ID 8043
Maisenhälder, Friedrich: Numerische Optimierung des Shortfall-Risikos von Aktienportfolios
am Beispiel des Value at risk
Hamburg: Diplomica GmbH, 2004
Zugl.: FernUniversität - Gesamthochschule Hagen, Diplomarbeit, 2003
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Diplomica GmbH
http://www.diplom.de, Hamburg 2004
Printed in Germany
Numerische Optimierung des Shortfall Risikos von Aktienportfolios am Beispiel des Value at Risk
II
INHALTSVERZEICHNIS
1 EINFÜHRUNG... 1
1.1
E
NTWICKLUNG DER
P
ORTFOLIOTHEORIE
... 1
1.2
D
AS KLASSISCHE
S
ELEKTIONSMODELL VON
M
ARKOWITZ
... 1
1.2.1
Effiziente Portfolios ... 2
1.3
W
ICHTIGE
E
RWEITERUNGEN DES
A
NSATZES VON
M
ARKOWITZ
... 4
1.3.1
Kapitalmarktlinie und Tobin Separation ... 4
1.3.2
CAPM ... 5
1.4
K
RITISCHE
B
ETRACHTUNG DES KLASSISCHEN
P
ORTFOLIOMODELLS
... 6
2 VERTEILUNG DER PORTFOLIORENDITE UND RISIKO ... 6
2.1
E
INFACHE VERSUS
L
OG
-R
ENDITE
... 6
2.2
S
TATIONÄRE
Z
EITREIHEN UND
A
UTOKORRELATION
... 8
2.2.1
Stationarität ... 8
2.2.2
Autokorrelation... 9
2.3
N
ORMALVERTEILTE
R
ENDITEN UND STATIONÄRER
R
ENDITEPROZESS AM
B
EISPIEL
VON
A
KTIENRENDITEN IN DER
E
MPIRIE
... 10
2.3.1
Die Normalverteilungsannahme für tägliche Renditen... 10
2.3.2
Stationärer Renditeprozess ... 12
2.4
Q
UANTIFIZIERUNG DES
R
ISIKOS
... 16
2.4.1
Klassifizierung des quantitativen Risikobegriffs... 16
2.4.2
Renditestreuung (Volatilität) ... 16
2.4.3
Value at Risk (VaR)... 17
2.4.4
Conditional Value at Risk (CVaR)... 19
3 PORTFOLIOOPTIMIERUNG MIT HILFE DER
KERNDICHTESCHÄTZUNG ... 21
3.1
K
ONSTRUKTION VON
K
ERNDICHTESCHÄTZERN
... 22
3.2
E
RMITTLUNG DER OPTIMALEN
B
ANDBREITE IM UNIVARIATEN
F
ALL
... 24
3.2.1
Bandbreitenschätzung bei Kenntnis der Verteilung der Grundgesamtheit.. 24
3.2.2
Bandbreitenschätzung bei Unkenntnis der zugrundeliegenden Verteilung.. 26
3.3
A
NWENDUNG IN DER
P
ORTFOLIOOPTIMIERUNG
... 27
3.3.1
Optimierungsmodell... 27
3.3.2
Optimierungsalgorithmus ... 29
3.3.3
Erweiterungsmöglichkeiten und kritische Anmerkungen... 32
4 PORTFOLIOOPTIMIERUNG MIT HILFE
COMPUTERGESTÜTZTER SIMULATION ... 33
4.1
S
TOCHASTISCHE
D
IFFERENTIALGLEICHUNGEN
(SDGL)... 34
4.2
W
ERTPAPIERKURS UND
W
ERTPAPIERRENDITE ALS
I
TÔ
P
ROZESS
... 36
4.2.1
Geometrisch Brownsche Bewegung (GBB) ... 37
4.2.2
CEV Diffusions Modell ... 38
4.3
N
UMERISCHE
A
PPROXIMATION VON STOCHASTISCHEN
D
IFFERENTIALGLEICHUNGEN
... 38
4.3.1
Starke zeitdiskrete Approximation ... 39
4.3.2
Effizienz der zeitdiskreten Approximation ... 40
4.3.3
Ausgewählte Numerische Lösungsverfahren zur zeitdiskreten Approximation
40
4.3.4
Vergleich der vorgestellten zeitdiskreten Approximationen ... 43
4.4
S
IMULATION KORRELIERTER STOCHASTISCHER
D
IFFERENTIALGLEICHUNGEN
... 44
4.5
P
ARAMETERSCHÄTZUNG
... 46
4.5.1
Parameterschätzung - multivariate GBB... 47
4.5.2
Parameterschätzung multivariater CEV Diffusionsprozess... 48
4.6
E
INSATZ IN DER
P
ORTFOLIOOPTIMIERUNG
... 51
5 EMPIRISCHE ANALYSE DER PORTFOLIOOPTIMIERUNG . 51
5.1
V
EREINFACHTER
O
PTIMIERUNGSANSATZ
... 53
5.2
P
ARAMETERSCHÄTZUNG IM MULTIVARIATEN
GBB
UND
CEV M
ODELL
... 53
5.3
V
ERGLEICH DER
P
ORTFOLIOOPTIMIERUNGSMETHODEN
... 55
5.4
Z
USAMMENFASSUNG UND
A
USBLICK
... 60
Numerische Optimierung des Shortfall Risikos von Aktienportfolios am Beispiel des Value at Risk
III
ANHANG
A. LITERATURVERZEICHNIS...i
B. ERGÄNZENDE
TABELLEN...ii
B.1
Auflistung untersuchter Wertpapiere der Karlsruher Kapitalmarkt-
datenbank...ii
B.2 Statistische Kennzahlen der Wertpapiere in Tabelle B.1...ii
B.3
Autokorrelationen der Wertpapiere in Tabelle B.1...iii
B.4 Werte der KPSS- und (A)DF-Teststatistik für die täglichen Log- Renditen der
Wertpapiere aus Tabelle B.1...iii
B.5
Simulation der GBB dS = µSdt +
SdW mit verschiedenen numerischen
Lösungstechniken...iii
B.6
Wert der Test-Statistik für den Test von Bera und Jarque einfacher Renditen der
im Rahmen der Portfolioanalyse untersuchten Wertpapiere bei Anlagezeitraum 1
Tag und 30 Tage ... iv
B.7
Werte der KPSS- und (A)DF-Teststatistik für die 30 Tages Log-Renditen ... iv
B.8
Werte der ML Parameter-Schätzer bei Annahme einer bivariaten Geometrisch
Brownschen Bewegung ... iv
B.9
