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ID 8985
Bruns, Alexander: Numerische Untersuchung zum Tragverhalten von dünnwandigen,
zylindrischen, zellulären Strukturen unter axialer Belastung
Hamburg: Diplomica GmbH, 2005
Zugl.: Universität Dortmund, Diplomarbeit, 2004
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte,
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dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei
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Fehler nicht vollständig ausgeschlossen werden, und die Diplomarbeiten Agentur, die
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Haftung für evtl. verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen.
Diplomica GmbH
http://www.diplom.de, Hamburg 2005
Printed in Germany
Autorenprofil
Name:
Alexander Johannes Theodor Bruns
Titel: Dipl.-Ing.
Geb.-Datum:
9. Februar 1976
Anschrift:
Steffensweg 177, 28217 Bremen
Telefon: 0421-3381131
Handy: 0179-2182005
E-Mail: kontakt@alexander-bruns.de
Bildungsgang: Abschluss
01.12.2004: Diplom, Bauingenieurwesen, Note 2,0
05.04.2000, Vordiplom, Bauingenieurwesen, Note 3,0
13.06.1995, Allgemeine Hochschulreife (Abitur), Note 2,7
01.04.2004 - 01.12.2004 Diplomarbeit am Lehrstuhl Baumechanik-Statik der Universität
Dortmund Thema Ultraleichtbau, FEM-Analyse von Zylinderschalen,
Untersuchung der Imperfektionsempfindlichkeit und
Verzweigungslastberechnungen,
Note 1,0
01.04.2000 - 31.03.2005 Studium Bauingenieurwesen an der Universität Dortmund,
Vertiefungsrichtung Konstruktiver Ingenieurbau (B2), Projekte:
Feuerwache in Bochum und ICE Bahnhofshalle in Dortmund im
Rahmen des Dortmunder Modell Bauwesen, Hauptdiplom, Note 2,0
01.10.1995 - 31.03.2000 Studium Bauingenieurwesen an der Universität Dortmund, Projekt:
Reihenhaus im Rahmen des Dortmunder Modell Bauwesen,
Vordiplom, Note 3,0
01.08.1986 - 13.06.1995 Städt. Franz-Stock-Gymnasium, Arnsberg, Abiturfächer Mathematik
(LK), Physik (LK), Englisch, Sozialwissenschaften,
Abitur, Note 2,7
23.01.1984 - 30.06.1986 Städt. Kath. Bekenntnisgrundschule ,,St. Michael", Arnsberg
01.08.1982 - 20.01.1984 Städt. Gemeinschaftsgrundschule ,,Mühlenberg", Arnsberg
Kenntnisse:
Intensive und detaillierte EDV-Kenntnisse, 5 Jahre Berufserfahrung als Administrator, Umgang
mit Linux, Unix und Windows-Server (Mail-, File-, Print-, Datenbank-, Web-, Fax- und
Monitoring Server), HTML, Perl, Bash als Programmiersprachen
1 Jahr Erfahrung mit FEM und Anwendung mit ANSYS
VORWORT
Vorwort
Die vorliegende Arbeit basiert auf den Theorien zum Tragverhalten von dünnwandigen Schalen und auf nume-
rischen Untersuchungen mit ANSYS. Sie stellt die Abschlussarbeit meines Studiums des Bauingenieurwesens
an der Universität Dortmund, Studienrichtung B2 Konstruktiver Ingenieurbau, dar.
Den Berechnungen stand die Einarbeitung in die Nichtlinearität des Tragverhaltens von dünnwandigen Struk-
turen und die Beschäftigung mit FEMLösungswegen für nichtlineare Probleme voran. In diese Arbeit sind
neben der Literaturstudie insgesamt 6
.050.631Sekunden
1
ANSYSBerechnungszeit in 32
.562 Berechnungen
geflossen. Dabei hat ANSYS eine Datenmenge von über einem Terabyte produziert, wovon über 23 Gigabyte
für die Auswertung der Berechnungen benötigt wurden.
Ich möchte mich für die Betreuung und die Unterstützung durch den Lehrstuhl BaumechanikStatik an der
Universität Dortmund bedanken. Herr Prof. Obrecht vertraute mir das Thema dieser Arbeit an, stellte mir die
ANSYSLizenzen des Lehrstuhls zur Verfügung und nahm sich regelmäßig Zeit für meine Fragen. Auch bei
Svenja Lange und Christian Marusczyk, wissenschaftliche Angestellte am Lehrstuhl, möchte ich mich für die
Hilfestellung in ANSYS bedanken. Weiterhin danke ich Markus Behlau und Irmgard Mühlenkord für die spon-
tane Hilfestellung bei Problemen mit dem LizenzServer.
Auch gilt mein Dank meinem Arbeitgeber Sports & Bytes GmbH, ganz speziell dem technischen Leiter
Armin Matthaei. Er ermöglichte mir die Nutzung der Hardware des neuen DatenbankClusters
2
für meine
Berechnungen mit ANSYS, die gleichzeitig einen BurnIn und DauerLastTest darstellten.
Zuletzt danke ich KarlRichard Heering, Ingo Heinsch, Verena Nopto, Julia Heinrich, meiner Freundin Birgit
Krieger und meinem Bruder Alfred Bergkemper. Sie haben dazu beigetragen, die Orthographiefehler in dieser
Arbeit zu verbessern, sie auch für Leser, denen die Materie fremd ist, verständlich zu machen und sie in einem
hochwertigen farbigen Druck zu Papier zu bringen.
Alexander Bruns, November 2004
1
entspricht 100
.843,9Minuten, 1.680,7Stunden oder 70Tagen
2
Zwei Server mit jeweils Dual AMD Opteron Prozessor, 4 GB Arbeitsspeicher, 160 GB SerialATARaid und GigabitEthernet unter
GentooLinux 2004.2 (64Bit, x86_64) mit Kernel 2.6.7
Diplomarbeit
Alexander Bruns
i
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
i
Inhaltsverzeichnis
ii
Abbildungsverzeichnis
iv
Bezeichnungen
viii
1
Einleitung
1
1.1
Themenstellung und Inhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Begriffsdefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Kritische Last, Verzweigungslast, Beullast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Gleichgewichtspfad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Verzweigungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Beulen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Nachbeulverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Imperfektionsempfindlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Tragverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2
FEM mit ANSYS
5
2.1
Verwendung der FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
Anwendung von ANSYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3
Numerisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3
Untersuchung des Kreiszylinders
9
3.1
Numerisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.1.1
SolidModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.1.2
Netzgenerierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.1.3
Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.1.4
Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.1.5
Ausgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.2
Ergebnisse der Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.2.1
Variation der Elementgröße
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.2.2
Variation der Höhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.2.3
Variation der Wandstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.2.4
Imperfektionsempfindlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4
Untersuchung des Sechseckzylinders
25
4.1
Numerisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.1.1
SolidModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Diplomarbeit
Alexander Bruns
ii
INHALTSVERZEICHNIS
4.1.2
Netzgenerierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.1.3
Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.2
Ergebnisse der Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.2.1
Variation der Elementgröße
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.2.2
Variation der Höhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.2.3
Variation der Wandstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.2.4
Imperfektionsempfindlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
5
Untersuchung von zellulären Sechseckzylinderstrukturen
38
5.1
Numerisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
5.1.1
SolidModel und Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Version 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Version 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5.2
Ergebnisse der Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
5.2.1
Variation der Elementgröße
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
5.2.2
Variation der Höhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5.2.3
Imperfektionsempfindlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
5.2.4
Einfluss der Zellenanzahl auf die kritische Last . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
6
Vergleich der Untersuchungsergebnisse
49
6.1
Variation der Elementgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6.2
Variation der Höhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6.3
Variation der Wandstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
6.4
Imperfektionsempfindlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
6.5
Last pro Gewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
7
Zusammenfassung
53
Literaturverzeichnis
54
A ANSYS Ein und Ausgabedateien
55
A.1 Berechnung der Beullast und der zugehörigen Beulformen eines Kreiszylinders . . . . . . . .
55
A.2 Untersuchung der Imperfektionsempfindlichkeit eines Kreiszylinders . . . . . . . . . . . . . .
73
A.3 Berechnung der Beullast eines Sechseckzylinders unter Variation der Höhe
. . . . . . . . . .
78
A.4 Berechnung der Beullast eines dreizelligen Sechseckzylinders . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
A.5 Untersuchung der Imperfektionsempfindlichkeit eines siebenzelligen Sechseckzylinders . . .
89
B Skript und BatchDateien
92
B.1 Berechnung im Batchbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
B.2 Generierung der Eingabedateien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
B.3 Auswertung der Ausgabedateien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
C Zusätzliche Abbildungen
99
C.1 Kreiszylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
C.2 Sechseckzylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
C.3 Zelluläre Sechseckzylinderstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
Diplomarbeit
Alexander Bruns
iii
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
Abbildungsverzeichnis
0.1
Bezeichnungen am Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
1.1
Kreiszylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Sechseckzylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3
mehrzelliger Sechseckzylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.4
LastVerschiebungsDiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
Imperfektionsempfindlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1
ANSYS Element SHELL63, Elastisches SchalenElement . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Randbedingungen und Belastung am oberen Zylinderrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
SolidModel und vernetzte Struktur eines imperfekten Kreiszylinders . . . . . . . . . . . . .
8
2.4
Vernetzte Struktur eines perfekten und imperfekten Sechseckzylinders . . . . . . . . . . . . .
8
3.1
Kreis: Beulform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.2
Kreis: Erzeugende des SolidModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.3
Kreis: SolidModel als Linien und Flächenansicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.4
Kreis: Vernetzte Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.5
Kreis: Aufgekrempelte Beulform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.6
Kreis: Randbedingung RB01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.7
Kreis: Randbedingung RB02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.8
Kreis: Randbedingung RB03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.9
Kreis: Randbedingung RB01 an Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.10 Kreis: Kritische Beullast nach Elementgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.11 Kreis: Erste Beulform, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.12 Kreis: Absolute kritische Beullast nach Zylinderhöhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.13 Kreis: Erste Beulform eines hohen Zylinders, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.14 Kreis: Absolute kritische Beullast nach Wandstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.15 Kreis: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.1
Sechseck: Unterschiedliche Formen S1 bis S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.2
Sechseck: SolidModel als Linien und Flächenansicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.3
Sechseck: Vernetzte Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.4
Sechseck: Randbedingung RB04 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.5
Sechseck: Randbedingung RB05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.6
Sechseck: Randbedingung RB01 an Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.7
Sechseck: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.8
Sechseck: Erste Beulform, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.9
Sechseck: Erste Beulform, RB05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.10 Sechseck: Absolute kritische Beullast nach Höhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.11 Sechseck: Erste Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB01
. . . . . . . . . . . . . . .
