ID 7536
Obenhuber, Christoph: Kursprognose mittels nichtlinear Regression (MLP) vs. Linearer
Regression (OLS) am Beispiel der wöchentlichen Rednite des Dow Jones EURO STOXX
50
Hamburg: Diplomica GmbH, 2003
Zugl.: Wirtschaftsuniversität Wien, Wirtschaftsuniversität, Diplomarbeit, 2003
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2
Danksagung
An dieser Stelle würde ich gerne meinen Eltern in Bezug auf mein Studium danken;
dafür, dass sie mich stets in vielerlei Hinsicht unterstützt und mich ermuntert haben,
meine gesteckten Ziele zu verwirklichen. Ebenso möchte ich mich bei meiner
Lebenspartnerin Eva bedanken, die mir auch während meiner Diplomarbeit immer
zur Seite gestanden ist.
Bei Univ.-Prof.Dr. Edgar Topritzhofer als Institutsvorstand bedanke ich mich für die
Möglichkeit, die Diplomarbeit an der Abteilung für Quantitative
Betriebswirtschaftslehre und Operations Research schreiben zu können.
Ich danke Herrn Dr. Wolfgang E. Katzenberger zum einen für die außerordentlich
kompetente Betreuung und zum anderen für die jederzeit freundliche Unterstützung
und die angenehme Atmosphäre während unserer Zusammenarbeit.
Ebenfalls Dank gebührt Frau Valentine Wendling, die mir bei all meinen Anliegen
stets Ihre Zeit und Ihren vollen Einsatz geschenkt hat.
Außerdem möchte ich mich noch bei meinen Arbeitskollegen bedanken, die mich bei
der Realisierung der Fallstudie unterstützt haben. Im Speziellen sind dies: Herrn
Mag. Miroslav Mitev für die Unterstützung bei fachlichen Fragen, Herrn Günther
Herndlhofer für die Erstellung der Portfoliosimulationen und Herrn Mag. Alfred
Schwarz für die Unterstützung in Bezug auf die technische Implementierung des
Multi-Layer Perceptrons.
3
1. Einleitung und Überblick _________________________________________ 6
2. Überblick über die Methoden der Finanzanalyse_______________________ 9
2.1.
Thematik und Begriffsdefinitionen _____________________________ 9
2.2.
Eigenschaften von Finanzmarktzeitreihen _______________________ 9
2.2.1. Verteilungseigenschaften _________________________________ 10
2.2.2. Stationarität ____________________________________________ 11
2.3.
Die These effizienter Kapitalmärkte und Prognostizierbarkeit _____ 11
2.4.
Instrumente der Finanzanalyse _______________________________ 12
3. Lineare Finanzanalyse___________________________________________ 13
3.1.
Grundkonzepte des ARIMA-Ansatzes ___________________________ 13
3.1.1. AR(p)-Modelle _________________________________________ 14
3.1.2. MA(q)-Modelle_________________________________________ 14
3.1.3. ARMA(p,q)-Modelle ____________________________________ 15
3.1.4. ARIMA(p,d,q)-Modelle __________________________________ 15
3.1.5.
Identifikation von AR(p)- und MA(q)-Modellen _______________ 16
4. Nichtlineare Finanzanalyse_______________________________________ 17
4.1.
Instrumente der nichtlinearen Analyse_________________________ 17
4.2.
Nichtlineare Testverfahren __________________________________ 18
4.2.1. Überblick______________________________________________ 18
4.2.2. BDS-Test______________________________________________ 18
4.3.
Nichtlineare Modellierungsverfahren __________________________ 18
4.3.1. Nichtlineare
Prozesse ____________________________________ 18
4.3.2.
Nichtlineare autoregressive Modelle (NLAR-Modelle) ________ 19
4.3.3.
Modellierung von Heteroskedastizität _____________________ 19
4.3.3.1. ARCHModelle ____________________________________ 20
4.3.3.2. GARCH-Modelle ___________________________________ 21
4.3.3.3.
Erweiterungen des ARCH-Modells _____________________ 21
4.3.4.
Threshold Autoregressive Modelle (TAR-Modelle)_____________ 22
4.3.5.
Modellbildung mittels Künstlicher Neuronaler Netze ___________ 23
5. Regressionsanalyse _____________________________________________ 23
5.1.
Problemstellung ____________________________________________ 23
5.2.
Die Regression in der Finanzanalyse ___________________________ 24
6. Lineare Regression______________________________________________ 25
6.1.
Das ökonometrische Grundmodell _____________________________ 25
6.2.
Prämissen der Linearen Regression ____________________________ 27
6.2.1.
Linearität der Regressionsgleichung_________________________ 28
6.2.2.
Erwartungswert Null der Residuen __________________________ 28
6.2.3.
Homoskedastizität der Residuen____________________________ 28
6.2.4.
Keine Autokorrelationen in den Residuen ____________________ 28
6.2.5. Normalverteilte
Residuen _________________________________ 29
6.2.6. Keine
Multikollinearität
zwischen den Regressoren_____________ 29
4
6.3.
Schätzung der Regressionsfunktion mittels ,,Ordinary Least Squares"
(OLS-Schätzung) _________________________________________________ 29
6.4.
Güteeigenschaften der OLS-Schätzung _________________________ 33
7. Nichtlineare Regressionsanalyse___________________________________ 34
7.1.
Einleitung und Überblick ____________________________________ 34
7.2.
Linearisierung nichtlinearer Funktionen _______________________ 35
7.3.
Nichtlineare Kleinste-Quadrate-Schätzung _____________________ 36
7.4.
Nichtlineare Regression mittels Künstlicher Neuronaler Netze (KNN)_
__________________________________________________________ 38
7.5.
Künstliche Neuronale Netze (KNN) ___________________________ 39
7.5.1. Einführung ____________________________________________ 39
7.5.2.
Geschichte Neuronaler Netze ______________________________ 41
7.5.3.
Aufbau Künstlicher Neuronaler Netze _______________________ 42
7.5.3.1.
Zellen als zentrales Element ___________________________ 42
7.5.3.2.
Bestandteile Künstlicher Neuronaler Netze _______________ 43
7.5.4.
Klassifizierung Künstlicher Neuronaler Netzwerke _____________ 45
7.5.5.
Anwendungsmöglichkeiten Künstlicher Neuronaler Netze _______ 46
7.5.6.
Künstliche Neuronale Netze für finanzanalytische
Aufgabenstellungen _____________________________________________ 47
7.6.
Nichtlineare Regression mittels Multi-Layer Perceptrons (MLP) ___ 49
7.6.1.
Das Single-Layer Perceptron (SLP) _________________________ 49
7.6.1.1. Propagierungsfunktion _______________________________ 52
7.6.1.2. Aktivierungsfunktion ________________________________ 52
7.6.1.3. Outputfunktion _____________________________________ 55
7.6.1.4.
Das Single-Layer Perceptron als Regressionsmodell ________ 55
7.6.2.
Das Multi-Layer Perceptron _______________________________ 57
7.6.2.1.
Das Multi-Layer Perceptron als Regressionsmodell_________ 59
7.6.2.2.
Lernen in Neuronalen Netzen __________________________ 61
7.6.2.2.1. Grundvarianten von Lernregeln _______________________ 63
7.6.2.2.2. Hebbsche
Lernregel ________________________________ 64
7.6.2.2.3. Delta-Regel ______________________________________ 65
7.6.2.2.4. Backpropagation-Regel _____________________________ 65
7.6.3. Backpropagation ________________________________________ 65
7.6.3.1. Backpropagation-Lernprozess__________________________ 67
7.6.3.2. Prinzip
des
Gradienten(abstiegs)verfahrens _______________ 68
7.6.3.3.
