Philipp Bandl
Ausgewählte Methoden zur Risikomessung von Basket Credit Default Swaps im
Vergleich
ISBN: 978-3-8366-0337-9
Herstellung: Diplomica® Verlag GmbH, Hamburg, 2008
Zugl. Fachhochschule Stuttgart, Stuttgart, Deutschland, Diplomarbeit, 2007
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© Diplomica Verlag GmbH
http://www.diplomica.de, Hamburg 2008
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Tabellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Abk¨
urzungs- und Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Einleitung
8
Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Aufbau der Diplomarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1
Value at Risk (VaR)
10
1.1
Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2
Mathematische Definition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3
Sensitivit¨
aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.4
Allgemeine Methodik der VaR-Berechnung . . . . . . . . . . . . .
13
1.5
Modellierung der Risikofaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5.1
Random Walks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5.2
Risikofaktoren als Random Walks . . . . . . . . . . . . . .
16
1.5.3
Modellierung korrelierter Risikofaktoren
. . . . . . . . . .
19
1.6
Delta-Methode
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.7
Monte-Carlo-Methode
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.7.1
Algorithmus zur Konstruktion der Cholesky-
Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.7.2
Modellierung der Risikofaktoren als korrelierte Random Walks 26
1.7.3
Die Monte-Carlo-Methode im ¨
Uberblick
. . . . . . . . . .
27
1.8
Modellvergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2
Kreditderivate
29
2.1
Marktteilnehmer
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.2
Credit Default Swaps (CDS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.2.1
Modellierung von Ausfallzeiten mit dem
Intensit¨
atsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.3
Collateralised Debt Obligations (CDOs)
. . . . . . . . . . . . . .
35
2.4
Basket Credit Default Swaps (Basket CDS . . . . . . . . . . . . .
36
2.4.1
Allgemeine Annahmen zur Modellierung von Basket CDS .
37
2.4.2
Exakte Modellierung der Legs . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2
2.4.3
Vereinfachung des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.4.4
Ein-Faktor-Modell
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.4.5
Der Algorithmus von Mina und Stern . . . . . . . . . . . .
43
3
Empirischer Vergleich
48
3.1
Testbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.2
Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.3
Gesch¨
aft Nr. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.4
Gesch¨
aft Nr. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.5
Gesch¨
aft Nr. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.6
Gesch¨
aft Nr. 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.7
Gesch¨
aft Nr. 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.8
Deutung der Ergebnisse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.8.1
Original-Gesch¨
afte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.8.2
Modifizierte Laufzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4
Mathematische Grundlagen
64
4.1
-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.2
Bedingte Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.3
Filtrierung & stochastischer Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.4
Stochastische Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4.5
Quantil
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4.6
Erwartungstreue Sch¨
atzer f¨
ur Erwartungswert, Varianz und Kova-
rianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
5
Schlussbetrachtung
69
Anhang
70
Cholesky-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Originalportfolien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Literaturverzeichnis
76
Erkl¨
arung
78
Abbildungsverzeichnis
1.1
¨
Ubersicht ¨
uber die verschiedenen VaR-Modelle . . . . . . . . . . .
11
1.2
Random Walk mit 6 Schritten und 2 Dimensionen . . . . . . . . .
14
2.1
Aufbau eines Credit-Default-Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.2
Grundstruktur eines CDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.3
Verteilung der Rollen bei einem synthetischen CDO
. . . . . . .
37
2.4
Quotierung der Preise von Basket CDS auf den iTraxx Serie 6 . .
46
2.5
Implizite Korrelation vs. Base Correlation
. . . . . . . . . . . . .
47
3.1
Histogramm der simulierten Porfoliowert¨
anderungen von Gesch¨
aft
Nr. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.2
Ergebnisse der VaR f¨
ur Gesch¨
aft Nr. 1 . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.3
Ergebnisse der VaR f¨
ur Gesch¨
aft Nr. 2 . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.4
Ergebnisse der VaR f¨
ur Gesch¨
aft Nr. 3 . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.5
Ergebnisse der VaR f¨
ur Gesch¨
aft Nr. 4 . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.6
Ergebnisse der VaR f¨
ur Gesch¨
aft Nr. 5 . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.7
Vergleich der VaR der Originalgesch¨
afte
. . . . . . . . . . . . . .