Werte der ML Parameter-Schätzer bei Annahme eines bivariaten CEV -
Prozesses ... iv
B.10 Verteilungsparameter und Zusammensetzung des ,,Minimale-Varianz-
Portfolios" bei Anlagezeitraum = 1 Tag ... v
B.11 Verteilungsparameter und Zusammensetzung des ,,Minimale-Varianz-
Portfolios" bei Anlagezeitraum = 30 Tage... v
B.12 Minimales VaR und minimales CVaR Portfolio (Konfidenz=99%) auf Basis der
Kerndichteschätzung bei einem Anlagebetrag von 100.000 GE und
Anlagezeitraum = 1 Tag ... vi
B.13 Minimales VaR und minimales CVaR Portfolio (Konfidenz=99%) auf Basis der
Kerndichteschätzung bei einem Anlagebetrag von 100.000 GE und
Anlagezeitraum = 30 Tage ... vi
B.14 Minimales VaR und minimales CVaR Portfolio (Konfidenz=99%) auf Basis der
bivariaten GBB (Parameter siehe Tabelle B.8) bei einem Anlagebetrag von
100.000 GE und Anlagezeitraum = 1 Tag ... vi
B.15 Minimales VaR und minimales CVaR Portfolio (Konfidenz=99%) auf Basis der
bivariaten GBB (Parameter siehe Tabelle B.8) bei einem Anlagebetrag von
100.000 GE und Anlagezeitraum = 30 Tage ... vi
B.16 Minimales VaR und minimales CVaR Portfolio (Konfidenz=99%) auf Basis des
bivariaten CEV - Modells (Parameter siehe Tabelle B.9) bei einem
Anlagebetrag von 100.000 GE und Anlagezeitraum = 1 Tag... vii
B.17 Minimales VaR und minimales CVaR Portfolio (Konfidenz=99%) auf Basis der
bivariaten CEV - Modells (Parameter siehe Tabelle B.9) bei einem
Anlagebetrag von 100.000 GE und Anlagezeitraum = 30 Tage ... vii
C. ERGÄNZENDE
INFORMATIONEN ...viii
C.1 Explizites eindimensionales Schema der Ordnung
= 1,50 ... viii
Numerische Optimierung des Shortfall Risikos von Aktienportfolios am Beispiel des Value at Risk IV
ANHANG
D. GRAFIKEN ...ix
D.1
Maximum - Likelihood Parameterschätzer im GBB Modell in Abhängigkeit
der Anzahl berücksichtigter Zeitpunkte (ohne Korrelationen) ... ix
D.2
Maximum - Likelihood Parameterschätzer im bivariaten CEV Modell in
Abhängigkeit der Anzahl berücksichtigter Zeitpunkte (ohne Korrelationen) ... x
D.3
Maximum - Likelihood Korrelationsschätzer im bivariaten GBB Modell in
Abhängigkeit der Anzahl berücksichtigter Zeitpunkte ... xii
D.4
Maximum - Likelihood Korrelationsschätzer im bivariaten CEV Modell in
Abhängigkeit der Anzahl berücksichtigter Zeitpunkte ... xii
D.5
Portfolio- und Effizienzlinie im Markowitz-Modell (Anlagezeitraum = 1 Tag)
... xiii
D.6
Portfolio- und Effizienzlinie im Markowitz-Modell (Anlagezeitraum = 30 Tage)
... xiii
D.7 VaR-/CVaR (Effizienz-)Linie aus Kerndichteschätzung historischer Daten
(Anlagezeitraum = 1 Tag... xiii
D.8 VaR-/CVaR (Effizienz-)Linie aus Kerndichteschätzung historischer Daten
(Anlagezeitraum = 30 Tage)... xiv
D.9 VaR-/CVaR (Effizienz-)Linie im bivariaten GBB - Simulationsmodell
(Anlagezeitraum = 1 Tag)... xiv
D.10 VaR-/CVaR (Effizienz-)Linie im bivariaten GBB - Simulationsmodell
(Anlagezeitraum = 30 Tage)...xv
D.11 VaR-/CVaR (Effizienz-)Linie im bivariaten CEV - Simulationsmodell
(Anlagezeitraum = 1 Tag)...xv
D.12 VaR-/CVaR (Effizienz-)Linie im bivariaten CEV - Simulationsmodell
(Anlagezeitraum = 30 Tage)...xv
E. CD-ROM (bitte mit Auto Kontakt aufnehmen)...xvi
F. Eidesstattliche
Versicherung...xvii
TABELLENVERZEICHNIS
Tabelle 1:
zeitliche Entwicklung der Portfolioansätze... 1
Tabelle 2:
Kritik des klassischen Portfoliomodells... 6
Tabelle 3:
ausgewählte (A)DF Tests... 13
Tabelle 4:
Änderung der kritischen Werte bei zusätzlicher Annahme von
=0 ... 14
Tabelle 5:
Ablehnungsbereiche des KPSS Tests ... 15
Tabelle 6:
Klassifikation des Risikobegriffs und Beispiele ... 16
Tabelle 7:
wichtige univariate Kernfunktionen... 23
Tabelle 8:
untersuchte Wertpapierkombinationen... 51
Tabelle 9:
Variation von erwarteter Rendite- und Risikoparameter bei Änderung
des Anlagezeitraums auf 30 Tage ... 56
Tabelle 10: relative absolute Abweichung der erwarteten Rendite des ,,minimalen
VaR Portfolios" von derjenigen des ,,minimalen Varianz
Portfolios" im Markowitz Modell... 58
Tabelle 11: relative Abweichung des VaR und CVaR der Simulationsverfahren vom
VaR und CVaR der Kerndichte - Schätz Methode ... 58
Tabelle 12: Stärken und Schwächen der untersuchten Optimierungsmethoden ... 61
DIAGRAMMVERZEICHNIS