Prinzip des Gradientenverfahrens neuronaler Netze_________ 69
7.6.3.4.
Herleitung der Backpropagation-Regel___________________ 70
7.6.3.5.
Probleme des Lernverfahrens Backpropagation ____________ 71
8. Modellbildung _________________________________________________ 72
8.1.
Einleitung_________________________________________________ 72
8.2.
Analyse der Problemstruktur ________________________________ 73
8.3.
Selektion relevanter Einflussgrößen ___________________________ 74
8.3.1. Allgemeines ___________________________________________ 74
8.3.2.
Auswahl der Daten ______________________________________ 75
8.3.3.
Länge und Frequenz der verwendeten Zeitreihen_______________ 76
5
8.3.4. Weitere
Überlegungen ___________________________________ 77
8.4.
Aufbereitung der Daten _____________________________________ 77
8.4.1.
Transformation der Daten _________________________________ 77
8.4.2. Lagstruktur
der
Daten ____________________________________ 78
8.5.
Spezifikation und Schätzung des Prognosemodells _______________ 79
8.6.
Overfitting-Problematik_____________________________________ 80
8.7.
Überprüfung der Prognosegüte _______________________________ 82
8.8.
Regressionsdiagnostik_______________________________________ 83
8.8.1.
Globale Prüfung der Regressionsfunktion ____________________ 84
8.8.1.1.
Bestimmtheitsmaß und Korrelationskoeffizient ____________ 84
8.8.1.2. Korrigiertes
Bestimmtheitsmaß ________________________ 86
8.8.1.3.
Prüfung der Regressionskoeffizienten ___________________ 87
8.8.1.4.
Test der Annahmen des Regressionsmodells ______________ 88
8.8.1.4.1. Autokorrelation in den Residuen ______________________ 89
8.8.1.4.2. Heteroskedastizität der Residuen ______________________ 90
8.8.1.4.3. Normalverteilung der Residuen _______________________ 91
8.8.1.4.4. Multikollinearität __________________________________ 92
8.8.2.
Anwendung des Modells und Test gegen einen Benchmark ______ 93
9. Fallstudie EURO STOXX 50 ______________________________________ 94
9.1.
Einleitung_________________________________________________ 94
9.2.
Verwendete Software _______________________________________ 95
9.2.1. ECANSE ______________________________________________ 95
9.3.
Analyse der Problemstruktur und Wahl des geeigneten
Prognoseinstrumentes_____________________________________________ 95
9.4.
Selektion relevanter Einflussgrößen ___________________________ 96
9.5.
Spezifikation und Schätzung des Prognosemodells _______________ 98
9.5.1.
Spezifikation und Schätzung des linearen Regressionsmodells ____ 98
9.5.2.
Spezifikation und Schätzung des nichtlinearen Regressionsmodells 99
9.6.
Überprüfung der Prognosegüte ______________________________ 102
9.6.1. Bestimmtheitsmaß______________________________________ 103
9.6.2. Hitrate _______________________________________________ 104
9.6.3.
Test der Annahmen des Regressionsmodells _________________ 105
9.6.3.1.
Autokorrelation in den Residuen ______________________ 105
9.6.3.2.
Heteroskedastizität der Residuen ______________________ 106
9.6.3.3.
Normalverteilung der Residuen _______________________ 107
9.6.3.4. Multikollinearität __________________________________ 108
9.6.4.
Anwendung der Modelle und Test gegen einen Benchmark _____ 109
10.
Resümee und Ausblick________________________________________ 111
6
1. Einleitung und Überblick
Die vorliegende Arbeit soll einerseits einen kurzen Überblick über Konzepte der
quantitativ orientierten Finanzanalyse geben, andererseits im Speziellen die
Möglichkeiten der nichtlinearen Regression zur Kursprognose im Vergleich zur
linearen Regression behandeln.
Quantitative Verfahren zur Vorhersage von Aktienkursen, Wechselkursen oder
anderer Kapitalmarktgrößen haben in den letzten Jahren vor allem vor dem
Hintergrund fallender Kurse an den internationalen Kapitalmärkten und dem
abnehmenden Vertrauen der Anleger in Analystenmeinungen an Bedeutung
gewonnen. Nachdem in den Jahren des Internethypes in blindem Vertrauen auf die
euphorischen Einschätzungen der großen Investmenthäuser in die Firmen der New
Economy investiert wurde, folgten mit dem Platzen der Spekulationsblase für einen
Großteil der Kleinanleger, aber auch für institutionelle Investoren massive
Vermögensverluste. Als Folge dessen wurde der Ruf nach quantitativen Verfahren
der Finanzanalyse, mit denen sich unabhängig von subjektiven Einschätzungen
zukünftige Kursentwicklungen prognostizieren lassen, wieder laut. Im Folgenden
soll gezeigt werden, welche Verfahren der quantitativen Finanzanalyse zur
Verfügung stehen und welchen Beitrag zur Kursprognose die nichtlineare Regression
bzw. die lineare Regression, beide in der Praxis verwendete Vertreter quantitativer
Analyseverfahren, leisten können. Schwerpunktmäßig wird in dieser Arbeit Erstere
behandelt, da das bisher in der Finanzanalyse dominierende und am häufigsten
eingesetzte Verfahren, nämlich die lineare Regression, meist wenig
zufriedenstellende Ergebnisse geliefert hat und folglich die Vermutung nahe legt,
dass bei der Kursprognose die Aufdeckung nichtlinearer Zusammenhänge von großer
Bedeutung ist. Ein ,,neuerer Ansatz" zur Modellierung nichtlinearer Abhängigkeiten
stellt in diesem Zusammenhang die Anwendung Künstlicher Neuronaler Netze dar,
wobei in der vorliegenden Arbeit die Perceptrons, eine Familie der Neuronalen
Netze, näher behandelt werden. Neben der theoretischen Abhandlung der wichtigsten
Methoden soll an Hand einer Fallstudie die praktische Anwendbarkeit untersucht
werden. Sowohl mittels nichtlinearer als auch mittels linearer Regression wird
versucht, die wöchentlichen Renditen des europäischen Aktienindexes Dow Jones
7
EURO STOXX 50
1
zu prognostizieren bzw. die Güte der erhaltenen Prognosen
gegenüberzustellen.
Im Kapitel ,,2. Überblick über die Methoden der Finanzanalyse" soll zum einen eine
Einordung des Themas in den Bereich der Finanzanalyse erfolgen und zum anderen
grundsätzliche Begriffe abgeklärt werden. Außerdem wird auf die Besonderheiten
von Finanzmarktzeitreihen hingewiesen sowie grundsätzliche Fragestellungen im
Zusammenhang mit der Kursprognose aufgezeigt. Den Abschluss bildet eine
Systematisierung linearer und nichtlinearer Analysemethoden.
Im Kapitel ,,3. Lineare Finanzanalyse" werden die wichtigsten linearen Analyse-
verfahren dargestellt, wobei im Wesentlichen auf die verschiedenen
Modellierungsverfahren im Rahmen des ARIMA-Ansatzes eingegangen wird.
Das Kapitel ,,4. Nichtlineare Finanzanalyse" gibt einen strukturierten Überblick über
Methoden der nichtlinearen Datenanalyse, wobei eine Unterteilung in Test- und
Modellierungsverfahren erfolgt. Zu ebendieser Gruppe gehört auch die nichtlineare
Regression, welche in einem eigenen Kapitel eingehend behandelt wird.
Im Kapitel ,,5. Regressionsanalyse" erfolgt eine allgemeine Darstellung der in der
Praxis sehr häufig eingesetzten Regressionsanalyse. Außerdem werden
Besonderheiten im Rahmen des Einsatzes der Regression bei finanzwirtschaftlichen
Problemstellungen behandelt.