35
4.12 Sechseck: Absolute kritische Beullast nach Wandstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Diplomarbeit
Alexander Bruns
iv
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
4.13 Sechseck: Absolute kritische Beullast nach Imperfektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.14 Sechseck: Imperfektionsempfindlichkeit, Form S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
5.1
Zellulär: neunzehnzellige Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.2
Zellulär: SolidModel als Linien und Flächenansicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5.3
Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
5.4
Zellulär: Erste Beulform, 19 Zellen, Version 2, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5.5
Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Höhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5.6
Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
5.7
Zellulär: Kritische Last pro Volumen nach Zellenanzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
6.1
Vergleich: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6.2
Vergleich: Absolute kritische Beullast nach Höhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
6.3
Vergleich: Absolute kritische Beullast nach Wandstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
6.4
Vergleich: Absolute kritische Beullast nach Imperfektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
6.5
Vergleich: Last pro Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
C.1 Kreis: Zweite Beulform, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
C.2 Kreis: Dritte Beulform, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
C.3 Kreis: Vierte Beulform, RB01
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
C.4 Kreis: Fünfte Beulform, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
C.5 Kreis: Erste Beulform, RB02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
C.6 Kreis: Zweite Beulform, RB02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
C.7 Kreis: Dritte Beulform, RB02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
C.8 Kreis: Vierte Beulform, RB02
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
C.9 Kreis: Fünfte Beulform, RB02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
C.10 Kreis: Erste Beulform, RB03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
C.11 Kreis: Zweite Beulform, RB03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
C.12 Kreis: Dritte Beulform, RB03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
C.13 Kreis: Vierte Beulform, RB03
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
C.14 Kreis: Fünfte Beulform, RB03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
C.15 Kreis: Zweite Beulform eines hohen Zylinders, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
C.16 Kreis: Dritte Beulform eines hohen Zylinders, RB01
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
C.17 Kreis: Vierte Beulform eines hohen Zylinders, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
C.18 Kreis: Fünfte Beulform eines hohen Zylinders, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
C.19 Sechseck: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
C.20 Sechseck: Zweite Beulform, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
C.21 Sechseck: Dritte Beulform, RB01
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
C.22 Sechseck: Vierte Beulform, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
C.23 Sechseck: Fünfte Beulform, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
C.24 Sechseck: Sechste Beulform, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
C.25 Sechseck: Siebte Beulform, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
C.26 Sechseck: Achte Beulform, RB01
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
C.27 Sechseck: Neunte Beulform, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
C.28 Sechseck: Zweite Beulform, RB05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
C.29 Sechseck: Dritte Beulform, RB05
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
C.30 Sechseck: Vierte Beulform, RB05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
C.31 Sechseck: Fünfte Beulform, RB05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
C.32 Sechseck: Sechste Beulform, RB05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
C.33 Sechseck: Siebte Beulform, RB05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
Diplomarbeit
Alexander Bruns
v
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
C.34 Sechseck: Achte Beulform, RB05
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
C.35 Sechseck: Neunte Beulform, RB05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
C.36 Sechseck: Zweite Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB01
. . . . . . . . . . . . . .
111
C.37 Sechseck: Dritte Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB01 . . . . . . . . . . . . . . .
111
C.38 Sechseck: Vierte Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB01 . . . . . . . . . . . . . . .
112
C.39 Sechseck: Fünfte Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB01 . . . . . . . . . . . . . . .
112
C.40 Sechseck: Erste Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB05
. . . . . . . . . . . . . . .
112
C.41 Sechseck: Zweite Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB05
. . . . . . . . . . . . . .
113
C.42 Sechseck: Dritte Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB05 . . . . . . . . . . . . . . .
113
C.43 Sechseck: Vierte Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB05 . . . . . . . . . . . . . . .
113
C.44 Sechseck: Fünfte Beulform eines hohen Zylinders, Form S1, RB05 . . . . . . . . . . . . . . .
114
C.45 Sechseck: Imperfektionsempfindlichkeit, Form S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
C.46 Sechseck: Imperfektionsempfindlichkeit, Form S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
C.47 Sechseck: Imperfektionsempfindlichkeit, Form S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
C.48 Sechseck: Imperfektionsempfindlichkeit, Form S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
C.49 Sechseck: Vergleich Beulformen, S1, RB01, Ansicht1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
C.50 Sechseck: Vergleich Beulformen, S1, RB01, Ansicht2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
C.51 Sechseck: Vergleich Beulformen, S1, RB05, Ansicht1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
C.52 Sechseck: Vergleich Beulformen, S1, RB05, Ansicht2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
C.53 Sechseck: Vergleich Beulformen, S1, RB01, Ansicht1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
C.54 Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S2, RB01, Ansicht2
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
C.55 Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S2, RB05, Ansicht1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
C.56 Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S2, RB05, Ansicht2
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
C.57 Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S3, RB01, Ansicht1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
C.58 Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S3, RB01, Ansicht2
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
C.59 Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S3, RB05, Ansicht1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
C.60 Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S3, RB05, Ansicht2
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
C.61 Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S4, RB01, Ansicht1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
C.62 Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S4, RB01, Ansicht2
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
C.63 Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S4, RB05, Ansicht1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
C.64 Sechseck: Vergleich Beulformen, Form S4, RB05, Ansicht2
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
C.65 Zellulär: Kritische Last pro Volumen nach Zellenanzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
C.66 Zellulär: Erste Beulform, 1 Zelle, Version 2, RB01
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
C.67 Zellulär: Erste Beulform, 2 Zellen, Version 2, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
C.68 Zellulär: Erste Beulform, 3 Zellen, Version 2, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
C.69 Zellulär: Erste Beulform, 4 Zellen, Version 2, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
C.70 Zellulär: Erste Beulform, 7 Zellen, Version 2, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
C.71 Zellulär: Erste Beulform, 19 Zellen, Version 2, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
C.72 Zellulär: Erste Beulform, 1 Zelle, Version 2, RB05
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
C.73 Zellulär: Erste Beulform, 2 Zellen, Version 2, RB05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
C.74 Zellulär: Erste Beulform, 3 Zellen, Version 2, RB05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
C.75 Zellulär: Erste Beulform, 4 Zellen, Version 2, RB05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
C.76 Zellulär: Erste Beulform, 7 Zellen, Version 2, RB05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
C.77 Zellulär: Erste Beulform, 19 Zellen, Version 2, RB05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
C.78 Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße, Form S1 . . . . . . . . . . . . . . .
140
C.79 Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße, Form S2 . . . . . . . . . . . . . . .
141
C.80 Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße, Form S3 . . . . . . . . . . . . . . .
142
C.81 Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Elementgröße,Form S4
. . . . . . . . . . . . . . .
143
C.82 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB01, eine Zelle . . . . .
144
Diplomarbeit
Alexander Bruns
vi
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
C.83 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB01, zwei Zellen . . . .
145
C.84 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB01, drei Zellen . . . . .
146
C.85 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB01, vier Zellen . . . . .
147
C.86 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB01, sieben Zellen
. . .
148
C.87 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB01, neunzehn Zellen . .
149
C.88 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB05, eine Zelle . . . . .
150
C.89 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB05, zwei Zellen . . . .
151
C.90 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB05, drei Zellen . . . . .
152
C.91 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB05, vier Zellen . . . . .
153
C.92 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB05, sieben Zellen
. . .
154
C.93 Zellulär: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion, Form S1, RB05, neunzehn Zellen . .
155
C.94 Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Höhe, Form S1, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . .
156
C.95 Zellulär: Absolute kritische Beullast nach Höhe, Form S1, RB01 . . . . . . . . . . . . . . . .
157
Diplomarbeit
Alexander Bruns
vii
BEZEICHNUNGEN
Bezeichnungen
Abb. 0.1: Bezeichnungen am Zylinder
Geometrie
3
x : Koordinatenrichtung
(horizontal nach außen)
y : Koordinatenrichtung
(vertikal in ZylinderHöhe)
z : Koordinatenrichtung
(horizontal in ZylinderUmfangsrichtung)
r : Radius des Zylinders
t : Wandstärke des Zylinders
h : Höhe des Zylinders
Verschiebungen
: Verschiebung
u : Verschiebung in yRichtung
v : Verschiebung in zRichtung
w : Verschiebung in xRichtung
: Verschiebung / Imperfektion in xRichtung
Materialkennwerte
E : Elastizitätsmodul, EModul
[N/mm
2
]
I : Trägheitsmoment
[mm
4
]
: Querdehnzahl [-]
3
Entgegen der üblichen Notation sind die Koordinatenachsen an die in ANSYS übliche Notation angepasst worden
Diplomarbeit
Alexander Bruns
viii
1. EINLEITUNG
1 Einleitung
1.1 Themenstellung und Inhalt
Das Thema dieser Diplomarbeit lautet: ,,Numerische Untersuchung zum Tragverhalten von dünnwandigen, zy-
lindrischen, zellulären Strukturen unter axialer Belastung". Es soll erforscht werden, wie sich das Tragverhalten
beim Wechsel von einzelligen zu mehrzelligen Strukturen ändert und ob eine Steigerung der Last im Vergleich
zu einzelnen Zylindern auftritt. Zuerst werden einzelne Kreiszylinder (Kapitel 3) und Sechseckzylinder (Ka-
pitel 4) auf das Verhalten bei Belastung untersucht. Das Verhalten von mehrzelligen Zylinderstrukturen wird
anhand von Sechseckzylindern in Anordnungen von zwei, drei, vier, sieben und 19 Zellen untersucht (Kapi-
tel 5). Ein Vergleich der Ergebnisse der Kreis und Sechseckzylinder und der mehrzelligen Zylinder wird in
Kapitel 6 unternommen. Die Schlussfolgerungen aus den Ergebnissen dieser Untersuchungen sind in Kapi-
tel 7 zusammengefasst. Daran anschließend sind in Anhang A bis Anhang C die Ein und Ausgabedateien
der ANSYSBerechnung angegeben, die Skripte, die bei der Berechnung Verwendung fanden, und die die
folgenden Kapitel ergänzenden Abbildungen.
Abb. 1.1: Kreiszylinder
Abb. 1.2: Sechseckzylinder
Abb. 1.3: mehrz. Sechseckzylinder
1.2 Begriffsdefinitionen
Kritische Last, Verzweigungslast, Beullast
Wird die Last auf eine zylindrische Struktur kontinuierlich gesteigert, so gibt es zu jeder Last einen eindeutigen
Gleichgewichtszustand. Wird eine bestimmte Last überschritten, so ist der Gleichgewichtszustand ab diesem
Punkt nicht mehr eindeutig. Die Struktur beult aus und zweigt auf einen anderen Gleichgewichtspfad ab oder
nimmt evtl. keine weitere Last mehr auf.
Gleichgewichtspfad
Trägt man die Last P zusammen mit der zugehörigen Verformung
in ein LastVerschiebungsDiagramm ein,
so bewegen sich die zugehörigen Punkte auf einer Kurve. Da zu jedem Punkt ein Gleichgewichtszustand gehört,
spricht man von einem Gleichgewichtspfad.
Diplomarbeit
Alexander Bruns
1
1.3. MOTIVATION
Verzweigungspunkt
Das ist der Punkt in einem LastVerschiebungsDiagramm, an dem die Verzweigungslast erreicht ist. Der
Gleichgewichtspfad hat an dieser Stelle einen Knick, da der Gleichgewichtszustand nicht mehr eindeutig ist
und in einen anderen übergeht.
Beulen
Mit Beulen ist das Verhalten einer zylindrischen Struktur unter der Belastung mit der kritischen Last gemeint.
Die Struktur ändert ihre Ausgangskonfiguration und wird nicht nur zusammengestaucht, sondern ändert die
Form auch senkrecht zur Belastungsrichtung unter der kritischen Last.
Nachbeulverhalten
Erreicht die Belastung die kritische Last, so gibt es für das Verhalten der Struktur jenseits des Verzweigungs-
punktes zwei oder mehr Möglichkeiten. Ist nach dem Beulen eine weitere Belastung möglich, dann steigt der
Gleichgewichtspfad nach dem Verzweigungspunkt an und man spricht von einem stabilen Nachbeulverhalten.
Obwohl die Struktur sich durch das Ausbeulen verformt hat, ist eine weitere Aufnahme von Last möglich.
Bricht die Struktur bei der kritischen Last zusammen, fällt der Gleichgewichtspfad nach dem Verzweigungs-
punkt ab. Es handelt sich dann um ein instabiles Nachbeulverhalten.
Imperfektionsempfindlichkeit
Bei einer zylindrischen Struktur spricht man von Imperfektionsempfindlichkeit, wenn kleine oder große Vorver-
formungen senkrecht zur Belastungsachse signifikante Änderungen der kritischen Last hervorrufen und diese
sich bei zunehmender Imperfektion verringert. Ändert sich die Last auch bei einer verformten Struktur nicht
oder steigt die Last bei zunehmender Imperfektion sogar, so sagt man, dass die Struktur in dieser Form unemp-
findlich gegenüber Imperfektionen ist.
