Q existiert eine Clifford-Algebra C, und diese ist bis auf die Isomorphie ein-
deutig, d.h.: ist C eine andere Clifford-Algebra zu (V, Q), so existiert ein Algebra-
Isomorphismus : C C mit |(IR V ) = id
IRV
.
Zusatz: Es ist dim C = 2
n
. Genauer: ist b = (b
1
, . . . , b
n
) eine Basis von V , so bilden
die 2
n
"
Produkte"
b
S
:= b
k
1
· · · b
k
r
mit r {0, . . . , n},
S = {k
1
, . . . , k
r
} IN
r
,
k
1
< · · · < k
r
n
und
b
k
1
· · · b
k
0
:= 1
eine Basis von V .
Einen ausf¨
uhrlichen Beweis dieses Satzes findet man in [12].
Bemerkung. Da je zwei Clifford-Algebren zu (V, Q) zueinander isomorph sind, kann
man im Folgenden von
"
der" Clifford-Algebra C von V sprechen.
Lemma 2. Zu der Clifford-Algebra C existiert genau ein Algebra-Automorphismus
: C C mit = id
C
und
v V :
(v) = -v.
Der Automorphismus heißt die kanonische Involution der Clifford-Algebra C.
1
KONSTRUKTION DER SPINGRUPPE
4
F¨
ur den Beweis dieses Lemmas verweise ich auf [12], Aussage 3. Man kann als die
eindeutige Fortsetzung der Abbildung f
: V C,
f
(v) := -v auffassen
8
. Aus
dem Lemma folgt sofort:
r IN
0
, v
1
, . . . , v
r
V :
(v
1
· · · v
r
) = (-1)
r
v
1
· · · v
r
.
(1)
Unter Beachtung der Tatsache, dass wegen = id
C
nur die Eigenwerte 1 und
-1 hat, ergibt die obige Eigenschaft zusammen mit dem Zusatz zum Satz 1 folgendes
Lemma 3. Der Vektorraum C besitzt die Spaltung C = C
+
C
-
in die Eigen-
r¨
aume C
+
und C
-
von zu den Eigenwerten 1 bzw. -1. Der Untervektorraum C
+
ist eine Unteralgebra von C. Unter der Multiplikation erh¨
alt man:
C
±
· C
±
C
+
,
C · C
±
C
-
Die Spaltung C = C
+
C
-
wird eine Z
Z
2
-Graduierung der Clifford-Algebra C
genannt.
Bezeichnungen und Definitionen.
F¨
ur die Clifford-Algebra C definiert man:
(i) Die Menge C
der Einheiten von C, d.h.
C
:= { C | C : = = 1 }
Im Falle der Existenz ist dieses Inverse =:
-1
eindeutig.
(ii) Die Abbildung : C
End(C),
:= ( ()
-1
)
(iii) Die Clifford-Gruppe
(V, Q) := { C
|
(V ) = V }
(iv) Die Vektordarstellung
: (V, Q) End(V ),
|V =:
Satz 2.
(a) Bez¨
uglich der Multiplikation der Algebra C ist C
eine Gruppe mit neutralem
Element 1. Außerdem ist C
eine offene Teilmenge der C
-Mannigfaltigkeit C,
weshalb C
in nat¨
urlicher Weise die Struktur einer Liegruppe tr¨
agt
9
. Es gilt
IR
Q
-1
(IR
) C
und
(C
) = C
.
(2)
(b) : C
End(C),
= ( ()
-1
) ist ein Liegruppen-Homomor-
phismus in die Gruppe GL(C); f¨
ur alle , C
und c IR
ist
c
=
und
()
=
(3)
8
vgl. [7], Seite 9
9
Ihre Liealgebra ist C mit der Lieklammer [, ] = - .
1
KONSTRUKTION DER SPINGRUPPE
5
(c) Die Clifford-Gruppe (V, Q) ist eine regul¨
are Liesche Untergruppe von C
. Sie
ist unter der kanonischen Involution invariant.