58
3.8
Delta-Approximation eines "Basket CDS"mit nur einem CDS aus
Sicht eines Sicherungsnehmers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.9
Delta-Approximation eines "Basket CDS"mit nur einem CDS aus
Sicht eines Sicherungsgebers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.1
q-Quantil mit Unterschreitungsanteil . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4
Tabellenverzeichnis
1.1
Definitionen der Sensitivit¨
aten und deren Approximationen . . . .
13
1.2
Charakteristika der behandelten Modelle . . . . . . . . . . . . . .
28
3.1
¨
Ubersicht ¨
uber die existierenden Gesch¨
afte . . . . . . . . . . . . .
49
3.2
¨
Ubersicht ¨
uber die verwendeten Laufzeiten . . . . . . . . . . . . .
49
3.3
Absolute H¨
aufigkeitsverteilung f¨
ur Portfolio 1
. . . . . . . . . . .
51
3.4
Ergebnisse der VaR-Berechnung mit modifizierten Laufzeiten f¨
ur
Gesch¨
aft Nr. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.5
Ergebnisse der VaR-Berechnung mit modifizierten Laufzeiten f¨
ur
Gesch¨
aft Nr. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.6
Ergebnisse der VaR-Berechnung mit modifizierten Laufzeiten f¨
ur
Gesch¨
aft Nr. 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.7
Ergebnisse der VaR-Berechnung mit modifizierten Laufzeiten f¨
ur
Gesch¨
aft Nr. 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.8
Ergebnisse der VaR-Berechnung mit modifizierten Laufzeiten f¨
ur
Gesch¨
aft Nr. 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.9
Ben¨
otigte Rechenzeiten zur Bestimmung der VaR . . . . . . . . .
62
1
Portfolio 1 mit Laufzeit 4,55 Jahre
. . . . . . . . . . . . . . . . .
71
2
Portfolio 2 mit Laufzeit 4,81 Jahre
. . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3
Portfolio 3 mit Laufzeit 9,81 Jahre
. . . . . . . . . . . . . . . . .
75
5
Abk¨
urzungs- und
Symbolverzeichnis
Leere Menge
Konfidenzniveau
A
Matrix
A
T
Transponierte der Matrix A
bp
Basispunkt
CBO
Collateralized Bond Obligation
CDO
Collateralized Debt Obligation
CDS
Credit Default Swap
CLO
Collateralized Loan Obligation
Cov(X, Y )
Kovarianz der Zufallsvariablen X und Y
d
Risikoloser Diskontfaktor
t
Endlicher Zeitschritt
dt
Infinitesimaler Zeitschritt
dln(S
i
(t))
Logarithmische Wert¨
anderung des i-ten Risikofaktors in
einem infinitesimalen Zeitschritt
dZ
i
Korrelierte Brown`sche Bewegung des i-ten Risikofak-
tors
P V
Portfoliowert¨
anderung
Delta-Sensitivit¨
at
E(X)
Erwartungswert einer Zufallsvariablen X
F
Filtrierung
F
X
(·)
Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X
I
Geordnete Indexmenge
Intensit¨
at
LBBW
Landesbank Baden-W¨
urttemberg
lgd
Loss given default
µ
Drift
N
Durchschnittliches Nominal
N (µ,
2
)
Normalverteilung mit Erwartungswert µ und Varianz
2
N (0, )
Multivariate Normalverteilung mit Erwartungswerten
von 0 und Kovarianzmatrix
Ereignisraum
P()
Potenzmenge
(·)
Dichtefunktion der Standardnormalverteilung
(·)
Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
p
Ausfallwahrscheinlichkeit
P (·)
Wahrscheinlichkeitsmaß
PV(t)
(Portfolio-)Barwert zum Zeitpunkt t
q
¨
Uberlebenswahrscheinlichkeit
q
1-c
(1 - c)-Quantil der Standardnormalverteilung
R
End-to-End-Vektor
r
i
r
j
Skalarprodukt zwischen dem Vektor r
i
und r
j
RR
Recovery Rate
xy
Korrelationskoeffizient der Zufallsvariablen X und Y
Standardabweichung
t
Kovarianzmatrix in Bezug auf die Haltedauer t
,
1
Einheitsmatrix
S(t)
Zufallsvektor, der die Risikofaktoren beschreibt