Kapitel ,,6. Lineare Regression" behandelt, im Anschluss an die allgemeine Dar-
stellung der Regressionsanalyse im vorhergehenden Kapitel, im Speziellen die
lineare Regression. Dabei werden zum einen das zu Grunde liegende ökonometrische
Modell und die bei der Modellierung getroffenen Annahmen vorgestellt. Zum
anderen wird auf die Schätzung der Modellparameter eingegangen, die mittels der
Kleinste-Quadrate-Methode (engl.: ordinary least squares OLS) erfolgt.
Im Kapitel ,,7. Nichtlineare Regressionsanalyse" wird zunächst auf die nichtlineare
Regression im Allgemeinen eingegangen. Anschließend wir der Zusammenhang
1
http://www.stoxx.com/info/about_stoxx.html
8
zwischen der Regressionsanalyse und Künstlichen Neuronalen Netzen dargestellt.
Danach werden im ersten Teil Neuronale Netze näher beschrieben bzw. deren
Aufbau und Funktionsweise behandelt. Anschließend erfolgt eine Überleitung zu den
Multi-Layer Perceptrons, einer speziellen Klasse von Künstlichen Neuronalen
Netzen. Diese werden im Detail beschrieben sowie relevante Fragestellungen im
Zusammenhang mit der nichtlinearen Regression mittels Multi-Layer Perceptrons
diskutiert.
Im Kapitel ,,8. Modellbildung" erfolgt eine systematische Darstellung der zur
Erstellung eines Prognosemodells notwendigen Schritte. Dies betrifft die Analyse der
betrachteten Problemstellung sowie die Spezifikation und Schätzung des Modells
und die Überprüfung der Prognosegüte.
Das Kapitel ,,9. Fallstudie: EURO STOXX 50" soll die Möglichkeiten beider
Schätzmethoden anhand eines konkreten Beispiels zeigen. Dabei erfolgt die
praktische Modellentwicklung in Anlehnung an das vorhergehende, theoretische
Kapitel zur Modellbildung. Außerdem werden die verwendeten Programmpakete
näher vorgestellt und ein Vergleich zwischen beiden Verfahren gezogen.
Den Abschluss der Diplomarbeit bildet das Kapitel ,,10. Resümee und Ausblick", in
dem die wesentlichen Erkenntnisse kurz zusammengefasst werden und ein Ausblick
auf zukünftige Entwicklungen versucht wird.
9
2. Überblick über die Methoden der Finanzanalyse
2.1.
Thematik und Begriffsdefinitionen
Den Schwerpunkt dieser Arbeit bildet der Vergleich zwischen nichtlinearer und
linearer Regression und ihre Einsatzmöglichkeiten im Rahmen der Kursprognose,
wobei beide Verfahren Konzepte der quantitativ orientierten Finanzanalyse
darstellen. Bevor nun näher auf die Thematik eingegangen wird, sollen die Begriffe
,,quantitative Ansätze" und ,,Finanzanalyse" näher erläutert werden. Die
Finanzanalyse stellt ein Teilgebiet der Finanzwirtschaft dar, wobei sich grundsätzlich
drei Arten unterscheiden lassen: Die Technische Analyse, die Fundamentalanalyse
und die kapitalmarktorientierte Analyse. Im Rahmen dieser Arbeit wird
Finanzanalyse im Sinne der Fundamentalanalyse verstanden, die versucht, den
Marktpreis bzw. die Rendite beispielsweise einer Aktie in funktionaler Abhängigkeit
bestimmter Einflussgrößen zu erklären
2
. Quantitative Prognosemethoden liefern
durch Auswertung von Daten mit statistischen und mathematischen Methoden
zahlenmäßige Ergebnisse, während sich im Gegensatz dazu qualitative Methoden auf
subjektive Meinungen stützen. Eine Untergruppe der quantitativen
Prognosemethoden stellt hierbei die ,,Kausale Prognose" dar, die den Wert der
Prognosegröße durch die Entwicklung einer oder mehrerer anderer, quantifizierbarer
Größen erklärt
3
. Ebendiese Ermittlung der Beziehung zwischen Prognosegröße und
erklärenden Größen im Rahmen der Finanzanalyse ist Thema dieser Arbeit. Die im
Detail behandelten Analyseverfahren werden abschließend in Form einer Fallstudie
auf ihre praktische Anwendbarkeit hin überprüft. Dabei werden für die nichtlineare
und lineare Regression jeweils Modelle geschätzt, mit denen die wöchentliche
Rendite des EURO STOXX 50 prognostiziert werden soll, wobei sich die Rendite in
diesem Fall auf die Veränderung des Schlusskurses des EURO STOXX 50 von
einem Freitag zum nächsten bezieht.
2.2.
Eigenschaften von Finanzmarktzeitreihen
Verfahren zur Kursprognose von beispielsweise Aktienkursen, Wechselkursen oder
anderen Finanzmarkttiteln stellen im Allgemeinen auf die zu Grunde liegenden
Renditen, d.h. die Veränderung von einer Periode zur nächsten, ab. Im Falle von
2
Vgl. Cramer, Jörg E. et al., 1999, S. 617 f.
3
Vgl. Hoffmeister, 1997, S.
10
absoluten Preisen werden diese durch Logarithmierung in Renditen umgerechnet.
Da sich Finanzzeitreihen in vielerlei Hinsicht von anderen Zeitreihen unterscheiden,
sollen im folgenden wesentliche Besonderheiten aufgezeigt werden.
0
2000
4000
6000
02.08.1996
02.08.1997
02.08.1998
02.08.1999
02.08.2000
02.08.2001
02.08.2002
Abbildung 1: Kursverlauf des EURO STOXX 50 von Februar 1996 bis März 2003
2.2.1. Verteilungseigenschaften
,15
0
,1
25
,10
0
,07
5
,05
0
,02
5
-,000
-,02
5
-,0
50
-,0
75
-,100
Häufigkeit
60
50
40
30
20
10
0
Std.abw. = ,03
Mittel = ,002
N = 330,00
Abbildung 2: Histogramm der wöchentlichen Renditen des EURO STOXX 50 (Februar 1997 bis
März 2003)
Betrachtet man die Wochenrenditen des EURO STOXX 50 der letzten 6 Jahre
(Abbildung 2), so lässt sich erkennen, das die Kurtosis mit einem Wert von 4,378
wesentlich höher ist als bei normalverteilten Daten mit einem theoretischen Wert von
drei. Das bedeutet, dass sehr große positive bzw. negative Kursveränderungen
Kurtosis = 4,378
11
häufiger auftreten als bei normalverteilten Aktienrenditen. Diese als Leptokurtosis
bezeichnete Eigenschaft ist typisch für Finanzmarktzeitreihen. Ebenfalls auffällig ist,
dass betragsmäßig große oder kleine Renditen oft gehäuft vorkommen, d.h. auf große
Kursausschläge folgen wiederum große Kursausschläge bzw. vice versa (Volatility
Clustering)
4
. Dies legt nahe, dass die Varianz der Verteilung der Renditen über die
Zeit nicht konstant ist, was als bedingte Heteroskedastie bezeichnet wird. Beide
Eigenschaften, Leptokurtosis und Heteroskedastie, werden im Kapitel ,,8.8.1.4. Test
der Annahmen des Regressionsmodells" noch ausführlicher behandelt, da sich aus
ihnen wesentliche Konsequenzen für die ökonometrische Modellbildung ergeben
5
.