(d) Die Vektor-Darstellung : (V, Q) End(V ) ist ein Liegruppen-Homomor-
phismus in GL(V ) mit der Eigenschaft:
(V, Q) :
()
=
.
(4)
Ist V
0
das Radikal der quadratischen Form Q und A
0
die Unteralgebra von
C, die von den Vektoren v V
0
erzeugt wird, so ist
Kern ( : (V, Q) GL(V ) ) = A
0
C
IR
(e) F¨
ur jedes u mit Q(u) = 0 gilt:
· u (V, Q).
· Es ist
u
O(V, ) und det(
u
) = -1.
· (IRu)
:= { v V | (u, v) = 0 } ist eine Hyperebene (d.h. ein 1-codimen-
sionaler Untervektorraum) von V , und
u
ist die Spiegelung
u
: V V,
v v - 2 ·
(v, u)
(u, u)
· u
(5)
an der Hyperebene (IRu)
.
Beweis.
Zu (a). F¨
ur je zwei Elemente
1
,
2
C
ist
-1
2
-1
1
C
offensichtlich das In-
verse von
1
2
. Daher ist C
unter der Multiplikation abgeschlossen. Die restlichen
Gruppenaxiome werden bereits in der Definition von C
gefordert.
Um zu zeigen, dass C
offen ist, wird die lineare Abbildung
L : C End(C),
L
:= ( )
definiert. Das Ziel ist nun, zu zeigen, dass
C
= L
-1
(GL(C))
gilt, denn daraus folgt sofort, dass C
eine offene Teilmenge von C ist: Als lineare
Abbildung zwischen endlich-dimensionalen IR-Vektorr¨
aumen ist die Abbildung L
n¨
amlich stetig, GL(C) ist in End(C) offen, somit ist auch C
als Urbild einer offenen
Menge unter der stetigen Abbildung L selbst offen.
Um C
= L
-1
(GL(C)) zu beweisen, sei C fixiert. Ist C
, so ist L
L
-1
=
L
1
= id
C
, also L
GL(C) und somit C
L
-1
(GL(C)). Ist andererseits C
so, dass L
GL(C) und somit L
-1
(GL(C)) gilt, so existiert ein C mit
L
() = 1, was mit = 1 gleichbedeutend ist. Daher ist L
L
= id
C
. Dann gilt
1
KONSTRUKTION DER SPINGRUPPE
6
aber auch L
L
= id
C
und daher = L
L
(1) = 1, womit C
bewiesen ist.
Es gilt also auch L
-1
(GL(C)) C
.
Zur Liegruppenstruktur von C
. Als bilineare Abbildung ist die Multiplikation µ von
C eine C
-Abbildung auf der C
-Mannigfaltigkeit C × C. Da C
eine offene Teil-
menge von C ist, ist C
selbst auch eine C
-Mannigfaltigkeit, und die Multiplikation
µ|C
× C
ist differenzierbar. Mit dem Satz ¨
uber implizite Funktionen folgt dann,
dass auch die Inversenbildung auf C
differenzierbar ist.
Zu (2). F¨
ur jedes v Q
-1
(IR
) ist Q(v) = 0, und man kann v
-1
:=
1
Q(v)
v definieren.
Wegen v
2
= Q(v) (vgl. Definition 3), ist daher v
-1
tats¨
achlich das inverse Element
von v, und somit gilt v C
.
Um (C
) = C
nachzuweisen, sei ein C
fixiert. Da die kanonische Involution
ein Algebra-Homomorphismus ist, gilt
1 = (1) = (
-1
) = () (
-1
),
woraus sofort () C
folgt. Es ist also (C
) C
.
Aus = id
C
folgt andererseits = ( () ), woraus die Inklusion C
(C
)
sofort ersichtlich ist.
Zu (b). F¨
ur jedes C
ist die Abbildung ( (
-1
) ) die Umkehrung von
und deshalb ist (C
) GL(C).