1.3 Motivation
Die Analyse des Tragverhaltens von dünnwandigen Strukturen setzt sich zum Ziel, Formen zu finden, die im
Vergleich zu anderen gleichen Gewichts bessere Eigenschaften besitzen. Dies bedeutet nicht nur eine große
aufzunehmende Last, sondern auch eine geringe Empfindlichkeit gegenüber Imperfektionen oder anderen Ein-
flüssen, die die Tragwirkung beeinträchtigen können. Dabei sind die Strukturen und Formen interessant, die
mit möglichst wenig Gewicht eine sehr hohe Tragfähigkeit erreichen und somit das Gewicht optimal in Trag-
wirkung umsetzen.
Diesem Ziel widmet sich die Forschung zum Thema ,,Ultraleichtbau", welche nicht nur in den klassischen
Disziplinen wie z. B. dem Flugzeugbau auf großes Interesse stößt. Auch im Bausektor werden zunehmend
Materialien und Strukturen benötigt, die leichtere Tragwerke ermöglichen, ohne auf große Spannweiten oder
große aufnehmbare Lasten verzichten zu müssen. Dabei gibt es zum einen den Weg, über das Material Gewicht
einzusparen, zum anderen über die Formgebung das Material besser auszunutzen.
Die Frage, ob sich die Trageigenschaften signifikant ändern, wenn zylindrische Strukturen zellulär ange-
ordnet werden und sich gegenseitig beeinflussen, wird in dieser Arbeit untersucht. Anhand von mehrzelligen
Sechseckzylindern werden die Eigenschaften einer so entstandenen Bienenwabenstruktur mit den einzelligen
Zylindern verglichen.
Diplomarbeit
Alexander Bruns
2
1.4. TRAGVERHALTEN
1.4 Tragverhalten
Das Tragverhalten von mechanisch beanspruchten Strukturen wird zum einen durch das verwendete Material
beeinflusst. Zum anderen bestimmt auch das System, also die geometrische Anordnung des Materials, das
Versagen der Struktur.
Ein sehr kurzes IProfil aus Stahl zum Beispiel, das durch eine axiale Kraft zusammengedrückt wird, versagt
wegen der Überschreitung der zulässigen Spannungen im Stahl. Es liegt ein Materialversagen vor. Mit zuneh-
mender Länge des Profils bestimmen Erscheinungen wie Knicken oder BiegeDrillKnicken das Versagen.
Damit liegt ein Systemversagen vor. Dabei liegt die kritische Last, bei der der Stab ausknickt, unterhalb derer,
bei der das Material versagen würde. Ist ein Stab genügend lang, so bestimmt sein System die Last, bei der er
versagt. Die kritische Last dieser sehr einfachen geometrischen Form kann beeinflusst werden über die Randbe-
dingungen, also die Lagerungen an beiden Enden. Man spricht dann von einem EulerStab
4
, dessen analytische
Lösung für die kritische Last bei allen Randbedingungen bestimmt werden kann und bekannt ist. Wird bei dem
Stab die kritische Last überschritten, so bricht das System nicht sofort zusammen. Der Stab knickt oder beult
aus und eine weitere Laststeigerung ist möglich. Man spricht von einem stabilen Nachbeulverhalten.
Ein ähnliches Verhalten weisen Schalenkonstruktionen auf. Je dünner eine Schale ist, desto mehr bestimmt
die Anordnung des Materials die Tragfähigkeit. Zusätzlich spielen die Randbedingungen (Lagerung, freie Rän-
der, Verstärkungen an den Rändern) und Krümmungen eine große Rolle, denn sie bestimmen die Verteilung der
Kräfte innerhalb der Struktur. Auch Schalen besitzen kritische Lasten, bei denen sie ein Beulverhalten zeigen.
Dieses Beulen von dünnwandigen SchalenStrukturen ist ein nichtlineares strukturmechanisches Problem.
Eine einfache analytische Lösung wie beim EulerStab ist bei diesen Formen allgemein nicht möglich. Nur
durch sehr einschneidende Vereinfachungen und Annahmen können für die Zylinderschalen mit kreisrundem
Querschnitt überhaupt analytische Aussagen über das Tragverhalten getroffen werden. Dabei muss teilweise
ein lineares Verhalten angenommen werden, so dass diese Lösungen das exakte Verhalten nicht widerspiegeln.
Die bekannte hohe Tragfähigkeit von Schalenkonstruktionen war aber schon immer von großem Interesse und
wollte erforscht werden. Aus diesem Grunde wurden im letzten Jahrhundert zahlreiche praktische Versuche
5
durchgeführt und dadurch das Tragverhalten auf sehr kostspielige Weise untersucht.
Erst durch eine numerische Behandlung des Problems in Form von FiniteElementMethoden
6
können ge-
nauere Aussagen über das Tragverhalten getroffen und viele Varianten bei einer Untersuchung durchgerechnet
werden. Mit der Verfügbarkeit von schnellen Rechnern können diese Strukturen so detailliert analysiert werden,
dass das Verhalten von ähnlichen realen Versuchen simuliert werden kann. Dabei ist der Einsatz von nichtli-
nearen FiniteElementMethoden
7
nötig, um Beulanalysen rechnergestützt durchzuführen.
Die dünnwandigen Zylinderschalen, die in dieser Arbeit untersucht werden, haben genau wie der Stab eine
kritische Last, bei der die Struktur anfängt zu beulen. Die Dünnwandigkeit des Systems bestimmt das Verhal-
ten der Struktur bei der Aufnahme von axialen Lasten. Bei den Theorien zum Tragverhalten von kreisrunden
Zylinderschalen, die sehr detailliert von Brush und Almroth
8
dargelegt werden, wird von unendlich langen
Schalen ausgegangen. Die kritische Last zeigt keine Abhängigkeit von der Länge der Schale, außer dass bei
sehr kurzen Schalen der Einfluss des Systems seinen Einfluss gegenüber dem des Materials verliert. Eine nu-
merische Behandlung solcher Zylinderschalen kann nur an endlich langen Strukturen durchgeführt werden.
Durch die richtige Wahl der Randbedingungen am Anfang und am Ende der Schale kann jedoch das aus den
analytischen Lösungen bekannte Verhalten bestätigt werden. Es können Lasten ermittelt werden, bei denen der
Gleichgewichtszustand nicht mehr eindeutig ist und es können die zugehörigen Beulformen dargestellt werden.
4
nach Brush und Almroth siehe [1], Seite 22
5
siehe [1] und [2]
6
siehe Bathe [6]
7
siehe Wriggers [7]
8
ebd. siehe [1], Kapitel 5
Diplomarbeit
Alexander Bruns
3
1.4. TRAGVERHALTEN
Nach dem Verzweigungspunkt, an dem das System den primären Gleichgewichtspfad verlässt, zeigen Kreis-
zylinder und Sechseckzylinder unterschiedliches Verhalten. Vergleichbar mit dem Stab kann der Sechseckzy-
linder nach der Beullast noch weiter belastet werden. Er hat also ebenfalls ein stabiles Nachbeulverhalten. Der
Kreiszylinder dagegen hat ein instabiles Nachbeulverhalten. Er bricht unter der Beullast zusammen und zeigt
deutliche Deformationen. Das unterschiedliche Verhalten veranschaulichen Abb. 1.4(a) und Abb. 1.4(b)
(a) Kreiszylinder
(b) Sechseckzylinder
Abb. 1.4: LastVerschiebungsDiagramm
Die Zylinderstrukturen weisen noch ein weiteres Verhalten auf: Sie sind teilweise anfällig gegenüber Vor-
verformungen. Dieses als Imperfektionsempfindlichkeit bezeichnete Verhalten steht in engem Zusammenhang
mit dem Nachbeulverhalten. Der Kreiszylinder, der ein instabiles Nachbeulverhalten aufweist, ist sehr anfällig
gegenüber Imperfektionen. Erreicht die perfekte oder imperfekte Struktur die Beullast, so ist keine Laststei-
gerung mehr möglich und die Struktur erleidet große Verformungen. Der Sechseckzylinder, der ein stabiles
Nachbeulverhalten aufweist, ist nicht anfällig gegenüber Imperfektionen und ermöglicht der imperfekten Form
teilweise eine größere Last als der perfekten Ausgangsform.
(a) Kreiszylinder
(b) Sechseckzylinder
Abb. 1.5: Imperfektionsempfindlichkeit
Für eine detailliertere Beschreibung des hier dargelegten Tragverhaltens wird auf die Ausführungen von
Brush und Almroth unter [1] und von Koiter unter [2] verwiesen.
Diplomarbeit
Alexander Bruns
4
2. FEM MIT ANSYS
2 FEM mit ANSYS
An dieser Stelle wird auf die Anwendung der FiniteElementMethoden, die bei dieser Untersuchung Verwen-
dung fanden, eingegangen. Die Handhabung von ANSYS und die dabei verwendeten Funktionen und Elemente
werden erläutert.
2.1 Verwendung der FEM
Eine numerische Untersuchung, die das Tragverhalten von mechanisch beanspruchten Strukturen analysiert,
basiert zur heutigen Zeit auf den FiniteElementMethoden
9
. Dabei wird das mechanische Problem, das durch
Differentialgleichungen höherer Ordnung beschrieben ist, nicht durch das analytisch exakte Lösen der DGL
beschrieben -- was meistens nicht möglich ist, da die analytische Lösung nicht existiert -- sondern die Lösung
wird numerisch angenähert. Die Struktur wird in finite, also endliche, Elemente zerlegt, was auch als Ver-
netzung bezeichnet wird. An den Knotenpunkten dieses Netzes werden durch die FiniteElementMethoden
Näherungen für die Lösung der DGLs berechnet. Hierbei werden die Gleichgewichtsbedingungen, die durch
die DGLs ausgedrückt werden, durch die Variationsmethoden
10
in eine MatrizenSchreibweise umformuliert.
Diese bietet die Möglichkeit, durch numerische Algorithmen näherungsweise im Rechner gelöst zu werden.
Die einzelnen Knoten, die das Netz über die Struktur bildet, werden durch Randbedingungen so definiert,
dass sie das zu lösende Problem möglichst genau wiedergeben. Diese Randbedingungen sind Kräfte, Lagerun-
gen oder auch Einschränkungen von Verschiebungen. Die Elemente des Netzes besitzen an ihren Knoten die
nötigen Freiheitsgrade, die die für die Lösung des Problems nötigen Kräfte oder Verschiebungen repräsentieren.
Eine Vereinfachung und Idealisierung des Problems ist auch bei den heute zur Verfügung stehenden Rechen-
kapazitäten nötig, da dadurch zum einen Rechenzeit gespart wird und zum anderen nur die wirklich relevanten
Ergebnisse berechnet werden.
Die Vorgehensweise bei dieser Untersuchung sieht wie folgt aus:
1. Erstellen der Geometrie des Zylinders.
2. Vernetzen der Geometrie mit Elementen, die als Freiheitsgrade Verschiebungen und Verdrehungen zu-
lassen.
3. Einschränkung der Ränder des Zylinders auf die Randbedingungen (Verschiebungen und Lagerungen).
4. Belastung des Zylinders mit Einzellasten auf jedem Knoten.
5. Statische Berechnung unter einer Einheitslast von eins.
6. Berechnung der Beullast und von zugehörigen Beulformen als Vielfaches der Einheitslast.
7. Ausgabe der entsprechenden Beulformen.
9
siehe Bathe [6]
10
ebd. Seite 132
Diplomarbeit
Alexander Bruns
5
2.2. ANWENDUNG VON ANSYS
Die Berechnung der kritischen Beullast stellt mathematisch gesehen das Finden der Kraft dar, bei der die
Determinante der Steifigkeitsmatrix gleich null wird (DetK
= 0). Aufgrund der geometrischen Nichtlineari-
tät beim Beulen und der Nichtlinearität des Gleichgewichtspfads im LastVerschiebungsDiagramm kann die
Beullast nicht direkt linear bestimmt werden. Mit dem NewtonRaphsonVerfahren
11
werden in definierten
Iterationsschritten die zu der entsprechenden Last gehörenden Verschiebungen und Spannungen iterativ be-
rechnet. Das Iterationsverfahren nach Lanczos
12
wird dabei benutzt, um die Eigenwerte der Steifigkeitsmatrix
und deren Eigenformen zu bestimmen.