2.2.2. Stationarität
Eine weitere Voraussetzung, um statistische Methoden auf Zeitreihen anwenden zu
können, stellt die Stationaritätseigenschaft dar. Üblicherweise betrachtet man nur die
schwache Stationarität, für die gilt, dass Erwartungswert, Varianz und die
Autokovarianzen über die Zeit konstant sind. Da Kursreihen jedoch häufig einem
Trend unterliegen, sind die oben genannten Bedingungen meistens verletzt, da
beispielsweise der Erwartungswert durch das Vorliegen von Trends verzerrt wird. In
der Regel können Finanzmarktzeitreihen allerdings mittels Differenzenbildung in
stationäre Zeitreihen umgewandelt werden
6
.
2.3.
Die These effizienter Kapitalmärkte und
Prognostizierbarkeit
Um mittels Kursprognosen systematische Gewinne erzielen zu können, muss auf
dem betrachteten Markt Unvollkommenheit in Bezug auf die Verfügbarkeit und
Verarbeitung von Informationen herrschen, d.h. es muss möglich sein, kursrelevante
Informationen zu erkennen und zu nützen, bevor diese im Markt eingepreist sind. Ob
bzw. in welchem Umfang dies tatsächlich realisiert werden kann, wurde in den
letzten Jahrzehnten in zahlreichen Studien untersucht und hat in den Thesen zur
Informationseffizienz von Märkten Niederschlag gefunden
7
. Ein umfassender
4
Vgl.Poddig, Thorsten, 1999, S. 30
5
Vgl. Schröder, Michael, 2002, S. 3 f.
6
Vgl. Schröder, Michael, 2002, S. 15 f.
7
Vgl.Poddig, Thorsten, 1999, S. 78
12
Überblick zum derzeitigen Stand der Forschung für Aktien, Anleihen und
Wechselkurse findet sich bei Cochrane
8
.
2.4.
Instrumente der Finanzanalyse
Im folgenden werden die wesentlich linearen und nichtlinearen Analyseverfahren
kurz dargestellt, wobei auf eine vereinfachte Systematisierung von Poddig abgestellt
wird.
Lineare Modelle
Nichtlineare Modelle
· Lineare Regressionsanalyse
· Diskriminanzanalyse
· Fehlerkorrekturmodelle
· Lineare Faktorenmodelle
· ARCH- / GARCH-Modelle
· Schwellenwert-autoregressive
Modelle
· Künstliche Neuronale Netze
o Nichtlineare
Regression mittels
Perceptrons
o Andere
· Nichtlineare Faktorenmodelle
Tabelle 1: Methodische Analysedimension
9
Poddig unterscheidet unter methodischen Gesichtspunkten zwischen linearen und
nichtlinearen Modellen, wobei er für beide Bereiche einige gängige
Analyseverfahren aufzählt. Die Forschung im Bereich der Finanzanalyse legte ihren
Schwerpunkt lange Zeit auf lineare Analysetechniken, wobei vor allem die
Regressionsanalyse Anwendung gefunden hat. Hauptgründe dafür waren zum einen
die einfachere Modellierung und zum anderen die bessere mathematische
Handhabbarkeit linearer Modelle. Viele in der Folge durchgeführten Studien kamen
vor allem im Bereich der Kursprognose zu der Erkenntnis, dass Kursveränderungen
mittels linearer Techniken oft nur unzureichend erklärt werden können, was das
Vorhandensein von nichtlinearen Beziehungen nahe legte. Die wesentlichen
nichtlinearen Ansätze werden im Rahmen dieser Arbeit dargestellt, wobei vor allem
8
Vgl.Cochrane, J. H., 2001, Kap. 20
9
Vgl.Poddig, Thorsten/Steiner, Manfred (Hrsg.), 1996, S. 4
13
auf die Anwendung von Künstlichen Neuronalen Netzen und im Besonderen auf die
Perceptrons näher eingegangen wird.
3. Lineare Finanzanalyse
In der Vergangenheit wurden zur Beschreibung von Zeitreihen mehrheitlich lineare
Methoden herangezogen und auch in der Gegenwart stellt man hierzu meist auf
lineare Instrumente ab. Dies lässt sich zum einen dadurch erklären, dass viele
empirische Zeitreihen durch lineare Prozesse ,,ausreichend" genau beschrieben
werden können
10
, und zum anderen, dass die Modellierung bzw. die nötigen
mathematischen Methoden wesentlich einfacher sind. Detaillierte Ausführungen zur
Linearität von Funktionen finden sich u.a. bei Opitz
11
. Zudem sei hier darauf
verwiesen, dass die grundlegenden linearen Modelltypen (AR, MA, ARMA,
ARIMA) auch die Basis zur Verwendung vieler nichtlinearer
Modellierungsmethoden bilden, die zu einem großen Teil lediglich Erweiterungen
linearer Methoden darstellen.
Im folgenden werden die oben erwähnten linearen Grundmodelle kurz erläutert und
im nächsten Schritt auf die lineare Regression, das in der Praxis am häufigsten
verwendete Instrument der linearen Finanzanalyse, näher eingegangen. Der
Vollständigkeit halber sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass in diesem Kapitel
lediglich ein kleiner Ausschnitt aus dem Bereich der linearen Ansätze wiedergegeben
wird.
3.1.
Grundkonzepte des ARIMA-Ansatzes
Wie bereits weiter oben kurz erwähnt, wird in der Zeitreihenanalyse bzw. bei der
Modellierung häufig eine Art ,,Baukastensystem" verwendet. Aus mehreren
stochastischen, linearen Grundmodellen werden kompliziertere Modelle gebildet, in
dem diese miteinander kombiniert bzw. erweitert werden
12
. Grundsätzlich werden
vier solcher Basismodelle unterschieden: Das autoregressive Modell p-ter Ordnung,
bezeichnet mit AR(p), das Moving-Average-Modell q-ter Ordnung, bezeichnet mit
MA(q), das ARMA(p,q)-Modell, bei dem die beiden vorigen Modelltypen
10
Vgl. Schlittgen, Rainer, Streitberg, Bernd H. J., 1999, S. 253 f.
11
Vgl. Opitz,Otto, 2002, S. 268 f.
12
Vgl. Leiner, Bernd, 1998, S. 62
14
kombiniert werden und das ARIMA(p,d,q)-Modell, wobei ARIMA für
autoregressives, integriertes Moving-Average-Modell steht und d die Häufigkeit der
Differenzenbildung angibt. Von diesen vier Modellen ist das ARIMA(p,d,q)-Modell
immer nichtstationär, das MA(q)-Modell immer stationär, und die beiden anderen
Modelle, AR(p) und ARMA(p,q) können sowohl stationär als auch nichtstationär
sein
13
. In den folgenden Unterkapiteln werden die einzelnen Schätzverfahren kurz
vorgestellt.
3.1.1. AR(p)-Modelle
Für einen autoregressiven Prozess p-ter Ordnung gilt
(1)
,
...
2
2
1
1
t
p
t
p
t
t
t
Y
Y
Y
Y
+
+
+
+
=
-
-
-
wobei der Störterm
t
weißes Rauschen ist. Für einen White-Noise-Prozess (,,Weißes
Rauschen") gilt ein Erwartungswert von null, eine konstante Varianz und keine
Autokorrelation
14
.
Wie aus Gleichung (1) ersichtlich ist, beruhen AR(p)-Modelle auf der Annahme,
dass eine Zeitreihe (
t
Y
) durch die eigene, vergangene Kursreihe (
p
t
Y
-
) beschrieben
werden kann. Aus diesem Grund werden autoregressive Modelle auch als Modelle
mit Gedächtnis bezeichnet
15
. Unter den gegebenen Voraussetzungen kann der
aktuelle Wert bzw. ein zukünftiger Wert einer Zeitreihe somit aus den vergangenen
Werten bestimmt werden, wobei zusätzlich noch unsystematische Störungen
t
den
aktuellen Wert beeinflussen. Den einfachsten Fall stellt hierbei das AR(1)-Modell
dar, bei dem sich beispielsweise bei einer Aktie der aktuelle Kurs aus dem Kurs der
Vorperiode ergibt
16
.