S
i
(t)
Wert des i-ten Risikofaktors zum Zeitpunkt t
s
Faire CDS-Pr¨
amie
SG
Sicherungsgeber
SN
Sicherungsnehmer
SPV
Special Purpose Vehicle
Anzahl an Zinsperioden
k
k-te Zinsperiode
VaR
Value at Risk
V aR
Delta
Value at Risk, der mittels Delta-Methode berechnet
wurde
V aR
M C
Value at Risk, der mittels Monte-Carlo-Methode berech-
net wurde
V (X)
Varianz einer Zufallsvariablen X
(t)
Zufallsvektor, der die logarithmischen ¨
Anderungen der
Risikofaktoren beschreibt
k
(t)
k-ter Eintrag des Vektors (t)
X
Vektor bestehend aus unkorrelierten, standardnormal-
verteilten Zufallsvariablen
X
k
k-ter Eintrag des Vektors X
Y
Vektor bestehend aus multivariat normalverteilten Zu-
fallsvariablen
Y
k
k-ter Eintrag des Vektors Y
Einleitung
Motivation
In den vergangen Jahren haben Kreditderivate zunehmend an Bedeutung gewon-
nen. Der Markt f¨
ur diese Finanzinstrumente w¨
achst exponentiell
1
und die Banken
sind daran interessiert, das Marktpreisrisiko f¨
ur diese Instrumente so genau wie
m¨
oglich zu berechnen. Der Begriff Kreditderivate umfasst eine ganze Produktrei-
he, angefangen von einfachen Credit Default Swaps bis hin zu komplexen Pro-
dukten. Dabei ist es wichtig, zeitintensive Berechnungen zu approximieren um
die aufsichtsrechtlich geforderte t¨
agliche Risikobewertung der Produkte sicher-
stellen zu k¨
onnen. Andererseits ist man daran interessiert, das Risiko so exakt
wie m¨
oglich zu berechnen. Wird das Risiko durch die Vereinfachung zu hoch aus-
gewiesen, so bestraft sich die Bank durch eine zu hohe Eigenkapitalunterlegung
selbst. Eine zu geringe Ausweisung des Risikos kann eine Erh¨
ohung des Faktors,
der zur Berechnung der Eigenkapitalunterlegung herangezogen wird, zur Folge
haben.
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit dem Vergleich zweier Methoden zur Be-
rechnung des Marktpreisrisikos von Basket Credit Default Swaps und soll Auf-
schluss dar¨
uber geben, ob und in welcher H¨
ohe Fehler bei einem vereinfachten
Risikomodell begangen werden.
Aufbau der Diplomarbeit
In Kapitel 1 wird zun¨
achst der Begriff des Value at Risk eingef¨
uhrt und mathema-
tisch definiert. Anschließend wird ein g¨
angiges Modell f¨
ur die Risikofaktoren ein-
gef¨
uhrt. Die Herleitung der Modellierung orientiert sich dabei an [7].Aufbauend
auf diesem Modell werden die Delta-Methode und die Monte-Carlo-Methode zur
Berechnung des Value at Risk theoretisch erl¨
autert und am Ende des Kapitels
miteinander verglichen.
Kapitel 2 vermittelt anfangs grundlegende Kenntnisse ¨
uber Credit Default Swaps
und erl¨
autert, wie mit Hilfe des Intensit¨
atsmodells Ausfallwahrscheinlichkeiten
1
vgl. [2], S. 8
8
9
berechnet werden. Danach folgt eine Produktbeschreibung komplexerer Derivate
wie den Collateralised Debt Obligations und Basket Credit Default Swaps sowie
eine m¨
ogliche Vorgehensweise zur Bewertung speziell zu Basket Credit Default
Swaps. Dabei wird zuerst die exakte Bewertung hergeleitet, anschließend werden
Vereinfachungen getroffen, die die Bewertungszeit erheblich verk¨
urzen.
Im darauffolgenden Kapitel wird der VaR ausgesuchter Basket Credit Default
Swaps sowohl mit der Monte-Carlo-Simulation als auch mit der Delta-Methode
berechnet und miteinander verglichen. Die Ergebnisse werden interpretiert und
eine Aussage ¨
uber die Qualit¨
at der Delta-Methode hinsichtlich der Bestimmung
des VaR f¨
ur Basket Credit Default Swaps getroffen.