Diagramm 1: Effizienzlinien im Markowitz Modell ... 4
Diagramm 2: Kapitalmarktlinie... 5
Diagramm 3: Kerndichteschätzung täglicher Log-Renditen... 12
Diagramm 4: Zusammenhang Verlustverteilung, VaR und CVaR ... 21
Diagramm 5: Konstruktion eines Kerndichteschätzers... 22
Diagramm 6: mittlerer absoluter Fehler und Effizienz numerischer Verfahren ... 43
Diagramm 7: Kerndichteschätzung für simuliertes Portfolio bei erwarteter Rendite
von ca. 11,58% p.a. ... 60
Numerische Optimierung des Shortfall Risikos von Aktienportfolios am Beispiel des Value at Risk
V
WICHTIGE SYMBOLE UND ABKÜRZUNGEN
logischer ,,UND" Operator
|x|
Betrag von x (absoluter Wert von x)
bzw beziehungsweise
CAPM
Capital Asset Pricing Model
Cov(X,Y) Kovarianz
zwischen
den Zufallsvariablen X und Y
CVaR
Conditional Value at Risk
CEV
Constant Elasticity of Variance
W(t)
Änderung des eindimensionalen Wiener Prozesses im
Zeitraum t bis t+
t
diag(x
1
,...x
a
)
Diagonalmatrix, mit x
ij
=0 für i
j und x
ii
=x
i
(i,j = 1,...,n)
det(A)
Determinante der Matrix A
ê
Vektor der Anlagepositionen; ê
n
I Einheitsmatrix
E(X)
Erwartungswert der Zufallsvariablen X
(x)
Wert der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung an
der Stelle x
(x)
Wert der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung an der
Stelle x
h
f)
Kerndichteschätzer bei Bandbreite h
f''(x)
zweite Ableitung von f nach x
GBB
Geometrisch Brownsche Bewegung
x
y
x konvergiert gegen y
x
a
x konvergiert gegen a und x > a
plim
limes in Wahrscheinlichkeit
Y
X
L
Verteilung von X konvergiert gegen Verteilung Y
iid
independent identical distributed(unabhängig identisch
verteilt)
A
-1
Inverse der Matrix A
KKMDB Karlsruher
Kapitalmarktdatenbank
K*K
Faltungsprodukt der Funktion K mit sich selbst
ln(x)
natürlicher Logarithmus von x
ML
Maximum - Likelihood
(x
ij
)
i,j=1,...,n
n
×
n Matrix mit den Elementen x
ij
MISE
Mean Integrated Square Error (integrierte mittlere
quadratische Abweichung
min minimiere
Menge der natürlichen Zahlen
NB Nebenbedingung(en)
N(µ,
)
Normalverteilung mit Erwartungswertvektor µ und
Kovarianzmatrix
, bzw. alternativ
N(µ,
²)
Normalverteilung mit Erwartungswert µ und Varianz
²
o.B.d.A.
ohne Beschränkung der Allgemeinheit
O(n
k
)
polynominelle Rechenkomplexität der Ordnung k (Landau
Operator)
x~
- Quantil des Vektors der Beobachtungen (x
1
,...,x
n
);
[0;1]
Menge der reellen Zahlen
Numerische Optimierung des Shortfall Risikos von Aktienportfolios am Beispiel des Value at Risk VI
WICHTIGE SYMBOLE UND ABKÜRZUNGEN
bzw.
(
·
) Kovarianzmatrix
SDGL stochastische
Differentialgleichung
=
n
i 1
,bzw.
i=1,...,n
Summen
-
Operator
(e
1
,...,e
n
)
T
Transponierte des Vektors(e
1
,...,e
n
)
A
T
Transponierte der Matrix A
VaR
Value at Risk
X~V
Zufallsvariable X besitzt die Verteilung V
vgl vergleiche
xr
Vektor
Var(X) Varianz
der
Zufallsvariablen X
WKN Wertpapierkennnummer
Menge der ganzen Zahlen
ZF Zielfunktion
z. B.
zum Beispiel
Numerische Optimierung des Shortfall Risikos von Aktienportfolios am Beispiel des Value at Risk
1
1 Einführung
1.1 Entwicklung der Portfoliotheorie
Die Portfoliotheorie hat sich über einen sehr langen Zeitraum entwickelt. So
steht z. B. in dem auf ca. 500 n. Chr. datierten jüdischen Talmud (hebr.
Lehre, Lernen) sinngemäß, dass das Vermögen zu jeweils einem Drittel in
,,Land, Geschäften und liquiden Mitteln" gestreut angelegt werden soll (vgl.
Spremann (2003), S. 24).
In diesem Grundsatz spiegeln sich bereits wichtige Elemente der Portfolio -
Theorie wieder:
(a)
die Aufteilung des Vermögens soll eine (hier statische und
deterministische) optimale Struktur besitzen;
(b) Vermögensobjekte müssen substituierbar sein, damit im Zeitablauf die
,,Drittel - Regel" eingehalten werden kann.
Die zeitliche Entwicklung der Portfoliotheorie kann wie folgt abgerissen
werden:
um 500 n. Chr.
Talmud
Naive Diversifikation, d. h.
Effekte der Diversifikation werden
weder statistisch noch quantitativ
untersucht
Renditeerwartung und Risiko
spielen keine Rolle
um 1934:
Graham
Selektion unterbezahlter Aktien
Unternehmensbewertung
durch Finanzanalyse notwendig
ab 1952:
klassische
Portfoliotheorie
Markowitz (1952),
Roy, Sharpe (1964),
Tobin (1958) u. a.