3.1.2. MA(q)-Modelle
Ein Moving-Average-Prozess der Ordnung q ist definiert als
(2)
t
q
t
q
t
t
Y
+
+
+
=
-
-
...
1
1
,
wobei
t
wiederum weißes Rauschen ist.
13
Schröder, Michael, 2002, S. 143
14
Vgl. Poddig, Thorsten, /Dichtl, Hubert, Petersmeier, Kerstin, 2001, S. 348
15
Vgl. Leiner, Bernd, 1998, S. 84
16
Vgl. Schröder, Michael, 2002, S. 161 f.
15
Im Gegensatz zum AR(p)-Modell ergibt sich der aktuelle Kurs nicht aus der
vergangenen eigenen Zeitreihe, sondern stellt eine lineare Funktion vergangener und
gegenwärtiger Störungen
t
dar. Die Parameter
t
dienen hierbei zur Gewichtung der
Störeinflüsse und werden an Hand der Beobachtungen geschätzt
17
.
MA(q)-Modelle eignen sich vor allem dann zur Beschreibung ökonomischer
Zeitreihen, wenn die Störungen nicht nur in der erstmals auftretenden Periode
wirken, sondern auch in den Folgeperioden Einfluss haben. Würde beispielsweise
der Erdölpreis in Folge eines Krieges im Nahen Osten stark steigen, hätte dies nicht
nur Auswirkungen in der aktuellen Periode, sondern würde noch über längere Zeit
nachwirken.
3.1.3. ARMA(p,q)-Modelle
In den ARMA(p,q)-Modellen werden ein autoregressives Modell und ein Moving-
Average-Modell kombiniert, woraus sich folgende Definition ergibt
(3)
p
t
p
t
t
Y
Y
Y
-
-
+
+
=
...
1
1
+
t
q
t
q
t
+
+
+
-
-
...
1
1
Folglich fließen in ein ARMA(p,q)-Modell die Charakteristika sowohl eines AR(p)-
als auch eines MA(q)-Prozesses ein. Da AR(p)- und MA(q)-Modelle allerdings in
einander überführbar sind, d.h. ein AR(p)-Prozess kann als MA(q)-Prozess
dargestellt werden und vice versa
18
, könnte an Stelle eines ARMA(p,q)-Modells
alternativ entweder ein AR(p)- oder ein MA(q)-Prozess modelliert werden. Der
Vorteil eines ARMA(p,q)-Modells liegt nun darin, dass sich durch die Spezifikation
einer Gleichung, die sowohl einen AR- als auch eines MA-Teil enthält, eine
sparsamere Parametrisierung ergibt
19
.
3.1.4. ARIMA(p,d,q)-Modelle
Wie die Bezeichnung bereits vermuten lässt, sind autoregressive, integrierte Moving-
Average-Modelle nichts anderes als ARMA(p,q)-Modelle, wobei die Beobachtungen
der Zeitreihe d-mal differenziert wurden. Auch derartige Modelle wurden in der
Literatur vielfach behandelt
20
, weshalb an dieser Stelle nicht näher darauf
eingegangen wird.
17
Vgl. Schröder, Michael, 2002, S. 172 f.
18
Vgl. Schröder, Michael, 2002, S. 170 f.
19
Vgl. Schröder, Michael, 2002, S. 183 f.
20
Vgl. Schlittgen, Rainer, Streitberg, Bernd H. J., 1999, S. 342 f.
16
3.1.5. Identifikation von AR(p)- und MA(q)-Modellen
Zur Identifikation von AR(p)- und MA(q)-Modellen bzw. zur Bestimmung der
jeweiligen Ordnung verwendet man das Konzept der Autokorrelations- (ACF) und
der partiellen Autokorrelationsfunktion (PACF). Wurden beide Funktionen
empirisch bestimmt, kann man aus dem Verlauf der jeweiligen Funktion
Informationen über den der Zeitreihe zu Grunde liegenden Prozess gewinnen. Für
idealtypische AR(p)- bzw. MA(q)-Prozesse kann man den Verlauf der ACF und PCF
einem eindeutigen Schema zuordnen. Im Falle eines (idealtypischen) AR(p)-
Prozesses schwingt die ACF langsam gegen null ab während die PACF plötzlich
abbricht. Für einen (idealtypischen) MA(q)-Prozess gilt genau das Gegenteil. Hier
geht die PACF mit steigender Ordnung langsam gegen null, während die ACF
plötzlich abbricht. Dies soll zur Veranschaulichung an Hand der Autokorrelations-
bzw. der partiellen Autokorrelationsfunktion einer künstlich erzeugten Zeitreihe
(
2
1
×
=
+
t
t
y
y
) gezeigt werden.
Tabelle 2: ACF und PACF
Tabelle 2 zeigt für die ersten 12 Lags die Autokorrelationsfunktion und die partielle
Autokorrelationsfunktion. Während in Spalte 1 und 2 die
Autokorrelationskoeffizienten bzw. die partiellen Autokorrelationskoeffizienten
beim jeweiligen Lag graphisch dargestellt werden, stehen in den Spalten 3 und 4 die
genauen Werte. So gibt beispielsweise der Autokorrelationskoeffizient bei Lag 4 an,
wie hoch die Zeitreihe ,,mit sich selbst" korreliert (Autokorrelation), wenn die Werte
der Zeitreihe jeweils um 4 Perioden versetzt miteinander verglichen werden. Im
Gegensatz dazu gibt der partielle Autokorrelationskoeffizient bei Lag 4 an, wie hoch
die um 4 Perioden versetzte Zeitreihe ,,mit sich selbst" korreliert, wenn der Einfluss
17
der Autokorrelationen bei den vorhergehenden Lags 1, 2 und 3 ,,abgezogen" wird.
Somit erhält man gewissermaßen die ,,reine" Autokorrelation bei Lag 4
21
.
Betrachtet man nun die ACF und PACF in Tabelle 2, kann man relativ leicht
Rückschlüsse darüber ziehen, welcher Prozess zu Grunde liegt. Anzumerken bleibt,
dass die hier beschriebenen idealtypischen Verläufe der ACF und PACF bei realen
Finanzmarktzeitreihen kaum eine derartige Form haben und demnach AR(p)- oder
MA(q)-Prozesse wesentlich schwieriger zu identifizieren sind.
4. Nichtlineare Finanzanalyse
4.1.
Instrumente der nichtlinearen Analyse
Die Forschung im Bereich zeitreihenanalytischer Verfahren und ihre Anwendbarkeit
auf ökonomische Fragestellungen konzentrierte sich in den letzten drei Jahrzehnten
im wesentlichen auf lineare Modelle. Auf Grund der intensiven Auseinandersetzung
mit linearen Methoden sind die Fragen der Modellierung und Anwendung linearer
Prozesse weitgehend geklärt, weshalb die Entwicklung der Theorie linearer
Verfahren als im wesentlichen abgeschlossen betrachtet werden kann. Ebenso
durchgesetzt hat sich die Erkenntnis, dass viele Phänomene, vor allem auch
finanzwirtschaftliche Zeitreihen, allein durch lineare Modelle nicht befriedigend
beschrieben werden können. Dies legt die Vermutung nahe, dass bei der Analyse und
Modellierung der Zusammenhänge in Finanzmarktzeitreihen nichtlineare
Beziehungen nicht außer Acht gelassen werden dürfen, um die Abhängigkeiten
ausreichend erklären zu können. In der Folge konzentrierte sich die Forschung auf
ebendiese Aufdeckung nichtlinearer Strukturen und ihre Modellierung.