In Kapitel 4 werden die f¨
ur diese Arbeit relevanten mathematischen Grundla-
gen erl¨
autert.
Im letzten Kapitel erfolgt schließlich eine kurze Zusammenfassung der Ergeb-
nisse.
Kapitel 1
Value at Risk (VaR)
In den letzten drei Jahrzehnten konnten Marktbeobachter zahlreiche W¨
ahrungs-
und Bankenkrisen beobachten. Um solche Krisen zuk¨
unftig zu vermeiden ent-
wickelten Politiker, Finanzinstitute und Regulierungsbeh¨
orden verschiedene An-
s¨
atze, um diese fr¨
uhzeitig erkennen und gegensteuern zu k¨
onnen. Messung und
Management von Marktpreisrisiken stand von nun an im Vordergrund. Konse-
quent begannen die Finanzinstitute, ihr Marktrisiko auf einer einheitlichen Basis
zu messen. Hier kristallisierte sich bald der Begriff des Risikomaßes Value at Risk
heraus, der sich folgendermaßen definiert:
Definition: Value at Risk
1
Der VaR gibt den in einer festgelegten W¨
ahrung ausgedr¨
uckten potentiellen
Wertverlust eines Portfolios an, welcher
· innerhalb einer vorgegebenen Periode (Haltedauer in der Praxis meist 1
Tag oder 10 Tage)
· innerhalb einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit (Konfidenzniveau in der
Praxis meist 95% oder 99%)
nicht ¨
uberschritten wird.
Wachsende Verf¨
ugbarkeit der Marktdaten f¨
uhrten zu der Entstehung verschiede-
ner VaR-Modelle. Eine der ersten Untersuchungen bez¨
uglich des VaR wurde von
Allen (1994) ver¨
offentlicht, worin er die Performance von Historischer Simulati-
on und Varianz-Kovarianz-Ansatz unter Normalverteilungsannahme miteinander
verglich. 1995 untersuchte Beder acht g¨
angige Methoden zur Bestimmung des
VaR und verglich deren Performance. Zahlreiche vergleichende Untersuchungen
folgten. 1997 untersuchten Jamshidian und Zhu die Effizient der Monte-Carlo-
Methode im Vergleich zum Varianz-Kovarianz-Ansatz f¨
ur nichtlineare Positionen
1
vgl. [19], Kapitel 2.06, S.3
10
KAPITEL 1. VALUE AT RISK (VAR)
11
wie Optionen. Zangari (1996) studierte die VaR-Modelle ohne Normalverteilungs-
annahme.
Doch wurde auch Kritik ¨
uber die Modelle ge¨
außert. So wurden sie kritisiert, sie
seien nicht geeignet, extreme Preisbewegungen w¨
ahrend eines Crashes der Fi-
nanzm¨
arkte zu erfassen. Schinassi schrieb 1999, VaR-Modelle seien abh¨
angig von
historischen Beziehungen der Preisbewegungen und drohten w¨
ahrend turbulenten
Zeiten zusammenzubrechen, sollten bisher bestehende strukturelle Beziehungen
zwischen den M¨
arkten zerbrechen. ¨
Ahnliche Kritik ¨
außert Danielsson (2000), als
er die Aussagekraft von in stabilen Zeiten gemachten statistischen Analysen in
Bezug auf Krisenzeiten anzweifelt.
Die folgende Abbildung zeigt eine ¨
Ubersicht ¨
uber die g¨
angigsten VaR-Modelle
und deren zugrunde liegenden Verteilungsannahmen.
Abbildung 1.1: ¨
Ubersicht ¨
uber die verschiedenen VaR-Modelle
Wie der Abbildung zu entnehmen ist, kann man die Methoden zur Bestimmung
des VaR in zwei Gruppen einteilen: den local und den full valuation Methoden.
Local valuation Methoden messen das Risiko, indem das Portfolio einmal mit
den aktuelle Marktparametern bewertet wird. Anschließend werden die m¨
oglichen
Bewegungen mit Hilfe von lokalen Ableitungen dargestellt. Bei der Delta-Methode
wird die Wert¨
anderung des Portfolios mit Hilfe einer Taylor-Entwicklung bis zur
ersten Ordnung approximiert, bei den full valuation Methoden hingegen wird
das Risiko durch eine vollst¨
andige Bepreisung des kompletten Portfolios unter
verschiedenen Szenarien bestimmt.
