Turniere - Theorie und Anwendung

Das in Kapitel 3.1.1 eingef¨hrte Modell wird um einen dritten Teilnehmer erg¨nzt, u a dessen Wertsch¨tzung V3 annahmegem¨ß kleiner ist als die der anderen Spieler (V1 > a a V2 > V3 ).20 Im Folgenden soll gezeigt werden, dass f¨r Spieler 3 kein positives Gebot u aus seinem Tr¨ger existiert, dass zu einem h¨heren Nutzen als seinem (ebenfalls auf a o null normalisierten) Reservationsnutzen f¨hren w¨rde, wenn Spieler 1 und 2 die beu u reits hergeleitete Gleichgewichtsstrategie gem¨ß Gl. 3.5 und Gl. 3.8 verfolgen. Spieler a 3 wird in diesem Fall also x3 = 0 bieten, respektive auf eine Teilnahme an dem Turnier verzichten. Spieler 3 gewinnt (hypothetisch) dann das Turnier, wenn sowohl Spieler 1 als auch Spieler 2 ein geringeres Gebot als x3 abgeben. Da vollst¨ndige Information vorliegt, a sind die gleichgewichtigen Verteilungsfunktionen der Spieler und der entsprechende Tr¨ger bekannt und es gilt aus Sicht von Spieler 3 (f¨r den x1 und x2 Zufallsvariablen a u darstellen): P r{x1 < x3 ∀ x1 ∈ [x1 , x1 ] ∧ x2 < x3 ∀ x2 ∈ [x2 , x2 ]} = F1 (x3 )F2 (x3 ) (3.10) [...]

Grund f¨r diese Abweichung ist das Vorliegen von asymmetrischen Einsch¨tzungen u a bez¨glich der Wertsch¨tzungen der Spieler. Das Theorem der Erl¨s¨quivalenz ist wie u a oa bereits dargelegt lediglich unter folgenden Voraussetzungen anwendbar: If beliefs are ” identical [...] and individuals are risk-neutral, then the double dichotomy of contests [...] all generate the same expected expenditure. This result is termed the Revenue Equivalence Theorem“ (Hirshleifer 1992, S. 387). Im Kontext des vorgestellten Modells sind die Einsch¨tzungen der Turnierteilnehmer a bez¨glich der jeweiligen Wertsch¨tzungen allerdings nicht identisch, sondern asymu a metrisch, da jeder Teilnehmer aufgrund vollst¨ndiger Information die (heterogenen) a Wertsch¨tzungen aller anderen Teilnehmer mit Sicherheit kennt. Daher ist das Theoa rem der Erl¨s¨quivalenz f¨r diese Turnierspezifikation nicht anwendbar.19 oa u [...]

Da die Spieler nicht zur Teilnahme am Turnier gezwungen werden k¨nnen, greift die o Partizipationsbedingung, i.e. der erwartete Nutzen muss mindestens dem Reservationsnutzen r entsprechen, der in diesem Fall auf null normalisiert wird: E[πi (xi )] ≥ r = 0. Zur Bestimmung des Gleichgewichts in gemischten Strategien sind zun¨chst die Eia genschaften der Wahrscheinlichkeitsfunktion P r{xj < xi } n¨her zu bestimmen. Da a sich Spieler i einem randomisierenden Spieler j gegen¨ber sieht, interpretiert er desu sen Gebot xj als Zufallsvariable mit einer Verteilungsfunktion Fj , die annahmegem¨ß a (aufgrund vollst¨ndiger Information) bekannt ist. Es gilt also aus Sicht von Spieler i: a P r{xj < xi } = Fj (xi ), wobei xj durch Spieler i als Zufallsvariable interpretiert wird (deren Tr¨ger in Satz 3-4 hergeleitet wird). Durch Einsetzen in Gl. 3.2 ergibt sich a dann die modifizierte Nutzenfunktion f¨r Spieler i: u πi (xi ) = Fj (xi )Vi − xi (3.3) [...]