Grundsätzlich können Instrumente der nichtlinearen Analyse in Testverfahren und
Modellierungsverfahren unterteilt werden. Testverfahren sind hierbei den
Modellierungsverfahren vorgelagert und sollen nichtlineare Zusammenhänge in den
zu Grunde liegenden Daten herausfiltern, um Erkenntnisse für die spätere
Modellierung zu gewinnen. Mit Hilfe der Modellierungsverfahren erfolgt im
Anschluss die eigentliche Modellbildung. Die wichtigsten Verfahren sollen in
diesem Kapitel aufgezeigt werden
22
.
21
Vgl. Poddig, Thorsten, 1999, S. 115 f.
22
Vgl. Poddig, Thorsten, 1999, S. 203 f.
18
4.2. Nichtlineare
Testverfahren
4.2.1. Überblick
Während bei linearen Testverfahren mittels Autokorrelationsfunktion, partieller
Autokorrelationsfunktion bzw. Korrelations- und Regressionsanalyse vorhandene
lineare Strukturen in den Daten relativ gut gezeigt werden können, werden
nichtlineare Zusammenhänge nicht erkannt. Folglich wurden einige neuere
Verfahren entwickelt, die in der Lage sind, auch nichtlineare Beziehungen
aufzudecken. Beispielhaft soll hier der BDS-Test in einer sehr vereinfachten (und
mathematisch nicht präzisen) Form skizziert werden, ohne näher auf die zu Grunde
liegenden Details einzugehen
23
.
4.2.2. BDS-Test
Benannt nach seinen Entwicklern Brock, Dechert und Scheinkman
24
wird mittels
dieses Tests versucht zu identifizieren, ob in einer Zeitreihe überhaupt nichtlineare
Strukturen vorhanden sind. Weitergehende Informationen, welcher Art erkannte
Zusammenhänge sind, liefert er nicht. Beim BDS-Test wird zunächst angenommen,
dass bei einer Zeitreihe ein reiner ,,Zufallsprozess" vorliege. In weiterer Folge
werden nach einem bestimmten Schema aus der originären Zeitreihe neue Zeitreihen
konstruiert. An Hand dieser künstlichen Zeitreihen wird die Nullhypothese, es liege
ein reiner ,,Zufallsprozess" vor, getestet. Wird diese verworfen, wird davon
ausgegangen, dass (nicht zwangsläufig nichtlineare) Strukturen in der originären
Zeitreihe vorhanden sind. In einem zweiten Schritt werden nun lineare
Zusammenhänge ,,herausgefiltert". Wird die Nullhypothese eines ,,Zufallprozesses"
danach wiederum verworfen, lässt dies auf das Vorliegen nichtlinearer Beziehungen
in der Zeitreihe selbst schließen
25
. Weiterführende Untersuchungen finden sich bei
Brock et al
26
.
4.3. Nichtlineare
Modellierungsverfahren
4.3.1. Nichtlineare Prozesse
Ausgehend von der Einsicht, dass die Anwendung rein linearer Methoden zur
Prognose ökonomischer und finanzwirtschaftlicher Größen viele (nichtlineare)
23
Vgl. Poddig, Thorsten, 1999, S. 204 f.
24
Vgl. Brock, W. A., W. D. Dechert, and J. A. Scheinkman, 1987
25
Vgl. Poddig, Thorsten, 1999, S. 219 f.
19
Zusammenhänge in den Daten unberücksichtigt lässt und somit die Wirklichkeit nur
sehr unvollständig abbildet, wurde in der jüngsten Vergangenheit eine Vielzahl von
Vorschlägen erarbeitet, wie die zu Grunde liegenden Prozesse in Form von
nichtlinearen Zeitreihenmodellen beschrieben werden könnten. In diesem Kapitel
werden die wichtigsten Ansätze vorgestellt.
4.3.2. Nichtlineare autoregressive Modelle (NLAR-Modelle)
Hierbei wird von der Struktur her ein AR-Prozess modelliert, allerdings mit dem
wesentlichen Unterschied, dass nicht von einer linearen Abhängigkeit eines
Zeitpunktes
t
X
von vergangenen Zeitreihenwerten
p
t
t
X
X
-
-
,...,
1
ausgegangen wird.
Weiters wird angenommen, dass die Abhängigkeitsstruktur über die Zeit konstant
bleibt. Ein nichtlinearer autoregressiver Prozess p-ter Ordnung ist definiert als
(4) ,
)
,...,
(
1
t
p
t
t
t
X
X
f
X
+
=
-
-
wobei )
(
t
ein White-Noise-Prozess mit E [
t
] = 0 ist.
Für einen White-Noise-Prozess (,,Weißes Rauschen") gilt ein Erwartungswert von
null, eine konstante Varianz und keine Autokorrelation
27
. Für die Anwendung zur
Kursprognose ist es nun nötig, den funktionalen Zusammenhang zwischen einem
Zeitpunkt
t
X
und vergangenen Zeitreihenwerten
p
t
t
X
X
-
-
,...,
1
zu schätzen. Ein
klassisches nichtparametrisches Verfahren, das in diesem Bereich häufig Anwendung
findet, ist die Kern-Dichte-Schätzung bzw. in weiterer Folge die
Kernregressionsschätzung
28
. Alternativ zur Kern-Dichte-Schätzung wurden in der
jüngeren Vergangenheit zudem Verfahren auf Basis Künstlicher Neuronaler Netze
zur Schätzung der nichtlinearen Regressionsfunktion zum Einsatz gebracht, worauf
im Rahmen dieser Diplomarbeit im Kapitel ,,7.4. Nichtlineare Regression mittels
Künstlicher Neuronaler Netze (KNN)" näher eingegangen wird.
4.3.3. Modellierung von Heteroskedastizität
Wie im Kapitel 2.2 über die Eigenschaften von Finanzmarktzeitreihen bereits
erwähnt, wechseln sich beispielsweise bei Aktienkursen Phasen mit stärkerer und
Phasen mit schwächerer Streuung ab. In einem Modell lässt sich ein derartiges
Verhalten berücksichtigen, indem die Varianz von vergangenen Werten abhängig
26
Vgl. Brock, W. A. et al., 1995
27
Vgl. Poddig, Thorsten, /Dichtl, Huber, Petersmeier, Kerstin, 2001, S. 348
28
Vgl. Schlittgen, Rainer, Streitberg, Bernd H. J., 2001, S. 437 f.
20
gemacht und somit von bedingter Varianz gesprochen wird
29
. Da bei linearen
Prozessen die bedingte Varianz stets konstant ist und eine sich zeitlich ändernde
Streuung somit nicht erfasst werden kann, sind Modelle, die Phasen unterschiedlich
hoher Volatilität - ein stärker finanzwirtschaftlich orientierter Ausdruck für Streuung
berücksichtigen, vor allem in der Analyse von Finanzmärkten von großer
Bedeutung. Folglich haben sich mehrere Ansätze auf diesem Gebiet entwickelt,
wobei vor allem die Familie der ARCH-Modelle näher behandelt werden soll
30
.
4.3.3.1. ARCHModelle
ARCH-Modelle werden in der Praxis häufig eingesetzt, um Finanzmarktzeitreihen,
die sich durch Heteroskedastie und Leptokurtosis auszeichnen, abbilden zu können.
Ein autoregressiver bedingt heteroskedastischer (conditional heteroskedastic)
Prozess, kurz ARCH[q]-Prozess, ist definiert durch
(5)
=
-
+
=
q
j
j
t
t
t
t
Y
Y
1
2
0
, wobei
(6)
=
-
+
=
q
j
t
j
t
1
2
1
0
2
Dabei sind
t
unabhängig und identisch verteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz 1.