Risiko wird über
Renditestreuung gemessen;
Allokation des optimalen Port-
folios mit Hilfe von Methoden der
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Einzelanlagen werden durch
Verteilungsparameter
(Erwartungswert und Varianz)
der Renditen beschrieben
um 1990:
neuere Ansätze
Risikofaktoren wie z. B. Zins-
oder Währungsrisiken werden
berücksichtigt, Entwicklung von
Faktor Modellen, Kontrolle des
Risikos
Berücksichtigung von Sensi-
tivitäten des Kurses im
Hinblick auf Änderungen
zugrundeliegender
Risikofaktoren
Tabelle 1: zeitliche Entwicklung der Portfolioansätze (nach Spremann (2003), S. 25)
1.2 Das klassische Selektionsmodell von Markowitz
Das Portfolio Selektions Modell von Markowitz basiert auf der
Überlegung, dass die einfache Rendite einer Anlagemöglichkeit als
Zufallsvariable aufgefasst werden kann (Spremann (2003), S. 184 f.). Um
nicht besondere Risiko Kalküle bezüglich der Verteilung der einfachen
Numerische Optimierung des Shortfall Risikos von Aktienportfolios am Beispiel des Value at Risk
2
Rendite entwickeln zu müssen, wird bei Markowitz das Risiko als
Abweichung vom erwarteten Anlageergebnis definiert, wobei implizit von
normalverteilten Größen ausgegangen wird (Spremann (2003), S. 186).
Damit ist es ausreichend, sich auf Erwartungswert und Varianz der
einfachen Rendite zu konzentrieren. Dieser Ansatz hat unter
Berücksichtigung der statistischen Rechenregeln für die Varianz zur Folge,
dass die Renditestreuung eines Portfolios mit statischen Wertpapieranteilen
von folgenden Faktoren abhängt:
(a)
Streuung der Einzelrenditen der im Portfolio vorhandenen
Anlagemöglichkeiten;
(b) Korrelation der Anlagerenditen untereinander.
1.2.1 Effiziente Portfolios
Das optimale Portfolio im Sinne von Markowitz unter Berücksichtigung der
Risikoaversion von Anlegern ergibt sich aus der simultanen Betrachtung
von Risiko und Rendite. Dieses sogenannte ,,effiziente Portfolio" lässt sich
gemäß Schierenbeck (1989), S. 360 wie folgt qualitativ beschreiben:
Unter einem ,,effizienten Portfolio" versteht man eine Allokation von
Wertpapieren mit der Eigenschaft, dass es keine andere Allokation gibt,
die entweder bei gleichem Ertrag ein niedrigeres Risiko oder
bei gleichem Risiko einen höheren Ertrag oder
sowohl einen höheren Ertrag, als auch ein niedrigeres Risiko (absolute
Dominanz) besitzt.
Renditen sind in diesem Modell gemäß Spremann (2003), S. 184 einfache
Renditen, d. h. für zwei Zeitpunkte t
1
< t
2
und Anlagepreise S(t
1
), S(t
2
) ist
die einfache Rendite r(t
1
,t
2
) definiert durch (vgl. z. B. Franke, Härdle u.a.
(2001), S. 148):
(1.1)
)
(
)
(
)
(
)
,
(
1
1
2
2
1
t
S
t
S
t
S
t
t
r
-
=
Die mathematische Formulierung der Problemstellung ,,Ermittlung der
effizienten Portfoliorendite
" für einen Zeitraum der Dauer
t = t
2
t
1
> 0
stellt sich wie folgt dar (angelehnt an Schierenbeck (1989), S. 352 ff. und S.
358 ff., bzw. Spremann (2003), S. 188 ff.):
Numerische Optimierung des Shortfall Risikos von Aktienportfolios am Beispiel des Value at Risk
3
(1.2) Optimierungsproblem ,,Effizientes Portfolio":
ZF: min
=
=
=
N
i
N
j
ij
j
i
P
x
x
1
1
2
mit
ii
=
i
²
NB:
{
}
N
i
x
x
x
i
N
i
i
N
i
i
i
P
;...;
3
;
2
;
1
,
0
1
1
1
=
=
=
µ
µ
Dabei
ist
µ
P
die erwartete Mindest - Portfoliorendite;
P
² die Varianz
der Portfoliorendite;
µ
i
die erwartete Rendite von Anlagemöglichkeit
i;
i
² die Varianz der Anlagerendite i;
ij
die Kovarianz zwischen
Anlagerenditen i und j; x
i
relativer Wertanteil von Anlage-
möglichkeit i am Gesamtwert des Portfolios im Anlagezeitpunkt t
1
(x
i
[0;1]) und N
die Anzahl der Anlagemöglichkeiten. Dabei
ist zu beachten, dass die Varianz-, Kovarianz- und
Erwartungswertparameter von der Anlagedauer
t abhängen.
Da es sich um ein quadratisches Optimierungsproblem mit gemäß (4.26)
positiv semidefiniter Kovarianzmatrix (die gleichzeitig Hesse - Matrix von
P
² ist) und linearen Nebenbedingungen handelt (vgl. Horst (1999), S. 29 ff.
und S. 92 ff.), kann das Problem aufgrund seiner konvexen Struktur
gewöhnlich mit Hilfe der Kuhn Tucker Bedingungen gelöst werden.
In der folgenden Abbildung wird die grafische Lösung eines 2 Wertpapier
Problems für verschiedene Korrelationen
veranschaulicht.
Ausgangsdaten sind dabei
µ
1
= 5%;
1
= 6%;
µ
2
= 12%;
2
= 9%. Die
Effizienzlinien sind diejenigen Äste der Graphen der
µ
-
- Relationen,
welche oberhalb der eingezeichneten Trennlinie verlaufen, da dort bei
gegebenem Risiko
maximale Rendite möglich ist. Deutlich sichtbar ist der
Effekt, dass mit abnehmender Korrelation
(
-1) Risikoreduktion
durch Portfoliobildung möglich wird, so dass bei vollständig negativ
korrelierten Anlagemöglichkeiten (
= -1) ein Portfolio mit Null-Risiko
allokiert werden kann, welches mit 7,8% eine deutlich höhere Rendite als
die mit minimaler erwarteter Rendite ausgestattete riskante Anlage 1 besitzt.