2.2 Anwendung von ANSYS
Das SoftwarePaket ANSYS bietet zahlreiche Programme für die Simulation von Beanspruchungen, die auf
frei wählbare Strukturen und Geometrien wirken können. Dazu gehören Möglichkeiten für Untersuchungen von
mechanischen, dynamischen, thermischen, elektrischen, magnetischen, akustischen und elektromagnetischen
Beanspruchungen. Für diese Untersuchung wurden die Möglichkeiten für nichtlineare statische Berechnungen
und Beuluntersuchungen mit ANSYS Multiphysics benutzt.
Die Arbeit mit ANSYS besteht dabei aus drei Teilen: Preprocessing, Solution und Postprocessing
13
. Prepro-
cessing ist der erste Teil einer Berechnung, in dem die Geometrie festgelegt und die Vernetzung durchgeführt
wird. Hier werden Materialien bestimmt und die Eigenschaften der Elemente, die die Vernetzung bestimmen,
werden definiert. Im SolutionTeil können Kräfte auf Knoten aufgebracht und Randbedingungen definiert wer-
den. Damit wird das zu lösende Gleichungssystem beeinflusst, dessen Berechnung und Lösung am Ende dieses
Teils steht. Die Auswertung der Ergebnisse geschieht im PostprocessingTeil. Farbige Darstellungen der Span-
nungsverläufe über die Struktur und die zu den berechneten kritischen Lasten gehörenden Beulformen werden
hier ausgegeben.
Die Berechnungen mit ANSYS können in einem grafischen ProgrammModus vorbereitet und ausgewertet
oder im BatchModus ohne grafische Ausgabe durchgeführt werden. Für den letzteren Fall stellt ANSYS ei-
ne mächtige eigene Programmiersprache zur Verfügung, in der alle Schritte, die grafisch möglich sind, durch
Befehle und zugehörige Parameter realisiert sind. Die Untersuchung mit ANSYS besteht somit i. A. aus der Ent-
wicklung der Eingabedateien in der ANSYSProgrammiersprache. Alle Schritte in ANSYS, die im grafischen
Modus getätigt werden, können in einer HistoryListe nachgesehen werden und helfen bei der Erstellung der
Skripte. Für die Berechnung wird ANSYS im BatchModus gestartet, bei dem die Berechnungsschritte durch
eine EingabeDatei eingelesen und die berechneten Werte in der Ausgabedatei und in von ANSYS generierten
Bildern ausgegeben werden. Dieses Vorgehen ist detailliert in Anhang B beschrieben.
2.3 Numerisches Modell
Bei der Untersuchung der dünnwandigen Strukturen in dieser Arbeit wurden die Zylinder als Regelformen mit
definiertem Radius, Wandstärke und Höhe eingegeben. Dabei wurden die Strukturen durch die Möglichkeiten
der ANSYSProgrammiersprache erzeugt und aus Regelformen generiert. Dieses als SolidModeling
14
be-
zeichnete Verfahren hat den Vorteil, dass die Vernetzung des Modells mit den definierten Elementen mit der
ANSYS eigenen Intelligenz durchgeführt wird. Somit können Berechnungsfehler durch eine schlecht gewählte
Vernetzung ausgeschlossen werden. Eine Programmierung der Knotenpunkte des Netzes selber wäre zwar auch
möglich gewesen, liefert aber die gleichen Ergebnisse bei größerem Programmieraufwand.
11
vgl. Bathe [6], Seite 897 ff.
12
ebd. Seite 1129 ff.
13
vgl. ANSYSDokumentation [8]
14
ebd., Modeling and Meshing Guide
Diplomarbeit
Alexander Bruns
6
2.3. NUMERISCHES MODELL
Bei der Generierung des Netzes wurden ebene VierKnotenElemente verwendet. Diesen kann als Parameter
die Wandstärke übergeben werden. Eine Vernetzung mit Volumenelementen ist bei dünnwandigen Strukturen
nicht nötig, da sie zu unnötiger Rechenzeit bei gleichen Ergebnissen führen.
Aus der von ANSYS bereitgestellten Bibliothek wurde das Element SHELL63 gewählt. Es besitzt vier Kno-
ten und hat die Möglichkeit, Membran und BiegeSchnittkräfte zu berechnen. Da das Beulverhalten von
Zylinderstrukturen ohne Biegeschnittgrößen nicht stattfinden kann, ist diese Möglichkeit besonders wichtig.
Das Element erlaubt die Belastung in Normalenrichtung und in Richtung der Elementebene. An jedem Knoten
hat es sechs Freiheitsgrade, so dass drei Verschiebungen und drei Verdrehungen bestimmt werden können.
Abb. 2.1: ANSYS Element SHELL63, Elastisches SchalenElement
Das Koordinatensystem dieses Elementes hat eine leicht andere Notation als das globale Koordinatensystem
in ANSYS. Es handelt sich um zwei voneinander getrennte Koordinatensysteme. Dieses muss aber nur bei
der Auswertung der Spannungen und Ergebnisse pro Element berücksichtigt werden. Die Knoten des Netzes
richten sich nach dem globalen KOS, solange dieses KnotenKOS nicht gedreht wird. Da sich die Randbe-
dingungen nach dem KOS der Knoten richten, müssen die Knoten vor dem Definieren der Randbedingungen
gedreht und angepasst werden. Den Unterschied zeigen Abb. 2.2(a) und Abb. 2.2(b):
(a) nicht gedrehtes KnotenKOS
(b) gedrehtes KnotenKOS
Abb. 2.2: Randbedingungen und Belastung am oberen Zylinderrand
Diplomarbeit
Alexander Bruns
7
2.3. NUMERISCHES MODELL
Sollen Imperfektionen vor der Berechnung auf die Geometrie aufgegeben werden, so kann dies auf zwei Ar-
ten geschehen. Das SolidModel kann imperfekt generiert werden. Dazu werden die Grundelemente, aus denen
die Flächen erzeugt werden, verschoben generiert. Soll die Struktur nach der Vernetzung verändert werden, so
reagiert ANSYS darauf allergisch mit Fehlermeldungen. Durch das nachträgliche Verschieben der Knotenko-
ordianten bleiben die Elemente nicht mehr eben. Abb. 2.3(a) und Abb. 2.3(b) zeigen das erzeugte SolidModel
und die vernetzte Struktur.
(a) SolidModel
(b) vernetzte Struktur
Abb. 2.3: SolidModel und vernetzte Struktur eines imperfekten Kreiszylinders
Es besteht allerdings die Möglichkeit, ein perfektes Modell durchzurechnen, in einer erneuten Berechnung zu
laden und die Geometrie durch die zuvor berechnete Beulform zu ersetzen. Dieses Verfahren wird als Updaten
der Geometrie bezeichnet. Es entspricht dem bevorzugten Vorgehen beim Untersuchen der Imperfektionsemp-
findlichkeit. Man geht allgemein davon aus, dass eine Form, die aus der Geometrie der ersten Beulform als
imperfekte Form generiert wird, zu Imperfektionsempfindlichkeit neigt. Abb. 2.4(a) und Abb. 2.4(b) zeigen das
vernetzte Modell vor und nach dem Updaten der Geometrie.
(a) Perfekte Geometrie
(b) Upgedatete Geometrie
Abb. 2.4: Vernetzte Struktur eines perfekten und imperfekten Sechseckzylinders
Diplomarbeit
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8
3. UNTERSUCHUNG DES KREISZYLINDERS
3 Untersuchung des Kreiszylinders
Die Untersuchung des Kreiszylinders dient der Verifizierung des verwendeten numerischen Modells und als
Grundlage für den Vergleich mit den Sechseckzylindern. Da analytische Lösungsansätze
15
für die Differen-
tialgleichungen, die die Gleichgewichtsbedingungen für den Kreiszylinder beschreiben, vorliegen, kann das
analytische Ergebnis für die Größe der kritischen bestimmt Beullast mit dem numerischen Ergebnis direkt
verglichen werden.
Als Grundlage für diese Untersuchung wird ein Kreiszylinder mit den folgenden Kennwerten gewählt:
r
= 250mm
mit einem Dickenverhältnis
r
/t = 100
ergibt sich
t
=
250 mm
100
= 2,5mm
EModul
E
= 210.000N/mm
2
Querdehnzahl
= 0,3
Für dünnwandige Zylinderstrukturen mit kreisrundem Querschnitt ist die kritische Last, bei der der Ver-
zweigungspunkt erreicht ist und das Beulen einsetzt, näherungsweise analytisch nach der folgenden Formel zu
ermitteln
16
:
P
Cr
=
Cr
· A
(3.1)
mit
Cr
=
E
·t/r
3
· (1 -
2
)
(3.2)
und
A
= 2 · · r ·t
(3.3)
Für diesen Fall ergibt sich:
Cr
=
210
.000N/mm
2
·
2
,5mm
250 mm
3
· (1 - 0,3
2
)
= 1.270,978N/mm
2
A
= 2 · · 250mm · 2,5mm
= 3.926,991mm
2
P
Cr
=
Cr
· A
= 4.991.118N
15
vgl. Brush und Almroth siehe [1], Kapitel 5
16
ebd., Seite 168 (5.52)
Diplomarbeit
Alexander Bruns
9
Die Höhe des Kreiszylinders kann beliebig gewählt werden, wobei darauf geachtet werden muss, dass der
Zylinder nicht sehr klein ist und somit das Systemversagen nicht in den Hintergrund gerückt wird. Um die für
den Kreiszylinder bekannte Beulform zu begünstigen, wird die Höhe aus einem Vielfachen der sog. Beullänge
17
bestimmt, die eine Länge der sich ergebenden Beulwellen darstellt. Diese besteht aus der zweifachen halben
Wellenlänge, die sich wie folgt bestimmen lässt:
l
x
=
4
12
· (1 -
2
)
·
r
·t
(3.4)
Für diesen Fall ergibt sich:
l
x
=
4
12
· (1 - 0,3
2
)
· 250mm · 2,5mm
= 43,205mm
Die Höhe des Zylinders wird aus vier Wellenlängen gewählt und ergibt sich zu:
h
= 4 · 2 · l
x
= 4 · 2 · 43,205mm
= 345,64mm
Sobald die Höhe des Kreiszylinders aus einem Vielfachen dieser Wellenlänge besteht, stellt sich die zugehö-
rige Beulform als ,,Baumkuchenform" ein. Abb. 3.1 veranschaulicht dieser Beulform:
Abb. 3.1: Kreis: Beulform
17
vgl. Kollá und Dulácska, siehe [3], Seite 25
Diplomarbeit
Alexander Bruns
10
3.1. NUMERISCHES MODELL
3.1 Numerisches Modell
Um die kritische Last mit ANSYS numerisch zu berechnen, wird ein Kreiszylinder mit den folgenden, an die
analytische Lösung angeglichenen, Kennwerten erzeugt:
r
= 250mm
mit einem Dickenverhältnis
r
/t = 100
ergibt sich
t
= 2,5mm
aus 4 Wellenlängen mit
l
x
= 43,205mm
ergibt sich
h
= 345,64mm
EModul
E
= 210.000N/mm
2
Querdehnzahl
= 0,3
3.1.1 SolidModel
Von dem Zylinder mit kreisrundem Querschnitt ist die auftretende Beulform bekannt, die einer ,,Baumkuchen-
form" ähnlich ist. Aus diesem Grund wird das SolidModel schon so erstellt, dass eine imperfekte ,,Baumku-
chenform" erzeugt werden kann, die dann vernetzt wird.