Die bedingte Varianz der Beobachtung
t
Y
ist in diesem Ansatz eine lineare Funktion
der quadrierten vergangenen Kursbeobachtungen bzw. Fehlerterme
31
. Das
allgemeine ARCH[q]-Modell geht ursprünglich auf Engle(1982) zurück und besteht
aus zwei Teilen. Zum einen wird die Zeitreihe selbst modelliert (beispielsweise als
autoregressives Modell) und zum anderen werden die Störgrößen
t
in Form eines
autoregressiven konditionalen heteroskedastischen Prozesses beschrieben
32
. In
Hinblick auf das bei Finanzzeitreihen beobachtete Volatility Clustering funktionieren
ARCH-Modelle nun dahingehend, dass nach einer betragsmäßig großen
unerwarteten Kursbewegung eine hohe Volatilität erwartet wird bzw. nach einer dem
Betrage nach kleinen unerwarteten Kursänderung eine niedrige Volatilität
angenommen und somit die ,,Volatility-Cluster" ins Modell einfließen.
29
Vgl. Schlittgen, Rainer, 2001, S. 163
30
Vgl. Stier, Winfried, 2001, S. 350
31
Vgl. Schlittgen, Rainer, 2001, S. 170
32
Vgl. Poddig, Thorsten, 1999, S. 138
21
Um Zeitreihen auf ARCH-Effekte untersuchen zu können, wurde ebenfalls von
Engle der ARCH-Lagrange-Multiplikatoren-Test (ARCHLM-Test) entwickelt, der
die Koeffizienten
q
,...,
1
aus Gleichung (6) daraufhin testet, ob sie nicht signifikant
von null verschieden sind und somit keine ARCH-Effekte vorliegen
33
. Die
Standardmethode zur Schätzung von ARCH-Modellen stellt der Maximum-
Likelihood-Ansatz dar, wobei hier auf die einschlägige Literatur verwiesen sei
34
. Ein
relativ einfaches und anschauliches Beispiel zur Maximum-Likelihood-Methode
findet sich bei Bleymüller/Gehlert/Gülicher
35
.
4.3.3.2. GARCH-Modelle
Das im vorigen Kapitel behandelte ARCH[q]-Modell bildet heteroskedastische
Prozesse in ihrer einfachsten Form ab, da die bedingte Varianz aus Gleichung (6)
von genau q Beobachtungen abhängt. Bei Finanzmarktdaten, die in hoher Frequenz
vorliegen, also beispielsweise tägliche oder wöchentliche Aktienrenditen, ist
allerdings eine große Anzahl q von verzögerten Termen notwendig, um die
Heteroskedastie im Modell ausreichend erfassen zu können. Das von Bollershev
(1986) formulierte Generalised ARCH (GARCH)-Modell stellt eine
Verallgemeinerung des ARCH-Modells dar und unterscheidet sich dadurch, dass die
bedingte Varianz von einer unendlichen Anzahl an Lags in den Fehlertermen
abhängt
36
.
4.3.3.3.
Erweiterungen des ARCH-Modells
Neben dem GARCH-Modell existieren noch einige andere Erweiterungen des
ursprünglichen ARCH-Modells. Ihnen allen gemeinsam ist die Tatsache, dass sie zu
immer ausgeklügelteren Modellierungen der Varianz des Störterms
t
führen. Die
Modifikationen beziehen sich somit auf Gleichung (6) der unbedingten Varianz,
haben allerdings keinen Einfluss auf den Teil des ARCH-Modells, der die Zeitreihe
selbst abbildet
37
. Weitere bekannte Adaptionen des ARCH-Modells stellen zum
Beispiel EGARCH - exponentielles GARCH - oder TARCH - Threshold ARCH -
dar
38
.
33
Vgl. Schröder, Michael, 2002, S.316 f.
34
Vgl. Schlittgen, Rainer, Streitberg, Bernd H. J., 2001, S. 269 f.
35
Vgl. Bleymüller, Josef, Gehlert, Günther, Gülicher Herbert, 1998, S. 98 f.
36
Vgl. Stier, Winfried, 2001, S. 354
37
Vgl. Poddig, Thorsten, 1999, S. 140
38
Vgl. Stier, Winfried, 2001, S. 355 f.
22
4.3.4. Threshold Autoregressive Modelle (TAR-Modelle)
Die TAR-Modelle gehen auf Tong/Lim (1980) zurück und beruhen auf der
empirischen Boabachtung, dass für verschiedene Finanzzeitreihen nicht ein Modell
zur Erklärung ausreicht, sondern dass in verschiedenen Zeitabschnitten
unterschiedliche Strukturen vorliegen und diese entsprechend modelliert werden
müssen. Weiters wird angenommen, dass die einzelnen Phasen durch die
Überschreitung bzw. Unterschreitung von definierten Schwellenwerten erkannt und
dementsprechend das passende Modell zugeordnet werden kann. Diese
Vorgangsweise könnte im Falle von Aktienkursen beispielsweise in einer
Unterscheidung in Hausse-, Baisse und Seitwärtsmärkte erfolgen. Als
Schwellenwerte würden sich verschiedene technische Indikatoren (zB.: 200-Tages
Durchschnitt) in Verbindung mit der Höhe des Transaktionsvolumens anbieten. Für
ein Threshold autoregressives Modell der Ordnung p, kurz TAR[p]-Modell gilt
(7) ,
...
1
1
0
t
p
t
p
t
t
Y
Y
Y
+
+
+
+
=
-
-
falls
r
Y
d
t
-
und
(8) ,
...
1
1
0
t
p
t
p
t
t
Y
Y
Y
+
+
+
+
=
-
-
falls
r
Y
d
t
-
.
Hierbei steht d für den Verzögerungsparameter und r bezeichnet den Schwellenwert
(engl. threshold)
39
. Das in den Gleichungen (7) und (8) beschriebene Modell
wechselt zwischen zwei linearen, autoregressiven Prozessen, je nachdem, ob der
Schwellenwert über- oder unterschritten wird. Zusätzlich zu den in Gleichung (7)
bzw. (8) verwendeten autoregressiven Termen der Zeitreihe selbst können in TAR-
Modellen auch autoregressive Terme anderer Variablen, von denen ein kausaler
Einfluss auf
t
Y
vermutet wird, hinzugefügt werden. Im Zuge der Anwendung von
TAR-Modellen zur Prognose nichtlinearer Prozesse sind einige Schätzprobleme zu
berücksichtigen. Da davon ausgegangen werden kann, dass sämtliche Parameter
unbekannt sind, müssen selbst bei einer rein autoregressiven Modellierung zum einen
die Anzahl der nötigen Modelle, die jeweilige Ordnung des autoregressiven
Prozesses und die Koeffizienten geschätzt und zum anderen die passenden
Schwellenwerte und Verzögerungsparameter gewählt werden. Auch wenn derartige
Modelle in der Literatur bzw. in der praktischen Anwendung bisher wenig Eingang
gefunden haben, was vor allem auf die angeführten Schwierigkeiten zurückzuführen
sein dürfte, stellt die zu Grunde liegende Idee einen für finanzwirtschaftliche
39
Vgl. Schlittgen, Rainer, 2001, S. 166
23
Problemstellungen sehr interessanten Ansatz dar
40
. Vor allem in der jüngeren
Vergangenheit beobachtete man beispielsweise bei der Prognose von Aktienrenditen,
dass die Zusammenhänge zwischen der abhängigen Größe und den erklärenden
Variablen nur für bestimmte Perioden gültig sein dürften und die verwendeten
Prognosemodelle daher regelmäßig respezifiziert werden müssen. Unter der
Voraussetzung, dass ebendiesen Zeitabschnitten bestimmte Strukturen zugeordnet
und die jeweilig gültigen Modelle identifiziert bzw. mittels geeigneter
Schwellenwerte die Bedingungen für die Modellwechsel bestimmt wurden, könnten
unter der Zuhilfenahme von TAR-Modellen derartige Regimewechsel erkannt und
entsprechend modelliert werden.