Numerische Optimierung des Shortfall Risikos von Aktienportfolios am Beispiel des Value at Risk
4
Effizienzlinien für verschiedene Korrelationen
0,0000
0,0200
0,0400
0,0600
0,0800
0,1000
0,1200
0,1400
0,0000
0,0100
0,0200
0,0300
0,0400
0,0500
0,0600
0,0700
0,0800
0,0900
0,1000
Standardabweichung
R
endite
= +1,0
= +0,5
= 0,0
= -0,5
= -1,0
TRENNLINIE
NULL - Risiko -Portfolio
Diagramm 1: Effizienzlinien im Markowitz Modell
1.3 Wichtige Erweiterungen
des Ansatzes von Markowitz
Der bestechend einfache Ansatz von Markowitz wurde in der Folge von
diversen Autoren verfeinert. Die bekanntesten und wichtigsten
Abwandlungen sind diejenigen von James Tobin im Jahr 1958 und William
F. Sharpe im Jahr 1964.
1.3.1 Kapitalmarktlinie und Tobin Separation
Die Abwandlung von Tobin basiert auf der Überlegung risikobehaftete mit
risikolosen Anlagemöglichkeiten zu kombinieren (Spremann (2003), S. 208
ff.). Dies lässt sich im
µ
-
- Raum als Gerade darstellen. Damit nicht
ineffiziente Anlagemöglichkeiten gewählt werden, muss diese Gerade,
welche Kapitalmarktlinie (CML) genannt wird, den effizienten Rand der
risikobehafteten Anlagemöglichkeiten berühren. Der Berührungspunkt heißt
Marktportfolio und ist für alle Anleger identisch.
Damit wird eine Anlageentscheidung in zwei Schritte separiert (Tobin
Separation
):
1) Der einzelne Anleger identifiziert das Marktportfolio und
2) abhängig von den persönlichen Präferenzen, bzw. der Risikoaversion
wählt der Anleger seine Vermögensaufteilung in risikolose
Anlagemöglichkeit mit Rendite r* und risikobehaftetes Marktportfolio.
In der folgenden Grafik wird der Zusammenhang zwischen
Kapitalmarktlinie und effizienten Anlagemöglichkeiten verdeutlicht.
Insbesondere wird sichtbar, dass die CML oberhalb des effizienten Rands
Numerische Optimierung des Shortfall Risikos von Aktienportfolios am Beispiel des Value at Risk
5
der riskanten Wertpapierkombinationen verläuft und diese dominiert, da bei
gleichem Risiko die erwartete Rendite mindestens so hoch ist wie diejenige
auf dem effizienten Rand.
r
*
M
a
r
k
t
p
o
r
t
f
o
l
i
o
r
i
s
i
k
o
l
o
s
e
r
A
n
l
a
g
e
z
i
n
s
effizienter Rand
CML
Diagramm 2: Kapitalmarktlinie
1.3.2 CAPM
Das ,,Capital Asset Pricing - Modell" geht im wesentlichen auf die
Arbeiten von Sharpe, Lintner und Mossin zurück (Spremann (2003), S. 256
f.). Dabei wird unterstellt, dass sich das Risiko der Anlagerendite für den
Anlagehorizont der Dauer
t > 0 in einen systematischen und einen
unsystematischen Anteil aufspalten lässt (Spremann (2003), S. 255 f.). Das
unsystematische Risiko ist durch Diversifikation auflösbar, während dies
beim systematischen Risiko nicht möglich ist. Folglich muss das
systematische Risiko der Anlagemöglichkeit mit dem effizienten
Marktportfolio in Verbindung stehen:
(1.3)
)
1
(
,
,
M
i
i
M
i
i
i
-
+
=
;
Risiko = Systematisches +
Unsystematisches Risiko
(1.4)
i
i
i
r
r
µ
µ
-
+
=
)
(
*
mit dem Beta-Faktor
(1.5)
M
M
i
i
i
,
=
.
Dabei ist
µ
i
die erwartete Rendite von Anlagemöglichkeit i;
i
die
Standardabweichung der Rendite von Anlagemöglichkeit i;
i,M
der
Korrelationskoeffizient zwischen Anlagerendite i und der
Marktportfoliorendite und r
*
der risikolose Zins. Alle Parameter sind
abhängig von der Anlagedauer
t.
Numerische Optimierung des Shortfall Risikos von Aktienportfolios am Beispiel des Value at Risk
6
Also misst
i
das systematische Risiko von Anlagemöglichkeit i als Anteil
am Marktrisiko. Die Beziehungen (1.3) bis (1.5) müssen für alle
Anlagearten eines Portfolios gelten.
1.4 Kritische Betrachtung
des
klassischen Portfoliomodells
Die oben skizzierten Portfoliomodelle liefern zentrale Erkenntnisse, die in
der aktiven Vermögensanlage, d. h. dem Management von Portfolios,
genutzt werden können, wie z. B. die Möglichkeit der Risikodiversifikation.
Dennoch ist das klassische Portfoliomodell kritisch zu hinterfragen.
In der nachstehenden Tabelle sind einige Kritikpunkte aufgelistet:
Vorteile der
klassischen Portfoliotheorie
Nachteile der
klassischen Portfoliotheorie
· leichte Verständlichkeit, da auf
die einfach zu messende Größe
Rendite reduziert wird;
· leichte Berechenbarkeit, da
Beschränkung auf Varianz und
Erwartungswert der Rendite;
· Erkenntnis, dass dominante Anla-
gestrukturen existieren;
· Feststellung, dass Risiken
diversifizierbar sind;
· Berücksichtigung von Korrel-
ationen zwischen Anlagemög-
lichkeiten;
· die Anlageentscheidung kann auf
eine Vermögensaufteilung
zwischen dem Marktportfolio und
der risikolosen Anlagemöglichkeit
reduziert werden.