KAPITEL 1. VALUE AT RISK (VAR)
12
1.1
Bezeichnungen
Bevor die Grundlagen zur Bestimmung des VaR erl¨
autert werden, m¨
ussen zuerst
einige Bezeichnungen eingef¨
uhrt werden:
P V (t)
Portfoliowert zum Zeitpunkt t 0
P V
Portfoliowert¨
anderung
S
i
(t)
Wert des i-ten Risikofaktors zum Zeitpunkt t 0
dt
infinitesimaler Zeitschritt
t
endlicher Zeitschritt
r
i
r
j
Skalarprodukt zwischen dem Vektor r
i
und r
j
1.2
Mathematische Definition
Es sei 1 - ]0; 1[ ein gegebenes Konfidenzniveau und T > 0 die gegebene
Haltedauer eines Portfolios mit Portfoliowert¨
anderung P V . Dann ist der VaR
des Portfolios definiert durch
2
V aR(, T ) := -sup{x
R : P(P V x) }.
(1.1)
Sei nun F
P V
(x) :=
P(P V x) die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen
P V und auf ]0; 1[ invertierbar, so kann der VaR eindeutig bestimmt werden:
F
P V
(-V aR) =
-V aR = F
-1
V aR = -F
-1
Der VaR ist also das negative -Quantil von P V
1.3
Sensitivit¨
aten
Allgemein werden Sensitivit¨
aten herangezogen, um Preis¨
anderungen von Finanz-
instrumenten bei ¨
Anderung bestimmter Parameter zu beschreiben. Dabei ist die
Sensitivit¨
at eines Finanzinstruments bez¨
uglich eines Parameters genau die Zahl,
die, multipliziert mit einer (kleinen) Parameter¨
anderung, die durch diese Para-
meter¨
anderung bewirkte Preis¨
anderung ergibt. Die verschiedenen Sensitivit¨
aten
werden mit griechischen Buchstaben dargestellt, weshalb sie in der Literatur auch
oft nur als "die Griechen" bezeichnet werden.
2
vgl. [12], S.177
KAPITEL 1. VALUE AT RISK (VAR)
13
Symbol
Def.
Approximation
Interpretation
Preis¨
anderung
bei ¨
Anderung des
Underlying-
Spotkurses
(Delta)
P V
S
P V (S + S) - P V (S)
S
Delta¨
anderung
bei ¨
Anderung des
Underlying-
Spotkurses
(Gamma)
2
P V
S
2
P V (S + S) - 2P V (S) + P V (S - S)
S
2
Preis¨
anderung
bei ¨
Anderung der
Underlying-
Volatilit¨
at
(Vega)
P V
P V ( + ) - P V ()
Preis¨
anderung
bei ¨
Anderung der
Restlaufzeit
(Theta)
P V
t
P V (t + t) - P V (t)
t
Preis¨
anderung
bei ¨
Anderung des
risikolosen
Zinssatzes
(Rho)
P V
r
P V (r + r) - P V (r)
r
Tabelle 1.1: Definitionen der Sensitivit¨
aten und deren Approximationen [in An-
lehnung an [7]]
Die Bezeichnung P V (S + S) ist so zu interpretieren, dass der Parameter S um
S ver¨
andert und alle anderen Parameter konstant gehalten werden.
1.4
Allgemeine Methodik der VaR-Berechnung
Die Vorgehensweise zur Bestimmung des VaR l¨
asst sich, unabh¨
angig von der Wahl
des Modells, in vier allgemeine Schritte unterteilen:
3
1.Schritt: Identifizierung der Risikofaktoren
Anhand der Bewertungsformeln oder -Algorithmen f¨
ur die im Portfolio befind-
lichen Instrumente sind diejenigen Marktparameter zu identifizieren, deren zu-
3
vgl. [19], Kapitel 2.06, S. 3
KAPITEL 1. VALUE AT RISK (VAR)
14
k¨
unftige Entwicklung den Portfoliowert beeinflussen. Wesentliche Marktfaktoren
sind unter anderem Wechselkurse, Zinss¨
atze, Aktienkurse und Volatilit¨
aten.