Zuerst werden Titel und Farben definiert, die die Ausgabe der erzeugten Grafiken beeinflussen:
! B e g i n n
/ TITLE , K 1 _ r b 0 1 _ e 0 1 _ a i 5 . 0 0 0 1 _e20 .00
! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
! F e s t l e g e n der F a r b e n f u e r Grafik - E x p o r t
! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
/ RGB , INDEX ,100 ,100 ,100 , 0
! fuer S c h w a r z auf W e i s s
/ RGB , INDEX , 80 , 80 , 80 ,13
! fuer S c h w a r z auf W e i s s
/ RGB , INDEX , 60 , 60 , 60 ,14
! fuer S c h w a r z auf W e i s s
/ RGB , INDEX , 0 , 0 , 0 ,15
! fuer S c h w a r z auf W e i s s
/ RGB , INDEX ,60 ,90 ,90 ,4
! F a r b e der D e f o r m e d S h a p e
Dann werden Variablen definiert und die das SolidModel beeinflussenden Größen berechnet. Nach den
Formeln für die analytische Beullast und Beullänge werden Höhe und Wanddicke berechnet:
! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
! F e s t l e g e n und B e r e c h n e n von V a r i a b l e n
! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
! - - - - - - - - - - E i n g a n g s w e r t e
! E i n h e i t e n : mm , N
* SET , V _ Z _ R A D I U S , 250
! R a d i u s des Z y l i n d e r s in mm
* SET , V _ Z _ W E L L E N A N Z A H L , 4
! B e s t i m m t die H o e h e des Z y l i n d e r s
* SET , V _ Z _ A N F A N G S I M P E R F E K T I O N , 5 . 0 0 0 1
! m a x i m a l e V e r s c h i e b u n g der COS - A m p l i t u d e
* SET , V _ Z _ D I C K E N V E R H A E L T N I S , 100
! R / t = V _ Z _ D I C K E N V E R H A E L T N I S
* SET , V _ Z _ E M O D U L , 2.1 E5
! E - M o d u l N / mm
* SET , V _ Z _ K R E I S L I N I E N , 4
! A n z a h l der L i n i e n und A r e a s mit d e n e n der Z y l i n d e r d a r g e s t e l l t w i r d
* SET , V _ Z _ E R Z E U G E N D E _ U N T E R T E I L U N G E N , 10
! B e s t i m m t die U n t e r t e i l u n g der e r s t e n COS - F o e r m i g e n Welle , 10 U n t e r t e i l u n g e n =
2*6 Knoten , b e n o e t i g t f u e r B S P L I N E
* SET , V _ Z _ B E U L F O R M E N , 5
! A n z a h l der B e r e c h n e t e n B e u l f o r m e n
* SET , V _ Z _ N S U B S T , 5
! A n z a h l der Z w i s c h e n s c h r i t t e bei der B e r e c h n u n g
* SET , V _ Z _ E L E M E N T G R E O S S E , 2 0 . 0 0
! B e s t i m m t die E l e m e n t g r o e s s e , mit der der Z y l i n d e r v e r m a s c h t w i r d
! - - - - - - - - - - S t a n d a r d w e r t e
* SET , NUE , 0.3
* SET , PI , 2* ASIN (1)
! - - - - - - - - - - V a r i a b l e n b e r e c h n u n g
* SET , Z _ W A N D D I C K E , V _ Z _ R A D I U S / V _ Z _ D I C K E N V E R H A E L T N I S
* SET , Z _ W E L L E N L A E N G E , ( PI ) /( S Q R T ( S Q R T (12*(1 - NUE * * 2 ) ) ) ) *( S Q R T ( V _ Z _ R A D I U S * Z _ W A N D D I C K E ) )
* SET , Z_HOEHE , V _ Z _ W E L L E N A N Z A H L *2* Z _ W E L L E N L A E N G E
* SET , Z _ A N F A N G S I M P E R F E K T I O N , V _ Z _ A N F A N G S I M P E R F E K T I O N * Z _ W A N D D I C K E
* SET , Z _ A N A L Y T I S C H E _ L A S T , (( V _ Z _ E M O D U L * Z _ W A N D D I C K E **2) *2* PI ) /( SQRT (3*(1 - NUE **2) ) )
Alle Werte, die für die Parameterstudien aller Berechnungen dieser Untersuchung verändert werden müssen,
sind nur in dieser am Anfang der Eingabedatei zu findenden Stelle zu variieren.
Diplomarbeit
Alexander Bruns
11
3.1. NUMERISCHES MODELL
Nach der Festlegung und Berechnung der Eingangsgrößen beginnt der PreprocessingTeil in ANSYS. Es
wird das Element für die Vernetzung festgelegt und die Eigenschaften wie Dicke, EModul und Querdehnzahl
definiert:
/ P R E P 7
! - - - - - - - - - -
! S o l i d e r s t e l l e n
! - - - - - - - - - -
! F e s t l e g u n g der E l e m e n t e
ET ,1 , S H E L L 6 3
R ,1 , Z _ W A N D D I C K E , Z _ W A N D D I C K E , Z _ W A N D D I C K E , Z _ W A N D D I C K E
MP , EX ,1 , V _ Z _ E M O D U L
MP , NUXY ,1 , NUE
Beim Erzeugen von ANSYSElementen -- dazu zählen Linien, Flächen, Volumen, Keypoints, Knoten und
Elemente -- wird jedem Element eine eindeutige Nummer zugeordnet. Es ist von Vorteil, dieses in Abhängig-
keit von schon vorhandenen ANSYSElementen zu tun. Dazu werden Variablen definiert, die die vorhandene
Anzahl dieser ANSYSElemente speichern:
! A l l e s b i s h e r i g e d e s e l e k t i e r e n
NSEL , N O N E
ASEL , N O N E
LSEL , N O N E
VSEL , N O N E
KSEL , N O N E
! E v t l . v o r h a n d e n e Knoten , K e y p o i n t s und L i n i e n e r f a s s e n
* GET , T _ M A X _ N O D E _ N O , NODE , 0 , NUM , M A X D
* GET , T _ M A X _ E L E M E N T _ N O , ELEM , 0 , NUM , M A X D
* GET , T _ M A X _ K P _ N O , KP , 0 , NUM , M A X D
* GET , T _ M A X _ L I N E _ N O , LINE , 0 , NUM , M A X D
* GET , T _ M A X _ A R E A _ N O , AREA , 0 , NUM , M A X D
* GET , T _ M A X _ N O D E _ B E F O R E , NODE , 0 , NUM , M A X D
* GET , T _ M A X _ E L E M _ B E F O R E , ELEM , 0 , NUM , M A X D
* GET , T _ M A X _ K P _ B E F O R E , KP , 0 , NUM , M A X D
* GET , T _ M A X _ L I N E _ B E F O R E , LINE , 0 , NUM , M A X D
* GET , T _ M A X _ A R E A _ B E F O R E , AREA , 0 , NUM , M A X D
Nun wird das SolidModel erstellt. Dieses geschieht durch die folgenden Schritte:
1. Erzeugen einer cosinusförmigen Kurve der Länge der Wellenlänge und der Amplitude der angegeben
Anfangsimperfektion.
2. Diese Kurve wird nach der definierten Anzahl der gewünschten Wellen aneinander gehängt, so dass die
Außenkante des Zylinders erzeugt wird.
3. Diese Linie wird um die Mittalachse des Kreiszylinders rotiert und somit das SolidModel erstellt.
Diese Schritte sehen nacheinander so aus:
! U m s t e l l e n d e s K O S auf Z y l i n d e r - K o o r d i n a t e n m i t Y - A c h s e als R o t a t i o n s a c h s e CSYS ,5
! COS - f o e r m i g e E r z e u g e n d e e r s t e l l e n , K e y p o i n s e r z e u g e n und COS - F o e r m i g v e r s c h i e b e n * DO ,
i , 1 , V _ Z _ E R Z E U G E N D E _ U N T E R T E I L U N G E N +1 , 1
* SET , T _ K N O T E N N U M M E R , i
* SET , T _ K N O T E N _ K O O R D I N A T E _ Y , 0+( i -1) * ( ( 2 * Z _ W E L L E N L A E N G E ) / V _ Z _ E R Z E U G E N D E _ U N T E R T E I L U N G E N )
! Z - K o o r d i n a t e
* SET , T _ V E R S C H I E B U N G , Z _ A N F A N G S I M P E R F E K T I O N *(1 - cos ( T _ K N O T E N _ K O O R D I N A T E _ Y *2* V _ Z _ W E L L E N A N Z A H L * PI / Z _ H O E H E ) )
N , T _ K N O T E N N U M M E R , V _ Z _ R A D I U S + T _ V E R S C H I E B U N G , 180 , T _ K N O T E N _ K O O R D I N A T E _ Y
KNODE , T _ K N O T E N N U M M E R + T _ M A X _ K P _ B E F O R E , T _ K N O T E N N U M M E R
NDELE , T _ K N O T E N N U M M E R
* E N D D O
! Aus j e w e i l s 6 P u n k t e n mit B S P L I N E e i n e L i n i e e r s t e l l e n * SET , B S P L I N _ P O I N T _ 1 ,
T _ M A X _ K P _ B E F O R E +1 * SET , B S P L I N _ P O I N T _ 2 , T _ M A X _ K P _ B E F O R E +2 * SET , B S P L I N _ P O I N T _ 3 ,
T _ M A X _ K P _ B E F O R E +3 * SET , B S P L I N _ P O I N T _ 4 , T _ M A X _ K P _ B E F O R E +4 * SET , B S P L I N _ P O I N T _ 5 ,
T _ M A X _ K P _ B E F O R E +5 * SET , B S P L I N _ P O I N T _ 6 , T _ M A X _ K P _ B E F O R E +6 BSPLIN , B S P L I N _ P O I N T _ 1 ,
B S P L I N _ P O I N T _ 2 , B S P L I N _ P O I N T _ 3 , B S P L I N _ P O I N T _ 4 , B S P L I N _ P O I N T _ 5 , B S P L I N _ P O I N T _ 6 , 0 , 0 , -1 ,
0 , 0 , 1 * SET , B S P L I N _ P O I N T _ 1 , T _ M A X _ K P _ B E F O R E +6 * SET , B S P L I N _ P O I N T _ 2 , T _ M A X _ K P _ B E F O R E +7
* SET , B S P L I N _ P O I N T _ 3 , T _ M A X _ K P _ B E F O R E +8 * SET , B S P L I N _ P O I N T _ 4 , T _ M A X _ K P _ B E F O R E +9 * SET ,
B S P L I N _ P O I N T _ 5 , T _ M A X _ K P _ B E F O R E +10 * SET , B S P L I N _ P O I N T _ 6 , T _ M A X _ K P _ B E F O R E +11 B SPLIN ,
B S P L I N _ P O I N T _ 1 , B S P L I N _ P O I N T _ 2 , B S P L I N _ P O I N T _ 3 , B S P L I N _ P O I N T _ 4 , B S P L I N _ P O I N T _ 5 ,
B S P L I N _ P O I N T _ 6 , 0 , 0 , -1 , 0 , 0 , 1
! L o e s c h e n der n i c h t m e h r b e n o e t i g t e n K e y p o i n t s der K n o t e n z w i s c h e n den K n o t e n e n d l i n i e n
KDELE , T _ M A X _ K P _ B E F O R E +2 KDELE , T _ M A X _ K P _ B E F O R E +3 KDELE , T _ M A X _ K P _ B E F O R E +4 KDELE ,
T _ M A X _ K P _ B E F O R E +5 KDELE , T _ M A X _ K P _ B E F O R E +7 KDELE , T _ M A X _ K P _ B E F O R E +8 KDELE ,
T _ M A X _ K P _ B E F O R E +9 KDELE , T _ M A X _ K P _ B E F O R E +10
Diplomarbeit
Alexander Bruns
12
3.1. NUMERISCHES MODELL
Die erzeugte einfache Wellenlänge als Spline zeigt Abb. 3.2(a).