· statisches Modell, welches die
Zeitabhängigkeit des Erwart-
ungswertes und der Varianz der
Rendite nicht hinreichend be-
rücksichtigt;
· implizite Normalverteilungsan-
nahme für die Renditen ist
eventuell nicht haltbar (z. B. be-
sitzen Finanzzeitreihen gemäß
Franke, Härdle u.a. (2001), S. 151
sehr häufig eine leptokurtische
Verteilung, bei welcher im
Vergleich zur Normalverteilung
extreme Ausreißer nach oben oder
unten häufiger beobachtbar sind
(Kurtosis > 3);
· Derivate, wie z. B. Optionen mit
exotischem Auszahlungsprofil
können bei dieser Modellierung
nicht oder nur in Sonderfällen im
Portfolio berücksichtigt werden.
Tabelle 2: Kritik des klassischen Portfoliomodells
2 Verteilung
der
Portfoliorendite und Risiko
2.1 Einfache versus
Log-Rendite
Die einfache Rendite r(t
1
,t
2
) wurde bereits oben definiert (vgl. (1.1)).
Die Log-Rendite r
log
(t
1
,t
2
) ist für zwei Zeitpunkte t
1
< t
2
und Anlagepreise
S(t
1
), S(t
2
) wie folgt definiert (vgl. z. B. Franke, Härdle u.a. (2001), S. 149):
(2.1) r
log
(t
1
,t
2
) = ln (S(t
2
) / S(t
1
)) = ln (1 + r(t
1
,t
2
))
Einfache Renditen spielen bei kurzfristigen Betrachtungen eine Rolle. Hier
kann bei unabhängig wiederholten Anlagevorgängen unter der
Numerische Optimierung des Shortfall Risikos von Aktienportfolios am Beispiel des Value at Risk
7
Voraussetzung dass die Renditen eine identische Verteilung besitzen, die
mittlere Rendite als Erwartungswert des Anlageerfolges betrachtet werden
(Spremann (2003), S. 402), da die Summe der realisierten (Miss-)Erfolge
bei Berücksichtigung des Zentralen Grenzwertsatzes (siehe dazu z. B.
Bronstein (1989), S. 677) näherungsweise als normalverteilt betrachtet
werden kann.
Umgekehrt sind stetige Renditen bei langfristigen Planungshorizonten
wichtig. Dies liegt daran, dass auf lange Sicht der Anlageerfolg, durch
zufällige Ereignisse in multiplikativer Weise beeinflusst wird (Spremann
(2003), S. 391).
Man kann sich diesen Sachverhalt verdeutlichen, indem man einen lang-
fristigen Planungshorizonts mit Startzeitpunkt t
1
und Endzeitpunkt t
2
in
n
überschneidungsfreie Intervalle aufteilt. Die einfache Rendite der
Teilintervalle r
i
(i=1,2,3,...,n) wird dabei gewöhnlich schwanken. Unterstellt
man für die Renditen einer Anlagemöglichkeit in den Teilintervallen
unabhängig identisch verteilte Zufallsgrößen (Spremann (2003), S. 392 ff.)
kann die Rendite r
log
(t
1
,t
2
)
des langfristigen Planungshorizontes
asymptotisch als normalverteilt aufgefasst werden, da sich diese als Summe
unabhängig identisch verteilter logarithmierter Teilperiodenrenditen
darstellen lässt:
(2.2)
=
+
=
n
i
i
r
t
S
t
S
1
1
2
)
1
(
)
(
)
(
)
,
(
ln
)
1
ln(
)
(
ln
)
(
ln
2
1
log
0
1
1
2
t
t
r
S
r
t
S
t
S
i
n
i
+
=
+
+
=
=
mit S(t
i
) dem Preis des Anlageinstruments zum Zeitpunkt t
i
(i=1,2).
Unterstellt man nun, dass die n Teilperioden die identische Länge
t
besitzen (d. h. t
2
t
1
= n
t), wobei in jeder Teilperiode das Anlage-
instrument mit r
log
t
t verzinst wird, so erhält man die Differenzen-
gleichung:
(2.3)
S = S(t+
t) S(t) = S(t)
r
log
t
t für t
[t
1
;t
2
-
t].
Beim Grenzübergang n
geht diese in die Differentialgleichung:
(2.4) dS = S r
log
dt über, welche bei Beachtung der Randbedingungen S(t
1
)
und S(t
2
) die Lösung für die stetige Verzinsung
Numerische Optimierung des Shortfall Risikos von Aktienportfolios am Beispiel des Value at Risk
8
(2.5) S(t) = S(t
1
) exp (r
log
( t t
1
)) für
t
[t
1
;t
2
] liefert.
Der Zinssatz r
log
heißt stetiger Zinssatz und entspricht der auf die Dauer
des Zeitraums t
2
t
1
normierten Log Rendite.
Grundsätzlich kann für kleine Renditen nahe ,,0" (Faustformel: für Renditen
unter 10%) der Unterschied zwischen Log und einfacher Rendite
vernachlässigt werden, da dann aus der Taylor - Reihenentwicklung für
ln(1+x) folgt, dass ln(1+x)
x (vgl. Franke, Härdle u.a. (2001), S. 149).
2.2 Stationäre Zeitreihen und Autokorrelation
2.2.1 Stationarität
Eine Problematik bei der Schätzung von Renditen aus historischen Daten,
betrifft die Möglichkeit, dass der Preis der Anlagemöglichkeit evtl. einem
nichtlinearen Trend folgt, wie dies bei der Log Rendite deutlich wird
(exponentieller Zusammenhang). Hier sind die erwarteten Preisdifferenzen
der Anlagemöglichkeit S(t+
t) S(t) von Messzeitpunkt zu Messzeitpunkt
nicht konstant, was z. B. zu einer Verzerrung des Schätzers der erwarteten
einfachen Rendite führt.
Deshalb ist es notwendig, eine Zeitreihe um die Trendkomponente und
andere Faktoren, wie z. B. saisonale Schwankungen zu bereinigen, um eine
,,stationäre" Zeitreihe zu erhalten. Gängige Verfahren sind hierfür z. B.
Differenzenbildung, Filter, Skalentransformationen zur Varianz-
stabilisierung, etc. (Deutsch (2001), S. 545 f.).
Stationarität
ist wie folgt definiert (Franke, Härdle u.a. (2001), S. 143 f.):
(2.6) Ein stochastischer Prozess
1
{X
t
| t
} heißt:
a)
kovarianzstationär
, wenn
1.