4.3.5. Modellbildung mittels Künstlicher Neuronaler Netze
Der Einsatz Künstlicher Neuronaler Netze zur Kursprognose im Allgemeinen und
der Perceptrons im Speziellen stellt den Schwerpunkt dieser Diplomarbeit dar. Aus
diesem Grund werden damit zusammenhängende Fragestellungen im Kapitel ,,7.4.
Nichtlineare Regression mittels Künstlicher Neuronaler Netze (KNN)" getrennt
behandelt und an dieser Stelle nur der Vollständigkeit halber erwähnt. Vorher wird
allerdings noch auf die nichtlineare Kleinste-Quadrate-Schätzung und damit eng
verknüpft auf Verfahren der nichtlinearen Optimierung eingegangen, da beide als
Voraussetzung zum Einsatz von Künstlichen Neuronalen Netzen angesehen werden
können
41
.
5. Regressionsanalyse
5.1. Problemstellung
Auf Grund der vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten und der flexiblen
Handhabungsweise stellt die Regressionsanalyse eines der am häufigsten
eingesetzten statistischen Analyseverfahren dar. Ziel der Regressionsanalyse ist es,
eine Beziehung zwischen einer zu erklärenden Variable (=Regressand) und einer
oder mehreren unabhängigen Variablen (=Regressoren) zu identifizieren. Dabei soll
zum einen die Abhängigkeit erkannt und in Form einer mathematischen Funktion
beschrieben werden und zum anderen die Werte der abhängigen Variablen geschätzt
40
Vgl. Poddig, Thorsten, 1999, S. 141 f.
41
Vgl. Poddig, Thorsten, 1999, S. 204
24
bzw. prognostiziert werden. Typische Anwendungsbereiche der Regressionsanalyse
sind in Tabelle 3 dargestellt.
Ursachenanalyse
Wie stark ist der Einfluss der unabhängigen Variablen auf die
abhängige Variable ?
Wirkungsprognosen Wie verändert sich die abhängige Variabel bei Veränderung
der unabhängigen Variablen ?
Zeitreihenanalysen
Wie verändert sich die abhängige Variable im Zeitablauf und
somit ceteris paribus auch in der Zukunft ?
Tabelle 3: Anwendungsbereiche der Regressionsanalyse
42
Das Anwendungsgebiet ,,Zeitreihenanalysen" bzw. ,,Zeitreihenregressionen" stellt
hierbei einen Spezialfall der Regressionsanalyse dar, indem die Abhängigkeit einer
Variable von der Zeit untersucht wird. Wurden die Zusammenhänge erkannt und in
Form einer mathematischen Funktion formuliert, ist es möglich die Werte der
abhängigen Variable für Perioden in der Zukunft zu schätzen. Hinzuzufügen ist, dass
hierbei die Ceteris-Paribus-Bedingung erfüllt sein muss, d.h. dass die Beziehung
zwischen abhängiger Variable und einer oder mehrerer unabhängiger Variablen, in
Form der formulierten mathematischen Funktion, auch für die Zukunft gültig ist.
Davon zu unterscheiden sind sogenannte ,,Querschittsregressionen", mit Hilfe derer
man versucht, ein Unterscheidungsmerkmal von verschiedenen
Beobachtungsobjekten (zB. die Dividendenhöhe der EURO STOXX 50
Unternehmen) zu einem bestimmten Zeitpunkt durch eine oder mehrere Variablen zu
erklären
43
. Da die Kursprognose bezüglich des Anwendungsbereiches klar der
Zeitreihenanalyse zuzuordnen ist, wird auf die beiden ersten Punkte in Tabelle 3
nicht näher eingegangen. Demnach sollen auch alle weiteren Darstellungen
bezüglich der Regressionsanalyse im Sinne der Zeitreihenanalyse verstanden
werden
44
.
5.2.
Die Regression in der Finanzanalyse
Vor allem bei der Anwendung auf ökonomische Daten wird der Regressionsanalyse
eine große Bedeutung beigemessen. Da viele wirtschaftspolitische Theorien davon
ausgehen, dass (finanz-)wirtschaftliche Größen in bestimmten Abhängigkeiten
zueinander stehen, die auch über längere Zeiträume Gültigkeit haben, ist es
42
Backhaus, Klaus, 2000, S. 5
43
Vgl. Poddig, Thorsten, Dichtl, Hubert, Petersmeier, Kerstin, 2001, S. 203
25
naheliegend, diese Zusammenhänge in Form einer Regressionsgleichung zu
formulieren, um zukünftige Entwicklungen abschätzen zu können. Gelingt es
beispielsweise für eine bestimmte Aktie, die ,,wahren" Einflussgrößen zu finden
bzw. die ,,wahre" Beziehung zu dieser Aktie zu identifizieren, könnte genau
vorausgesagt werden, wie sich der Kurs der Aktie in der Zukunft entwickeln wird.
Daraus würden sich verständlicherweise weitreichende (lukrative)
Anwendungsmöglichkeiten ergeben. Aus diesen oder ähnlichen Beweggründen
wurden in der Vergangenheit zahlreiche Untersuchungen auf diesem Gebiet
durchgeführt. Bereits an dieser Stelle sei erwähnt, dass es bei der Anwendung zur
Aktienkursprognose bisher nicht gelungen ist, exakte Beziehungen zu identifizieren
und zukünftige Aktienkurse über längere Zeiträume richtig zu prognostizieren. Dies
liegt unter anderem an der Schwierigkeit, die geeigneten Einflussgrößen zu
bestimmen, die ,,wahre" Beziehung zu identifizieren und an strukturellen
Veränderungen der Zusammenhänge und Kausalitäten zwischen den einzelnen
Größen über die Zeit. In wieweit die Regressionsanalyse dennoch (erfolgreich)
eingesetzt werden kann und welche Grenzen ihr gesetzt sind, soll in den folgenden
Kapiteln behandelt werden.
Dabei wird zunächst auf das allgemeine, lineare Regressionsmodell eingegangen und
damit zusammenhängende Fragestellungen erläutert. Anschließend wird das
allgemeine Regressionsmodell auf den nichtlinearen Fall übertragen, die
Unterschiede zum linearen Modell aufgezeigt und auf Besonderheiten hingewiesen.
6. Lineare Regression
6.1. Das
ökonometrische Grundmodell
Die lineare Regression geht davon aus, dass zwischen einer zu erklärenden Variable
(Regressand) und einer oder mehreren erklärenden Variablen (Regressoren) eine
lineare Beziehung besteht. Mit Linearität ist hierbei gemeint, dass sich Regressand
und Regressoren nur in konstanten Relationen verändern
45
. Im einfachsten Fall wird
die Beziehung zwischen einer abhängigen und lediglich einer unabhängigen Variable
untersucht, was als Einfachregression bezeichnet wird. Im Gegensatz dazu fließt bei
einer Mehrfachregression oder auch Multiplen Regression genannt mehr als eine
44
Vgl. Backhaus, Klaus, 2000, S. 2 f.
45
Vgl. Backhaus, Klaus, 2000, S. 5 f.
Ende der Leseprobe aus 122 Seiten
- nach oben
Details
- Arbeit zitieren
- , 2003, Kursprognose mittels nichtlinearer Regression (MLP) vs. linearer Regression (OLS) am Beispiel der wöchentlichen Rendite des Dow Jones EURO STOXX 50, Hamburg, Bedey Media GmbH, https://www.diplom.de/document/222817
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