! Die E r z e u g e n d e n h o c h k o p i e r e n f u e r k o m p l e t t e V e r t i k a l e
A u s s e n k o n t u r
LGEN , V _ Z _ W E L L E N A N Z A H L , T _ M A X _ L I N E _ B E F O R E +1 , , , , , Z _ W E L L E N L A E N G E *2 , ,1
LGEN , V _ Z _ W E L L E N A N Z A H L , T _ M A X _ L I N E _ B E F O R E +2 , , , , , Z _ W E L L E N L A E N G E *2 , ,1
! D o p p e l t e K e y p o i n t s a u s m e r z e n
NUMMRG , KP
! A l l e L i n i e n zu e i n e r v e r e i n e n
LCOMB , ALL
! N u m m e r i e r u n g K o m p l e t t K o m p r i m i e r e n ( KP - , NODE - , AREA - , VOLU - N u m b e r s )
NUMCMP , ALL
Die komplette Außenkante aus den kopierten erzeugten Splines zeigt Abb. 3.2(b).
(a) erste Welle
(b) Außenkante
Abb. 3.2: Kreis: Erzeugende des SolidModel
! H o e c h s t e K n o t e n und KP - N u m m e r a u s l e s e n
* GET , T _ M A X _ K P _ N O , KP , 0 , NUM , M A X D
* GET , T _ M A X _ N O D E _ N O , NODE , 0 , NUM , M A X D
* GET , T _ M A X _ L I N E _ N O , LINE , 0 , NUM , M A X D
! D r e h a c h s e e r z e u g e n mit K e y p o i n t s
N , T _ M A X _ N O D E _ N O +1 , 0 ,0 ,0
N , T _ M A X _ N O D E _ N O +2 , 0 ,0 , Z _ H O E H E
KNODE , T _ M A X _ K P _ N O +1 , T _ M A X _ N O D E _ N O +1
KNODE , T _ M A X _ K P _ N O +2 , T _ M A X _ N O D E _ N O +2
! J e d e COS - T e i l l i n i e R o t i e r e n und Z y l i n d e r g e n e r i e r e n
* DO , i , 1 , T _ M A X _ L I N E _ N O - T _ M A X _ L I N E _ B E F O R E , 1
AROTAT , T _ M A X _ L I N E _ B E F O R E + i , , , , , , T _ M A X _ K P _ N O +1 , T _ M A X _ K P _ N O +2 , 360 , V _ Z _ K R E I S L I N I E N
* E N D D O
! D r e h a c h s e - K e y p o i n t s l o e s c h e n
KDELE , T _ M A X _ K P _ N O +1
KDELE , T _ M A X _ K P _ N O +2
NDELE , T _ M A X _ N O D E _ N O +1
NDELE , T _ M A X _ N O D E _ N O +2
Das fertige SolidModel, das aus der Rotation der Außenkante um die Mittelachse des Zylinders erzeugt
wurde, zeigen Abb. 3.3(a) und Abb. 3.3(b).
Um die einzelnen Elemente des SolidModels später wieder einfach aufrufen zu können und auszuwählen,
werden diese gruppiert:
! G r u p p i e r u n g der Z y l i n d e r e l e m e n t e
CM , CM_Z1_KP , KP
! Nur die K e y p o i n t s
CM , C M _ Z 1 _ L I N I E N , L I N E
! Nur die L i n i e n a b e r a l l e
CM , C M _ Z 1 _ A R E A S , A R E A
! Nur die F l a e c h e n
CMGRP , C M _ Z 1 _ G R P , C M _ Z 1 _ K P , C M _ Z 1 _ L I N I E N , C M _ Z 1 _ A R E A S
! E i n e G r u p p e u e b e r a l l e s
! G r u p p i e r e n der L i n i e n für B e l a s t u n g und RB ( Z y l i n d e r k o o r d i n a t e n )
LSEL , S , LOC , Z , 0 , 0
CMSEL , R , C M _ Z 1 _ G R P , L I N E
CM , C M _ Z 1 _ B O D E N L I N I E N , L I N E
Diplomarbeit
Alexander Bruns
13
3.1. NUMERISCHES MODELL
LSEL , S , LOC , Z , Z_ HOEHE , Z _ H O E H E
CMSEL , R , C M _ Z 1 _ G R P , L I N E
CM , C M _ Z 1 _ D E C K E L L I N I E N , L I N E
! W i e d e r den k o m p l e t t e n Z y l i n d e r s s e l e c t i e r e n
CMSEL , S , C M _ Z 1 _ G R P
(a) als Linienansicht
(b) als Flächenansicht
Abb. 3.3: Kreis: SolidModel als Linien und Flächenansicht
3.1.2 Netzgenerierung
Der Schritt der Netzgenerierung wird in ANSYS als Meshing bezeichnet. Dabei werden die generierten Flächen
mit dem definierten Element in der eingestellten Elementgröße vermascht. Anschließend werden die obere und
untere Knotenreihe gruppiert und die erzeugten Knoten und Elemente einzelnen Gruppen zugeordnet:
! - - - - - - - - - -
! S o l i d M e s h i n g
! - - - - - - - - - -
* GET , T _ A R E A S _ N O , AREA , 0 , C O U N T
! A n z a h l S e l e c t e d der A r e a s in V a r i a b l e
* DO , i , T _ M A X _ A R E A _ B E F O R E , T _ M A X _ A R E A _ B E F O R E + T _ A R E A S _ N O , 1
AESIZE , i , V _ Z _ E L E M E N T G R E O S S E
! N e t z g r o e s s e a l l e r A r e a s d e f i n i e r e n
* E N D D O
AMESH , T _ M A X _ A R E A _ B E F O R E +1 , T _ M A X _ A R E A _ B E F O R E + T _ A R E A S _ N O
! D o p p e l t e K e y p o i n t s , N o d e s a u s m e r z e n und D u r c h n u m m e r i e r u n g
k o m p r i m i e r e n
NUMMRG , KP
NUMMRG , N ODE
NUMCMP , ALL
! G r u p p i e r u n g der Z y l i n d e r e l e m e n t e ( K n o t e n und E l e m e n t e )
CM , C M _ Z 1 _ N O D E , N O D E
! N u r die K e y p o i n t s
CM , C M _ Z 1 _ E L E M , E L E M
! N u r die L i n i e n a b e r a l l e
! K n o t e n für L a s t e n und L i n i e n für B e l a s t u n g und RB g r u p p i e r e n ( Z y l i n d e r k o o r d i n a t e n )
NSEL , S , LOC , Z , 0 , 0
! K n o t e n in der B o d e n e b e n e
CMSEL , R , C M _ Z 1 _ G R P , N O D E
CM , C M _ Z 1 _ B O D E N K N O T E N , N O D E
NSEL , S , LOC , Z , Z_ HOEHE , Z _ H O E H E
! K n o t e n in der D e c k e l e b e n e
CMSEL , R , C M _ Z 1 _ G R P , N O D E
CM , C M _ Z 1 _ D E C K E K N O T E N , N O D E
Anschließend werden noch die Koordinatensysteme der erzeugten Knoten gedreht, damit die Randbedingun-
gen richtig aufgegeben werden können.
! - - - - - - - - - -
! K n o t e n k o o r d i n a t e n s y s t e m e d r e h e n
! - - - - - - - - - -
! K n o t e n n u m m e r n
k o m p r i m i e r e n
NUMCMP , NODE
! A l l e K n o t e n s e l e k t i e r e n zum d r e h e n
Diplomarbeit
Alexander Bruns
14
3.1. NUMERISCHES MODELL
CMSEL , S , C M _ Z 1 _ N O D E
* GET , T _ M I N _ N O D E _ N O , NODE , 0 , NUM , M I N D
* GET , T _ M A X _ N O D E _ N O , NODE , 0 , NUM , M A X D
* DO , i , T _ M I N _ N O D E _ N O , T _ M A X _ N O D E _ N O , 1
* GET , T _ N O D E _ V E R D R E H U N G , NODE , i , LOC , Y
! V e r d r e h u n g in P o l a r k o o r d i n a t e n
NMODIF , i , , , , , , T _ N O D E _ V E R D R E H U N G
* E N D D O
Die vernetzte Struktur am Ende des Preprocessing zeigt Abb. 3.4
Abb. 3.4: Kreis: Vernetzte Struktur
3.1.3 Randbedingungen
Abb. 3.5: Kreis: Aufgekrempelte Beulform
Die Randbedingungen beeinflussen das Verfor-
mungsverhalten der Struktur. Ohne die richtige Wahl
der Randbedingungen tritt das zu untersuchende
Beulverhalten nicht auf. Auf den ersten Blick reicht
eine Belastung der oberen Knotenreihe und eine ver-
tikale Unverschieblichkeit in der unteren Knotenrei-
he. Mit dieser sehr einfachen Randbedingung kann
ANSYS keine kritische Last und keine Beulform fin-
den. Der Zylinder verdreht sich nur in Umfangs-
richtung (ZAchse) und wird vertikal zusammenge-
staucht. Wählt man die Randbedingung mit Unver-
schieblichkeit UZ, tritt eine andere Erscheinung auf.
Die Struktur krempelt sich an den Zylinderenden auf,
wie Abb. 3.5 veranschaulicht.
Um die einfachste Randbedingung, die dem Zu-
stand des unendlich langen Sechseckzylinders ent-
spricht, zu definieren, muss zusätzlich noch die Ro-
tation um die ZAchse verhindert werden. Dadurch
wird gewährleistet, dass die Struktur an der Stelle der
Krafteinleitung und der vertikalen Auflagerung auch wirklich tangential zur Kraft bzw. Auflagerrichtung
bleibt. Dabei muss beachtet werden, dass die Randbedingungen am oberen und am unteren Rand der Struk-
tur gleich sind, ausgenommen der vertikalen Unverschieblichkeit.
Diplomarbeit
Alexander Bruns
15
3.1. NUMERISCHES MODELL
Die einfachste Randbedingung, bei der die gewünschte Beulform auftritt, ist die Randbedingung RB01 wie
Abb. 3.6 zeigt.
(a) oben
(b) unten
Abb. 3.6: Kreis: Randbedingung RB01
Die Randbedingung wird in ANSYS genau wie die Belastung im SolutionTeil angegeben:
! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
! S O L U T I O N A N F A N G
! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
! S T A T I S C H E B E R E C H N U N G A N F A N G
! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
/ S O L U
! - - - - - - - - - -
! G e n e r i e r u n g der A u f l a g e r
! - - - - - - - - - -
! O b e r e K n o t e n r e i h e
CMSEL , S , C M _ Z 1 _ D E C K E K N O T E N
D , ALL , , , , , , ROTZ , , , , ,
D , ALL , , , , , , UZ , , , , ,
! K n o t e n in d i e s e r E b e n e a n e i n a n d e r K o p p e l n
CP , 1 , UY , all
! U n t e r e K n o t e n r e i h e
CMSEL , S , C M _ Z 1 _ B O D E N K N O T E N
D , ALL , , , , , , ROTZ , , , , ,
D , ALL , , , , , , UZ , , , , ,
D , ALL , , , , , , UY , , , , ,
Zusätzlich zu den einzelnen Randbedingungen werden alle Knoten in der oberen Ebene aneinander gekoppelt.
Das bedeutet, dass sich die Knoten in dieser Ebene alle gleichförmig vertikal verschieben und somit dem
Verhalten der unendlich langen Struktur entsprechen.