Es gilt offensichtlich (1) = id
C
, und f¨
ur jedes C und
1
,
2
C
gilt weiterhin:
1
2
() = (
1
2
) (
1
2
)
-1
= (
1
) (
2
)
-1
2
-1
1
=
1
2
().
Daraus folgt, dass ein Gruppen-Homomorphismus in GL(C) ist. Es bleibt noch,
die C
-Differenzierbarkeit von zu beweisen. Dazu reicht es, zu zeigen, dass die
Abbildung
C
× C C,
(, ) ()
-1
differenzierbar ist, und das ist offensichtlich der Fall.
Zu (3). Da ein involutiver Algebra-Homomorphismus ist, gilt f¨
ur jedes c IR
,
C
und C:
c
() = (c ) (c
-1
-1
) = ()
-1
=
()
und
() = ( () ()
-1
) = ( () ) ()
-1
=
()
().
Zu (c). Als erstes wird gezeigt, dass (V, Q) bzgl. der Multiplikation der Clifford-
Algebra C eine Untergruppe von C
ist. Aus der Behauptung (b) des obigen Satzes
und der Definition von (V, Q) folgt sofort
(V, Q) = { C
|
GL(V ) },
und das bedeutet
(V, Q) =
-1
(GL(V )).
1
KONSTRUKTION DER SPINGRUPPE
7
Somit ist (V, Q) als Urbild der Untergruppe GL(V ) von GL(C) unter dem Gruppen-
Homomorphismus selbst eine Untergruppe von C
.
F¨
ur jedes v V ist
f
v
: C
C,
(v) = () v
-1
eine stetige Abbildung. Daher ist jeweils f
-1
v
(V ) eine abgeschlossene Teilmenge von
C
. Deshalb ist auch der Durchschnitt
vV
f
-1
v
(V ) = { C
| v V : f
v
() V } = { C
|
(V ) V } =:
abgeschlossen in C
. Da
C
:
GL(C)
gilt, ist = (V, Q). Nach dem Satz von ´
E. Cartan (vgl.[3], Seite 135) ist daher
(V, Q) eine regul¨
are Liesche Untergruppe von C
. Wegen
()
=
und
(V ) = V ist (V, Q) unter der kanonischen Involution invariant.
Zu (d). Dass : (V, Q) GL(V ) ein Liegruppen-Homomorphismus mit der Ei-
genschaft (4) ist, folgt aus (b).
Nach Aussage 5 in [12] gilt:
A
0
= { C | v V : () v = v }
Daraus folgt schon die Inklusion A
0
C
Kern(). Ist nun Kern()
(V, Q) C
beliebig vorgegeben, so gilt f¨
ur alle v V
(v) =
(v) = () v
-1
= v
und daher () v = v , also A
0
C
.
Zu (e). Es sei u V mit Q(u) = 0 fixiert. Dann ist (u) = -u und, wie bereits
gezeigt, u
-1
=
1
Q(u)
u. Weiterhin gilt nach Aussage 1 in [12]:
v
1
, v
2
V :
v
1
v
2
+ v
2
v
1
= 2 (v
1
, v
2
).
Daraus folgt nun f¨
ur alle v V :
u
(v) = -
1
Q(u)
u v u = -
u
Q(u)
(-u v + 2 (v, u)) = v - 2 ·
(v, u)
(u, u)
· u V
Folglich ist u (V, Q), und es gilt die Darstellung (5) von
u
.
Aus (5) ergibt sich nun :
v V : Q(
u
(v) ) = (v - 2 ·
(v, u)
(u, u)
· u, v - 2 ·
(v, u)
(u, u)
· u) = Q(v).
Ende der Leseprobe aus 56 Seiten
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Details
- Arbeit zitieren
- , 2006, Über die Spingruppe eines pseudoeuklidischen Vektorraumes, Hamburg, Bedey Media GmbH, https://www.diplom.de/document/225989
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