2.Schritt: Verteilungsannahme bez¨
uglich der Risikofaktoren
Anhand von historischen Zeitreihen der Risikofaktoren kann eine Verteilungsan-
nahme bez¨
uglich deren zuk¨
unftiger Entwicklung getroffen werden.
3.Schritt: Bestimmung der Verteilung der Portfoliowert¨
anderung
Mit Hilfe der getroffenen Verteilungsannahmen der Risikofaktoren ist ¨
uber die
Bewertungsformeln der Instrumente im Portfolio die Wahrscheinlichkeitsvertei-
lung der zuk¨
unftigen Portfoliowert¨
anderung abzuleiten bzw. zu approximieren.
4.Schritt: Bestimmung des VaR
Aus der Verteilung der Portfoliowert¨
anderung ist der VaR als das Quantil zum
vorgegebenen Konfidenzniveau zu bestimmen.
1.5
Modellierung der Risikofaktoren
1.5.1
Random Walks
Der folgende Abschnitt gibt einen ¨
Uberblick ¨
uber die Eigenschaften so genannter
Random Walks. Diese zuf¨
alligen Schritte kann man sich anschaulich vorstellen,
indem man von einem Punkt aus in eine zuf¨
allige Richtung eine Strecke mit
zuf¨
alliger L¨
ange geht. An einem neuen Punkt angelangt geht man wieder in eine
zuf¨
allige Richtung mit zuf¨
alliger L¨
ange.
Abbildung 1.2: Random Walk mit 6 Schritten und 2 Dimensionen
KAPITEL 1. VALUE AT RISK (VAR)
15
Jeder Schritt ist also durch die Richtung und die L¨
ange eindeutig festgelegt, wes-
halb sich die Schritte auch als Vektoren darstellen lassen. Der Random Walk ist
dann eine Aneinanderreihung von Vektoren. Interessant ist nun die Frage, welche
L¨
ange und welche Richtung der Vektor R, also der Vektor vom Anfangs- zum
Endpunkt (End-to-End-Vektor) hat. Da dieser zuf¨
allig ist, k¨
onnen nur statisti-
sche Aussagen getroffen werden. F¨
ur den Vektor R gilt dann:
R =
n
i=1
r
i
.
(1.2)
F¨
ur die einzelnen Vektoren r
i
ist der Erwartungswert
E(r
i
) = 0 und somit auch
E(R) = 0.
(1.3)
Aufgrund der Unabh¨
angigkeit der einzelnen Schritte gilt außerdem
E(r
i
r
j
) =
E(r
i
)
E(r
j
) = 0
i = j, i, j = 1, ..., n,
(1.4)
Aus den bisherigen Erkenntnissen ergibt sich
E(R R) := E(R
2
)
=
E
n
i=1
r
i
n
j=1
r
j
=
E
n
i=1
(r
i
r
i
) +
n
i,j=1
i=j
(r
i
r
j
)
=
n
i=1
E(r
i
r
i
) +
n
i,j=1
i=j
E(r
i
r
j
)
=0
=
b
2
n,
(1.5)
wobei b die Wurzel der mittleren L¨
ange eines Einzelschritts darstellt:
b =
1
n
n
i=1
E(r
i
r
i
).
(1.6)
Das Skalarprodukt des Vektors R mit sich selbst ist also im Mittel proportional
zu der Anzahl der Schritte. Dabei ist hervorzuheben, dass die Dimension keine
Rolle spielt.
Desweiteren sollte nicht ¨
ubersehen werden, dass die statistische Eigenschaft eines
Random Walks immer gleich ist, egal auf welcher Detailstufe man ihn betrachtet.
So k¨
onnen zum Beispiel Aktienkurse als Random Walks betrachtet werden, wobei
es egal ist, ob man sich den Aktienkursverlauf innerhalb eines Tages oder den eines
KAPITEL 1. VALUE AT RISK (VAR)
16
Jahres anschaut. So kann der (End-to-End-Vektor) des Intraday-Verlaufs eines
Aktienkurses wiederum als Schritt eines gr¨
oßeren Random Walks, also hier dem
Jahresverlauf des Aktienkurses, angesehen werden. Diese Eigenschaft wird in der
Stochastik als Selbst¨
ahnlichkeit bezeichnet.