µ
t
= E(X
t
) =
µ
= const. und
2.
(t,
) = Cov(X
t
, X
t-
) =
(
)
; unabhängig von t.
Dabei
sind
E(X
t
) der Erwartungswert von X
t
und Cov(X
t
, X
t-
) die
Autokovarianz
zwischen den Zufallsvariablen X
t
und X
t-
.
b)
streng stationär
, wenn für die gemeinsame Verteilung F
t1,...,tn
des
stochastischen Prozesses gilt:
1
Ein stochastischer Prozess {X(t), t
A} ist in Anlehnung an Franke, Härdle u.a. (2001),
S. 142 eine Familie von Zufallsvariablen, definiert auf dem Wahrscheinlichkeitsraum
(vgl. z. B. Heilmann (1987), S. 9) (
,,). Dabei kann A eine abzählbare Menge sein, muß
es aber nicht (z. B. zeitkontinuierlicher stochastischer Prozess).
Numerische Optimierung des Shortfall Risikos von Aktienportfolios am Beispiel des Value at Risk
9
F
t1,t2,...,tn
(x
1
,x
2
,...,x
n
) = F
t1+s,t2+s,...,tn+s
(x
1
,x
2
,...,x
n
)
für
beliebige
t
1
, t
2
, ..., t
n
und für alle n,s
.
Beispiel ,,Differenzenstationarität"
(vgl. Franke, Härdle u.a. (2001), S.
170 f.):
(2.7) Gegeben sei die Irrfahrt: S(t) =
µ
+ S(t-1) +
(t); wobei das
(2.8) ,,Weiße Rauschen"
(t), folgende Eigenschaften besitzt:
E(
(t)) = 0 und
(t,0) =
² und
(t,
) = 0,
0.
Durch rekursives Einsetzen erhält man bei Start in t = 0:
(2.9)
=
+
+
=
t
i
i
t
S
t
S
1
)
(
)
0
(
)
(
µ
Offensichtlich gilt:
(2.10) E(S(t)) = S(0) +
µ·t ist nicht konstant.
Für den Differenzenprozess
S(t-1) =S(t) S(t-1)
folgt jedoch:
(2.11) E(
S(t-1)) = µ = const. und (t,) = () unabhängig von t.
Also ist der Differenzenprozess kovarianzstationär.
Zusätzlich kann man erkennen, dass bei Ausnutzung der
Differenzenstationarität der Parameter
µ
des Ausgangsprozesses S(t)
leicht geschätzt werden kann, während dies auf Basis von Prozess-
daten für S wegen der Abhängigkeit von der Fehlersumme
(i)
(integrierte Irrfahrt) und der damit verbundenen Zeitabhängigkeit
der Varianz der Fehlersumme weitere Überlegungen erfordert.
2.2.2 Autokorrelation
Die Autokorrelation misst analog zur Korrelation inwiefern zwischen den
Beobachtungen einer Zeitreihe ein linearer Zusammenhang besteht. Sind z.
B. tägliche Renditen eines Anlageinstrumentes positiv korreliert, weist dies
darauf hin, dass auf positive Renditen in der Tendenz wiederum positive
Renditen folgen und umgekehrt.
Wünschenswert ist es, für Schätzungen unkorrelierte Messwerte zu haben,
da dann erwartet werden kann, dass diese Realisationen unabhängiger,
eventuell identisch verteilter Zufallsvariablen darstellen und sich
gegenseitig nicht beeinflussen. Allerdings ist der Umkehrschluss von einer
Autokorrelation nahe ,,0" auf Unkorreliertheit mit Bedacht zu ziehen, da
evtl. auch ein nichtlinearer Zusammenhang bestehen könnte. Dies ist für die
im Anhang B.3 tabellierten Autokorrelationen gut ersichtlich. Analog zu
Franke, Härdle u.a. (2001) weisen die täglichen Log-Renditen eine
Numerische Optimierung des Shortfall Risikos von Aktienportfolios am Beispiel des Value at Risk 10
Autokorrelation ,,nahe 0" auf, während die quadrierten, bzw. absoluten
täglichen Log-Renditen schwach positiv korreliert sind, was ein Indiz für
sogenannte ,,Volatilitätscluster" ist.
Die Autokorrelation
(
) (Autokorrelation der Ordnung
) für
kovarianzstationäre Prozesse ist analog zum Korrelationskoeffizienten
definiert (vgl. z. B. Deutsch (2001), S. 495 oder Franke, Härdle u.a. (2001),
S. 144):
(2.12)
)
(
)
0
(
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
=
=
=
-
t
t
t
X
Var
X
X
Cov
t
;
mit
Var(X
t
) der Varianz von X
t
.
Beispiel Irrfahrt:
Ein weiterer Nachweis dafür, dass die in (2.7) definierte Irrfahrt nicht
kovarianzstationär ist, ergibt sich gemäß Franke, Härdle u.a. (2001), S. 146
(
t) wie folgt:
(2.13)
0
1
)
,
(
-
=
t
t
ist nicht unabhängig von t.
2.3 Normalverteilte Renditen und stationärer Renditeprozess
am Beispiel von Aktienrenditen in der Empirie
2.3.1 Die Normalverteilungsannahme für tägliche Renditen
In vielen statistischen Finanzanwendungen wird von normalverteilten
Renditen ausgegangen (vgl. Ausführungen in 2.1). Deshalb ist es wichtig
diese Annahme zu prüfen. Dafür existieren eine große Zahl möglicher
Verfahren, wie z. B. der
²-Anpassungstest, oder der Kolmogorov
Smirnov Test, für den jedoch die gewöhnlich unbekannten Parameter
µ
und
bekannt sein müssen (vgl. Bronstein (1989), S. 692). Hier wurde in
Anlehnung an Franke, Härdle u.a. (2001), S. 149 f. für die im Anhang B /
Tabelle B.1 aufgelisteten Aktien, die Nullhypothese normalverteilter
täglicher Log -Renditen im Zeitraum 02.01.1989 bis 30.04.2003 getestet.
