Das lineare Filterproblem in separablen Hilberträumen

Diplomarbeit von Torsten Narjes

Inhaltsangabe:

Einleitung:

Zum Verständnis dieser Diplomarbeit sind gute Kenntnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie und Integrationstheorie sowie Grundkenntnisse in Funktionalanalysis hilfreich.

Im Mittelpunkt meiner Diplomarbeit stehen zwei Themenbereiche, die ich nun kurz vorstellen möchte. Die Kapitel 1-6 geben eine umfangreiche Einführung in die Theorie der stochastischen Integration in Hilberträumen, wobei ich in Kapitel 1-3 zunächst grundlegende Begriffe wie z.B. Stoppzeit, Martingal oder bedingte Erwartung behandle. Daran schließt sich die eigentliche Einführung in die stochastische Integration in Hilberträumen an, wobei das Buch von M. MÉTIVIER und J. PELLAUMAIL die Basis für den von mir gewählten Zugang bildet. In Kapitel 4 werden dabei neben den grundlegenden Definitionen die Eigenschaften stochastischer Integrale und Integralprozesse sowie Konvergenzsätze für Folgen stochastischer Integralprozesse behandelt. In Kapitel 5 definiere ich die quadratischen und tensor-quadratischen Variationsprozesse und erarbeite wichtige Aussagen über diese Prozesse – dies dient zur Vorbereitung von Kapitel 6, das mit der Ito-Formel für stochastische Prozesse in Hilberträumen und einigen Korollaren hieraus die von mir gegebene Einführung in die Theorie der stochastischen Integration abschließt.

Die umfangreiche Behandlung der Theorie der stochastischen Integration ist als Unterbau für die Kapitel 7-9 erforderlich, die das lineare Filterproblem in separablen Hilberträumen behandeln. Hierbei handelt es sich um einen Gegenstand der stochastischen Kontrolltheorie. In der deterministischen Kontrolltheorie interessieren wir uns allgemein für lineare differentielle dynamische Systeme, d. h. für mathematische Modelle eines Teils der Realität, an dessen zeitlicher Veränderung wir interessiert sind – die Bezeichnung ‘linear differentiell’ drückt hierbei aus, daß nur solche Systeme betrachtet werden sollen, die sich durch lineare Differentialgleichungen beschreiben lassen. Wenn t (Formel im Original vorhanden) der Zeitparameter, x(t) der Systemzustand, u(t) die Eingangsgröße und y(t) die Ausgangsgröße zum Zeitpunkt t ist (x, u, y haben Werte in Vektorräumen), so hat ein solches System z. B. die Gestalt (im Originaltext befinden sich hier Formeln und eine Grafik).

Der Systemzustand zum Zeitpunkt t ist dabei eine Größe, die sämtliche Informationen über die Vorgeschichte des Systems enthält, die für die weitere zeitliche Entwicklung des Systems relevant ist. Der Ausgang y beschreibt die Wirkung des Systems auf seine Umgebung, die von einem Beobachter außerhalb des Systems erfaßt werden kann. Der Eingang u beschreibt den Einfluß der Umgebung auf das System. Enthält u sogenannte Stellgrößen, d. h. Parameter, die im Laufe der Zeit beliebig variiert werden können, so haben wir ein Kontrollsystem vorliegen. Einen Regelkreis erhalten wir, wenn der Eingang u auch eine Funktion der Beobachtungen y ist. Im allgemeinen wird u daneben auch unbeeinflußbare und zeitlich nicht vorhersehbare Störungen beschreiben. In der stochastischen Kontrolltheorie berücksichtigt man zufällige Störeinflüsse auf ein System und auf die Messung der Beobachtungen jeweils durch Terme, in denen Prozesse mit dem Namen ‘Weißes Rauschen’ auftreten. Damit sind Systemzustand und Beobachtungen durch stochastische Prozesse zu beschreiben.

Hierbei sind U und V voneinander stochastisch unabhängige Brown'sche Bewegungen. In heuristischer Weise läßt sich ein weißes Rauschen als Zeitableitung einer Brown'schen Bewegung interpretieren, jedoch ist dies rein formal, da Brown'sche Bewegungen fast sicher nirgendwo differenzierbare Pfade haben, und weil ein weißes Rauschen W Eigenschaften besitzt, die kein gewöhnlicher stochastischer Prozeß besitzen kann, dessen Realisierungen Hilbertraum-wertige Funktionen sind.

Neben den beiden großen Themenbereichen ‘Stochastische Integration’ und ‘Lineares Filterproblem’ enthält diese Arbeit im Anhang Informationen u.a. über Vektorkonjugation, Kovarianz-Operatoren und Charakterisierung Brown'scher Bewegungen in separablen Hilberträumen, soweit für diese Arbeit erforderlich. Zu vielen anderen wahrscheinlich-keitstheoretischen Aspekten in Banachräumen ist die Lektüre des Buchs von N.N. VAKHANIA et al. sehr empfehlenswert.

Inhaltsverzeichnis:

Textprobe:

Gerne senden wir Ihnen unter Angabe der Studiennummer 13809 eine Textprobe per E-Mail zu.