Zusätzlich zu der Randbedingung RB01 wurden noch zwei weitere untersucht. Bei Randbedingung RB02
wird zusätzlich die Verdrehung um die XAchse und bei RB03 zusätzlich die Verdrehung um die YAchse
verhindert. Diese Randbedingungen zeigen Abb. 3.7 und Abb. 3.8.
Die Randbedingung RB02 wird in ANSYS wie folgt definiert:
! - - - - - - - - - -
! G e n e r i e r u n g der A u f l a g e r
! - - - - - - - - - -
! O b e r e K n o t e n r e i h e
CMSEL , S , C M _ Z 1 _ D E C K E K N O T E N
D , ALL , , , , , , ROTX , , , , ,
D , ALL , , , , , , ROTZ , , , , ,
D , ALL , , , , , , UZ , , , , ,
! K n o t e n in d i e s e r E b e n e a n e i n a n d e r K o p p e l n
CP , 1 , UY , all
! U n t e r e K n o t e n r e i h e
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16
3.1. NUMERISCHES MODELL
CMSEL , S , C M _ Z 1 _ B O D E N K N O T E N
D , ALL , , , , , , ROTX , , , , ,
D , ALL , , , , , , ROTZ , , , , ,
D , ALL , , , , , , UZ , , , , ,
D , ALL , , , , , , UY , , , , ,
(a) oben
(b) unten
Abb. 3.7: Kreis: Randbedingung RB02
Die Randbedingung RB03 wird in ANSYS wie folgt definiert:
! - - - - - - - - - -
! G e n e r i e r u n g der A u f l a g e r
! - - - - - - - - - -
! O b e r e K n o t e n r e i h e
CMSEL , S , C M _ Z 1 _ D E C K E K N O T E N
D , ALL , , , , , , ROTX , , , , ,
D , ALL , , , , , , ROTY , , , , ,
D , ALL , , , , , , ROTZ , , , , ,
D , ALL , , , , , , UZ , , , , ,
! K n o t e n in d i e s e r E b e n e a n e i n a n d e r K o p p e l n
CP , 1 , UY , all
! U n t e r e K n o t e n r e i h e
CMSEL , S , C M _ Z 1 _ B O D E N K N O T E N
D , ALL , , , , , , ROTX , , , , ,
D , ALL , , , , , , ROTY , , , , ,
D , ALL , , , , , , ROTZ , , , , ,
D , ALL , , , , , , UZ , , , , ,
D , ALL , , , , , , UY , , , , ,
(a) oben
(b) unten
Abb. 3.8: Kreis: Randbedingung RB03
Diplomarbeit
Alexander Bruns
17
3.1. NUMERISCHES MODELL
Die Definition der Belastung geschieht im SolutionTeil der Berechnung. Hier wird eine Last der Größe eins
auf die Knoten der obersten Ebene gegeben. Die einsLast wird durch die Anzahl der Knoten dividiert. Da
bei der Lösung der Matrix und der Beulberechnung die Beullast als ein Vielfaches der hier definierten Last
angegeben wird, erhält man aus der Berechnung auf diesem Wege direkt die absolute Größe der Beullast.
Die Last wird in ANSYS wie folgt definiert:
! - - - - - - - - - -
! G e n e r i e r u n g der B e l a s t u n g
! - - - - - - - - - -
! O b e r e K n o t e n r e i h e
CMSEL , S , C M _ Z 1 _ D E C K E K N O T E N
* GET , T _ K N O T E N A N Z A H L , NODE , 0 , C O U N T
!* SET , T _ K R A F T P R O K N O T E N , 1 0 0 0 * ( 1 * 2 * pi * V _ Z _ R A D I U S ) / T _ K N O T E N A N Z A H L
* SET , T _ K R A F T P R O K N O T E N , 1/ T _ K N O T E N A N Z A H L
F , ALL , FY , - T _ K R A F T P R O K N O T E N
Die fertigen Randbedingungen RB01 am Kreiszylinder zeigt Abb. 3.9.
Abb. 3.9: Kreis: Randbedingung RB01 an Knoten
3.1.4 Berechnung
Nachdem das Netz generiert wurde und Randbedingungen und Lasten definiert sind, werden in zwei Schrit-
ten die Beullasten und zugehörigen Beulformen berechnet. Im ersten Schritt wird eine statische Berechnung
durchgeführt und die Reaktionen der Struktur unter der einsBelastung ermittelt.
! - - - - - - - - - -
! L ö s e n des G l e i c h u n g s s y s t e m s
! - - - - - - - - - -
/ S O L U
ANTYPE , S T A T I C
/ STATUS , SOLU
S O L V E
F I N I S H
Im zweiten Schritt werden von ANSYS die Eigenwerte der Matrix aus dem ersten Schritt und damit die
kritischen Beullasten iterativ ermittelt. Die zugehörigen Eigenformen bilden die Beulformen.
! - - - - - - - - - -
! B e r e c h n u n g der E i g e n v e k t o r e n
! - - - - - - - - - -
/ S O L U
ANTYPE , B UCKLING , NEW
! B e u l a n a l y s e
NSUBST , V _ Z _ N S U B S T
! mit Z w i s c h e n s c h r i t t e n
PSTRES , ON
BUCOPT , LANB , V _ Z _ B E U L F O R M E N
S O L V E
F I N I S H
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18
3.1. NUMERISCHES MODELL
! - - - - - - - - - -
! A u s g e b e n der B e u l f o r m e n
! - - - - - - - - - -
/ S O L U
EXPASS , ON
MXPAND , V _ Z _ B E U L F O R M E N
S O L V E
F I N I S H
3.1.5 Ausgabe
Im letzten Teil der Untersuchung, dem Postprocessing in ANSYS, werden automatisch die Beulformen in drei
Ansichten als Grafik exportiert. Dabei wird eine Schleife über die berechnete Anzahl an Beulformen durchlau-
fen:
! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
! G N E R A L P O S T P R O C A N F A N G
! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
/ P O S T 1
! - - - - - - - - - -
! GRAFIK - A u s g a b e der B e u l f o r m e n
! - - - - - - - - - -
* DO , i , 1 , V _ Z _ B E U L F O R M E N , 1
! i - te B e u l f o r m e i n l e s e n
SET , 1 , i
! EPS - G r a f i k F r o n t
/ GFILE ,800
/ SHOW , PNG
PNGR , COMP , ON
PNGR , ORIENT , H o r i z o n t a l
PNGR , COLOR ,2
/ VIEW ,1 , , ,1
/ ANG ,1
/ AUTO ,1
! B e u l f o r m a n z e i g e n
PLDISP ,0
/ G F I L E
! EPS - G r a f i k Top
/ GFILE ,800
/ SHOW , PNG
PNGR , COMP , ON
PNGR , ORIENT , H o r i z o n t a l
PNGR , COLOR ,2
/ VIEW ,1 , ,1
/ ANG ,1
/ REP , F A S T
/ G F I L E
! EPS - G r a f i k 3 D
/ GFILE ,800
/ SHOW , PNG
PNGR , COMP , ON
PNGR , ORIENT , H o r i z o n t a l
PNGR , COLOR ,2
/ AUTO ,1
/ VIEW ,1 ,1 ,1 ,1
/ ANG ,1
/ AUTO ,1
/ REP , F A S T
/ G F I L E
* E N D D O
! W i e d e r auf B i l d s c h i r m a n z e i g e w e c h s e l n
/ SHOW , T E R M
F I N I S H
! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
! G N E R A L P O S T P R O C E N D E
! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
Diplomarbeit
Alexander Bruns
19
3.2. ERGEBNISSE DER BERECHNUNGEN
3.2 Ergebnisse der Berechnungen
Das zuvor dargestellte numerische Modell dient zur Untersuchung und Berechnung in Form von diversen Pa-
rameterstudien. In einem ersten Schritt wird die Elementgröße variiert und der Einfluss auf die Genauigkeit der
Berechnung bestimmt. Daran anschließend werden die Höhe des Zylinders und die Wandstärke variiert und der
Einfluss auf die kritische Last bestimmt. Als letzte Untersuchung wird der Einfluss von Imperfektionen vor der
Belastung des Kreiszylinders analysiert.
3.2.1 Variation der Elementgröße
Die Elementgröße bestimmt, wie fein und genau das Netz über die Struktur gelegt wird. Diese Untersuchung
dient dazu herauszufinden, ab welcher Genauigkeit die Berechnung brauchbare Ergebnisse liefert. Die Ele-
mentgröße wurde von 1
,00mm bis 50,00mm verändert. Dabei war die Berechnung mit dem Wert 1,00mm
nicht möglich, da die maximale Grenze der erlaubten Knoten von 512
.000
18
überschritten wurde. Die Kurve
in Abb. 3.10(a) steigt stark an. Erst ab einer Elementgröße von 6
,00mm bis 5,00mm ändert sich die Größe der
berechneten kritischen Last nicht mehr merklich. Die Treppen in der Kurve sind durch den Umstand begründet,
dass ANSYS bei sehr großen Elementen nicht bei jeder Verfeinerung unbedingt mehr Elemente und Knoten
benutzt. Erst ab einer Elementgröße von 20
,00mm ist jede Berechnung unterschiedlich.
In Abb. 3.10(b) ist die Größe der berechneten kritischen Beullast jeweils durch den Wert der bekannten
analytischen Lösung dividiert. Bei einer Elementgröße von 5
,00mm erhält man eine
¨
U bereinstimmung
=
4
.925.356N
4
.991.118N
= 0,9868 ^= 98,7%
2.000.000
2.500.000
3.000.000
3.500.000
4.000.000
4.500.000
5.000.000
0
10
20
30
40
50
Elementgröße
P
cr [N
]
rb01
rb02
rb03
(a) als Absolutwert
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0
10
20
30
40
50
Elementgröße
P/
Pc
r
[
-]
rb01
rb02
rb03
(b) normiert auf den analytischen Wert
Abb. 3.10: Kreis: Kritische Beullast nach Elementgröße
Durch diese große Übereinstimmung kann davon ausgegangen werden, dass das numerische Modell brauch-
bar für diese Untersuchung ist. Die Übereinstimmung der Kurven der drei aufgegebenen Randbedingungen
zeigt darüber hinaus, dass der Kreiszylinder weitestgehend unabhängig gegenüber den Verhältnissen am Rand
ist. Dies zeigen auch die Beulformen, die ANSYS zugehörig zu den Beullasten findet. Bei allen drei Randbe-
dingungen ist die erste Beulform gleich der erwarteten ,,Baumkuchenform". Die folgenden Beulformen sind
dieser sehr ähnlich und liegen mit den zugehörigen Beullasten alle sehr nahe beieinander.
18
Fehlermeldung: The maximum number of nodes that this version of ANSYS supports ( 512000 ) has been exceeded. Contact your
ANSYS support person for more information
Diplomarbeit
Alexander Bruns
20
3.2. ERGEBNISSE DER BERECHNUNGEN
Die Beulformen nach der ersten sind jedoch nur theoretische Formen, da sie zu Beullasten gehören, die grö-
ßer sind als die erste und kleinste kritische Last. Wegen des instabilen Nachbeulverhaltens des Kreiszylinders
können diese Lasten nicht erreicht werden und die zugehörigen Formen können nicht auftreten. Die Struktur
bricht beim Erreichen der kritischen Last zusammen.
(a) Front
(b) Aufsicht
(c) 3DAnsicht
Abb. 3.11: Kreis: Erste Beulform, RB01
Eine Übersicht über die weiteren vier Beulformen und die jeweils fünf Beulformen zu den Randbedingungen
RB02 und RB03 ist in Abb. C.1(a) bis Abb. C.14(c) im Anhang C aufgeführt.