4
Mit Hilfe der Erkenntnisse aus (1.3) und (1.5) ist es leicht, auch die Varianz von
R anzugeben:
V (R) =
E[(R - E(R))
2
] =
E(R
2
) - (
E(R))
2
=
E(R
2
) - 0 = b
2
n.
(1.7)
Es l¨
asst sich zeigen, dass es sich bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung P (R) um
die Normalverteilung N (0, b
2
n) handelt. Somit ist die Verteilungsfunktion (im
eindimensionalen Fall) gegeben durch
P (R x) = (x; 0, b
2
n) =
1
2b
2
n
x
-
e
-
t2
2b2n
dt,
x
R.
(1.8)
F¨
ur die Dichtefunktion ergibt sich dann
(x; 0; b
2
n) =
1
2b
2
n
e
-
x2
2b2n
.
(1.9)
1.5.2
Risikofaktoren als Random Walks
Mit Hilfe statistischer Tests l¨
asst sich eine Lognormalverteilungsannahme von
Risikofaktoren wie z.B. Credit Spreads oder Aktienkursen nachweisen. Die loga-
rithmischen ¨
Anderungen der Risikofaktoren folgen dann einer Normalverteilung.
Daher soll die logarithmische Risikofaktor¨
anderung als Random Walk modelliert
werden. Jeder Vektor r
k
:= ln
S(t
k
)
S(t
k-1
)
mit t = t
0
< t
1
< ... < t
n
= T und
k = 1, ..., n stellt dann eine logarithmische ¨
Anderung des Risikofaktors dar. Der
End-to-End-Vektor R ergibt sich aus der Summe der r
k
:
R =
n
k=1
ln
S(t
k
)
S(t
k-1
)
= ln
S(T )
S(t)
.
(1.10)
Um nun Aussagen ¨
uber die Entwicklung des Risikofaktors treffen zu k¨
onnen,
werden die wichtigsten Erkenntnisse aus dem vorherigen Abschnitt ¨
uber den End-
to-End-Vektor R = ln
S(T )
S(t)
zusammengefasst:
1.
E ln
S(T )
S(t)
= 0
2. V ln
S(T )
S(t)
= b
2
n
4
in Anlehnung an [7], S.28
KAPITEL 1. VALUE AT RISK (VAR)
17
Angenommen, pro Einzelschritt eines Random Walks vergeht die Zeit t, wobei
t ein festes Zeitintervall ist. So vergeht von t bis T, t T die Zeit
T - t = nt.
(1.11)
Die Zeitabh¨
angigkeit der Varianz ergibt sich aus (1.11) mit
V
ln
S(T )
S(t)
= b
2
n =
2
(T - t),
(1.12)
wobei f¨
ur die Proportionalit¨
atskonstante
2
gilt:
2
=
b
2
dt
=
V ln
S(T )
S(t)
T - t
.
(1.13)
Die als Wurzel aus der Varianz definierte Standardabweichung ist, wie man in
(1.12) erkennen kann, proportional zu der Wurzel der Zeit. Betrachtet man nun
die logarithmische ¨
Anderung dln(S) = ln
S(t+dt)
S(t)
w¨
ahrend einer infinitesimal
kleinen Zeit dt, so erh¨
alt man f¨
ur die Varianz
V [dln(S(t))] = V
ln
S(t + dt)
S(t)
=
2
(t - t + dt) =
2
dt.
(1.14)
Aufgrund der Selbst¨
ahnlichkeit des Random Walks sind auch die ¨
Anderungen
dln(S) w¨
ahrend der infinitesimalen Zeit dt normalverteilt mit Erwartungswert
Null und Varianz
2
dt.
An dieser Stelle ist die ¨
Ahnlichkeit zu dem urspr¨
unglich aus der Physik bekannten
Wiener Prozess zu betonten, der im Folgenden definiert wird:
Definition: Wiener Prozess
5
Eine Zufallsvariable W folgt einem Wiener Prozess, wenn sie die nachfolgenden
Eigenschaften besitzt:
1. W
0
= 0.
2. Die Pfade sind stetig.
3. Die ¨
Anderung W
t
- W
s
ist f¨
ur s < t normalverteilt mit Erwartungswert
0 und Varianz t-s.
4. Die ¨
Anderungen W
t
- W
s
, W
s
- W
r
sind stochastisch unabh¨
angig f¨
ur alle
r < s < t.
5
vgl. [18], S. 33