Der Test basiert auf dem Normalverteilungstest von Bera und Jarque, bei
welchem gleichzeitig die Schiefe und Kurtosis einer Normalverteilung
getestet wird.
Numerische Optimierung des Shortfall Risikos von Aktienportfolios am Beispiel des Value at Risk 11
Die Teststatistik T lautet gemäß Franke, Härdle u.a. (2001), S. 150):
(2.14)
)
4
)
3
^
(
^
(
6
2
2
-
+
=
K
S
n
T
; mit
(2.15)
3
=
)
-
=
=
µ
^
^
(
1
)
(
^
^
3
1
n
t
t
X
n
X
S
S
als Schätzer für die Schiefe der
Verteilung und
(2.16)
4
4
1
^
^
(
1
)
(
^
^
µ
)
-
=
=
=
n
t
t
X
n
X
K
K
als Schätzer für die Kurtosis (Wöl-
bung) der Verteilung, wobei
(2.17)
=
=
n
t
t
X
n
1
1
^
µ
der Schätzer des Erwartungswertes und
(2.18)
=
-
=
n
t
t
X
n
1
2
)
^
(
1
^
µ
der Schätzer der Standardabweichung
der Verteilung sind.
S
n ^ ist dabei unter der Annahme der Normalverteilung asymptotisch
normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz 6 (~N(0,6)) und
)
3
^
(
-
K
n
ist asymptotisch N(0,24) verteilt. Daraus ergibt sich, dass die
Statistik T asymptotisch
² verteilt ist mit zwei Freiheitsgraden. Dies setzt
allerdings eine hinreichend große Anzahl an Beobachtungen voraus.
Wie aus der Tabelle in Anhang B.2 abgelesen werden kann, wird für alle
untersuchten Log-Renditen (hier ist X
die beobachtete Rendite r
log
(
,
+1) )
die Nullhypothese zum Signifikanzniveau
2
1% abgelehnt, da die Werte für
die Kurtosis erheblich vom Idealwert 3 abweichen.
Um dies grafisch zu verdeutlichen wurde auf Basis der täglichen Log-
Renditen der Aktien Allianz (WKN: 840400), BMW (WKN: 519000) und
BASF (WKN: 515100) eine Kerndichteschätzung mit Hilfe des Gauß
Kerns durchgeführt.
Die Bandbreitenermittlung (Allianz: 0,0029194; BMW: 0,00297379 und
BASF: 0,00267837) basiert auf der Faustformel von Silverman (3.9)
(Vorfaktor = 1,06). Die realisierten Log Renditen sind in die Diagramme
2
Unter Signifikanzniveau soll hier die niedrigste subjektiv akzeptierte Irrtumswahrschein-
lichkeit
i
verstanden werden, wobei die Nullhypothese für alle
i
abgelehnt werden soll.
Numerische Optimierung des Shortfall Risikos von Aktienportfolios am Beispiel des Value at Risk 12
als blaue Kreuze eingezeichnet. Zusätzlich ist zur Verdeutlichung die auf
Basis der Schätzer für Erwartungswert und Varianz determinierte
Normalverteilung in rot markiert. Man kann deutlich die starke Wölbung
(Leptokurtosis) der Kerndichteschätzer in allen Diagrammen erkennen.
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
Rendite r [erw. Rendite (0,01 %)]
0
5
10
15
20
25
30
Kerndichteschätzer (Bandbr.=0,002919) - 3599 Beob.
WKN 840400
Normalvtlg.
erw. Rendite
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
Rendite r [erw. Rendite (0,05 %)]
0
5
10
15
20
25
30
Kerndichteschätzer (Bandbr.=0,002974) - 3599 Beob.
WKN 519000
Normalvtlg.
erw. Rendite
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
Rendite r [erw. Rendite (0,04 %)]
0
5
10
15
20
25
30
Kerndichteschätzer (Bandbr.=0,002678) - 3599 Beob.
WKN 515100
Normalvtlg.
erw. Rendite
Diagramm 3: Kerndichteschätzung täglicher Log-Renditen
2.3.2 Stationärer Renditeprozess
Neben der im vorherigen Abschnitt behandelten Fragestellung, ist es
ebenfalls notwendig zu wissen, inwiefern die Differenzenbildung aus
täglichen Kursdaten relevant ist, um stationäre Renditen zu erhalten. Dies
kann z. B. auf Grundlage des (A)DF ((Augmented) Dickey Fuller) Tests
oder des KPSS Tests erfolgen, welche beide zur Klasse der
Einheitswurzeltests gehören.
Das Prinzip des Dickey Fuller Tests basiert darauf, festzustellen ob die
charakteristische Gleichung
(z) = 1-
1
z für den AR(1) genannten Prozess
X
t
=
+
1
X
t-1
+
(t) mit weißem Rauschen
(t) für z = 1 die Nullstelle
1
=1 besitzt (Einheitswurzel).
Für den Differenzenprozess
X
t-1
gilt nämlich
(2.19)
X
t-1
= X
t
X
t-1
=
+ (
1
1) X
t-1
+
(t);
welcher für
1
= 1 eine Irrfahrt im Sinne von (2.7) ist. Für |
1
| 1 ist der
Differenzenprozess jedoch stationär (Franke, Härdle u.a. (2001), S. 146 f.,
S. 172 ff.).
Beim ADF Test werden zusätzlich verzögerte Differenzen höherer
Ordnung berücksichtigt, um Verzerrungen des Testniveaus bei
autokorrelierten
(t) zu vermeiden.
Der Test prüft auf die Nullhypothese einer Einheitswurzel, d. h. falls
beispielsweise
X
t-1
die Differenz zweier aufeinander folgender
logarithmierter Kursänderungen ist (
X
t-1
= ln S
t
ln S
t-1
ist dann eine Log-
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Details
- Arbeit zitieren
- , 2003, Numerische Optimierung des Shortfall-Risikos von Aktienportfolios am Beispiel des Value at risk, Hamburg, Bedey Media GmbH, https://www.diplom.de/document/223276
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