3.2.2 Variation der Höhe
Bei dieser Untersuchung wird der Einfluss der Höhe des Zylinders auf die kritische Last behandelt. Die Höhe
wird nicht absolut variiert sondern die Anzahl der Beullängen l
x
bestimmt. Um eine möglichst genaue Aussage
zu erhalten, werden die Zylinder mit einer Elementgröße von 5
,00mm vernetzt. Dadurch ist das Netz auf
dem Zylinder bei einer sehr großen Höhe sehr fein und die Knotenanzahl sehr groß. Es werden Zylinder aus
1
,00 bis 40,00 ganzen Wellenlängen untersucht, da in diesem Bereich ein sinnvolles Verhältnis aus benötigter
Rechenzeit und erhaltener Aussage liegt. Die Berechnung des Kreiszylinders aus 40
,00 Wellenlängen dauert
allein bereits mehr als 18 Stunden.
0
1.000.000
2.000.000
3.000.000
4.000.000
5.000.000
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Höhe [Anzahl der Wellenlängen]
P
cr [N
]
Abb. 3.12: Kreis: Absolute kritische Beullast nach Zylinderhöhe
Es zeigt sich, dass die Größe der kritischen Last weitgehend unabhängig von der Länge des Zylinders ist.
Dieses wird auch durch die aus der analytischen Behandlung von unendlich langen Kreiszylindern bekannten
Aussagen und Ergebnisse untermauert.
Diplomarbeit
Alexander Bruns
21
3.2. ERGEBNISSE DER BERECHNUNGEN
Die Beulformen ergeben sich genauso wie beim zuvor untersuchten Kreiszylinder aus nur vier Wellenlängen.
Die ,,Baumkuchenform" stellt sich in der Wellenlänge der doppelten Beullänge ein und sieht bei einem aus 20
·l
x
bestehenden Kreiszylinder wie eine Ziehharmonika aus:
(a) Front
(b) Aufsicht
(c) 3DAnsicht
Abb. 3.13: Kreis: Erste Beulform eines hohen Zylinders, RB01
Eine Übersicht der weiteren vier Beulformen ist in Abb. C.15(a) bis Abb. C.18(c) im Anhang C aufgeführt.
3.2.3 Variation der Wandstärke
Bei der Variation der Wandstärke wird der gleiche Kreiszylinder wie in Kapitel 3.2.1 gewählt. Durchmesser und
Höhe bleiben unverändert, nur das Verhältnis r/t wird variiert. Um eine möglichst genaue Aussage zu erhalten,
werden auch hier die Zylinder mit einer Elementgröße von 5
,00mm vernetzt. Das Netz auf dem Zylinder ist bei
allen Berechnungen dieser Untersuchung gleich groß, da die Dicke des Zylinders, die durch das r/tVerhältnis
bestimmt wird, nur in der Definition des Elementes berücksichtigt wird. Alle Berechnungen benötigen die glei-
che Zeit. Dabei wird das r/tVerhältnis von 1
,00 bis 400,00 variiert. Obwohl der Wert des r/tVerhältnisses
linear gesteigert wird und auch in ANSYS bei jeder Berechnung die Elementanzahl, Knotenanzahl, Rand-
bedingungen und die Größe der Matrix gleich bleiben und die Variation nur eine lineare Veränderung eines
Kennwertes des Elementes darstellt, ist das Ergebnis nicht linear:
0
100.000.000
200.000.000
300.000.000
400.000.000
500.000.000
600.000.000
0
50
100
150
200
250
300
350
400
r/t
P
cr [N
]
rb01
rb03
(a) Übersicht
0
25.000.000
50.000.000
75.000.000
100.000.000
125.000.000
150.000.000
20
30
40
50
60
70
80
90
100
r/t
P
cr [N
]
rb01
rb03
(b) Ausschnitt
Abb. 3.14: Kreis: Absolute kritische Beullast nach Wandstärke
Je geringer das r/tVerhältnis wird, je dicker also die Wandstärke ist, desto mehr Last kann der Zylinder
aufnehmen. Dabei steigt die kritische Last logarithmisch an.
Diplomarbeit
Alexander Bruns
22
3.2. ERGEBNISSE DER BERECHNUNGEN
3.2.4 Imperfektionsempfindlichkeit
Bei den bisherigen Untersuchungen kann das in Kapitel 3.1 vorgestellte Modell angewendet werden. Es werden
nur die entsprechenden Werte bei der Durchführung der Parameterstudien variiert. Da das Modell so program-
miert ist, dass Imperfektionen aufgegeben werden können, indem das SolidModel imperfekt generiert wird,
reicht das Modell auch für die Untersuchung der Imperfektionsempfindlichkeit. Dies ist aber nur deshalb eine
richtige Annahme, da die Beulform bereits bekannt ist.
Sollen auf die Geometrie vor der Berechnung Imperfektionen aufgegeben werden, so kann dieses auf zwei
Arten geschehen. Das SolidModel kann zum einen imperfekt generiert werden. Diese Möglichkeit bietet be-
reits das vorhandene numerische Modell. Eine zweite Möglichkeit ist ein perfektes Modell durchzurechnen.
Dieses wird dann in einer erneuten Berechnung geladen und die Geometrie wird durch die zuvor berechnete
Beulform ersetzt. Hierbei ist die maximale Auslenkung in der Beulform schon auf den Wert eins normiert, so
dass der Faktor beim Updaten der Geometrie gleich der zu berechnenden Imperfektion entspricht.
Bei dieser Untersuchung werden Imperfektionen auf den Zylinder aufgegeben und eine erneute Berechnung
der kritischen Last durchgeführt. Dabei wird die Imperfektion
in Abhängigkeit von der Wandstärke t ausge-
drückt. Eine Imperfektion von eins bedeutet, dass die Form an einer Stelle maximal in der Größe der Blechdicke
ausgelenkt ist.
Der Weg über das Updaten der Geometrie ist vorzuziehen, da meistens die Form der Beulform nicht bekannt
ist und von dieser Form unabhängig ist. Die Änderungen an der Eingabedatei von ANSYS werden nun kurz
angegeben.
Die Vorgehensweise dabei sieht wie folgt aus:
1. Laden der Ergebnisse der Berechnung der perfekten Form.
2. Berechnen des Faktors für das GeometrieUpdate.
3. Updaten der Geometrie.
! B e g i n n
RESUME , r b 0 1 _ S H E L L 6 3 _ a i 0 . 0 0 0 1 _e05 .00 , db , , 0 ,
!/ F I L N A M E , r b 0 1 _ S H E L L 6 3 _ i 0 . 0 0 0 1 _ e 0 5 .00 ,0
/ TITLE , r b 0 1 _ S H E L L 6 3 _ i 0 . 0 0 0 1 _e05 .00
! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
! F e s t l e g e n der F a r b e n f u e r Grafik - E x p o r t
! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
/ RGB , INDEX ,100 ,100 ,100 , 0
! fuer S c h w a r z auf W e i s s
/ RGB , INDEX , 80 , 80 , 80 ,13
! fuer S c h w a r z auf W e i s s
/ RGB , INDEX , 60 , 60 , 60 ,14
! fuer S c h w a r z auf W e i s s
/ RGB , INDEX , 0 , 0 , 0 ,15
! fuer S c h w a r z auf W e i s s
/ RGB , INDEX ,60 ,90 ,90 ,4
! F a r b e der D e f o r m e d S h a p e
! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
! F e s t l e g e n und B e r e c h n e n von V a r i a b l e n
! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
! - - - - - - - - - - E i n g a n g s w e r t e
! E i n h e i t e n : mm , N
* SET , V _ Z _ R A D I U S , 250
! R a d i u s des Z y l i n d e r s in mm
* SET , V _ Z _ D I C K E N V E R H A E L T N I S , 100
! R / t = V _ Z _ D I C K E N V E R H A E L T N I S
* SET , V _ Z _ B E U L F O R M E N , 5
! A n z a h l der B e r e c h n e t e n B e u l f o r m e n
* SET , V _ Z _ N S U B S T , 5
! A n z a h l der Z w i s c h e n s c h r i t t e bei der B e r e c h n u n g
* SET , V _ Z _ I M P E R F E K T I O N , 0 . 0 0 0 1
! B e s t i m m t die m a x i m a l e V e r s c h i e b u n g der I m p e r f e k t e n F o r m
! - - - - - - - - - - S t a n d a r d w e r t e
* SET , NUE , 0.3
* SET , PI , 2* ASIN (1)
! - - - - - - - - - - V a r i a b l e n b e r e c h n u n g
* SET , Z _ W A N D D I C K E , V _ Z _ R A D I U S / V _ Z _ D I C K E N V E R H A E L T N I S
* SET , Z _ U P G E O M F A K T O R , V _ Z _ I M P E R F E K T I O N * Z _ W A N D D I C K E
* SET , Z _ A N A L Y T I S C H E _ L A S T , (( V _ Z _ E M O D U L * Z _ W A N D D I C K E **2) *2* PI ) /( SQRT (3*(1 - NUE **2) ) )
! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
! P R E P R O Z E S S O R A N F A N G
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/ P R E P 7
! I m p e r f e k t e F o r m d u r c h B e u l f o r m a u f b r i n g e n
UPGEOM , Z _ U P G E O M F A K T O R , 1 , 3 , r b 0 1 _ S H E L L 6 3 _ a i 0 . 0 0 0 1 _ e 0 5 .00 , rst ,
Diplomarbeit
Alexander Bruns
23
3.2. ERGEBNISSE DER BERECHNUNGEN
Danach ist eine imperfekte Geometrie mit den gleichen Randbedingungen und Lasten wie in der vorherge-
henden Berechnung vorhanden. Es folgen die bekannten Schritte wie bei der Lösung des Gleichungssystems,
Berechnung der Beullast und Beulform sowie Ausgabe der Grafiken.
In Abb. 3.15 ist die kritische Last in Abhängigkeit der Last der perfekten Form aufgetragen. Das Ergebnis
dieser Untersuchung liefert für alle drei Randbedingungen die gleiche Aussage. Auch sind die Ergebnisse aus
der Berechnung mit imperfektem SolidModel und aus dem Weg über das GeometrieUpdate identisch. Die
Kreiszylinderstruktur ist empfindlich gegenüber Imperfektionen. Bereits ab einer Imperfektion in der Größen-
ordnung der einfachen Blechdicke beträgt die kritische Last nur noch 20 % der Last der perfekten Struktur:
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
Imperfektion /t
P/Pcr
rb01
rb02
rb03
Abb. 3.15: Kreis: Normierte kritische Beullast nach Imperfektion
Die Spitzen in der Kurve können wie folgt begründet und gedeutet werden: Brush und Almroth geben für
den Kreiszylinder unter axialer Belastung eine analytische Lösung
19
an, in der der Eigenwert, der die kritische
Last repräsentiert, abhängig ist von einem Paar natürlicher Parameter m und n.
P
Cr
2
· · r
=
(m
2
+ n
2
)
2
m
2
·
D
r
2
+
m
2
(m
2
+ n
2
)
2
· (1 -
2
) ·C
(3.5)
mit
C
=
E
·t
(1 -
2
)
(3.6)
und
D
=
E
·t
3
12
· (1 -
2
)
(3.7)
Danach ist jeweils der kleinste Eigenwert der Wert der kritischen Last, welcher aus Kombinationen von m
und n gebildet werden kann. In der Kurve, die aus den Berechnungen resultiert, sind die spitzen Berge Punkte,
an denen der relevante kleinste Eigenwert sich aus einer anderen Kombination von m und n ergibt.
19
vgl. Brush und Almroth siehe [1], Seite 167, Kapitel 5.5b
Diplomarbeit
Alexander Bruns
24
Ende der Leseprobe aus 171 Seiten
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Details
- Arbeit zitieren
- , 2004, Numerische Untersuchung zum Tragverhalten von dünnwandigen, zylindrischen, zellulären Strukturen unter axialer Belastung, Hamburg, Bedey Media GmbH, https://www.diplom.de/document/224144
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