Die Zeitstruktur der impliziten Volatilitäten

rekombinierbaren Binomial- bzw. Trinomialbaum als zeitdiskrete Approximation des stochastischen Preisprozesses des Underlying (3.21) abzuleiten. Die Funktion der impliziten Lokalen Volatilitäten wird hier durch die zeitdiskreten einperiodigen Lokalen Volatilitäten an den einzelnen Knoten des Baums festgelegt. Die aus impliziten Binomial- und Trinomialbäumen abgeleiteten Optionspreise stimmen mit den Marktpreisen der Inputoptionen überein, wodurch sich die Modelle zur Abbildung der Zeitstruktur der impliziten Volatilitäten eignen. In den folgenden zeitdiskreten Modellen wird der Betrachtungszeitraum in N diskrete, äquidistante Teilperioden ∆t=T/N unterteilt. Insgesamt ergeben sich damit N+1 Betrachtungszeitpunkte 0, ∆t, 2∆t ,..., T. Der Aktienkurs stellt in diesen Modellen eine Zufallsvariable dar, die am Ende einer betrachteten Zeitperiode eine endliche Anzahl von neuen Werten annehmen kann. Dabei ist die Eintrittswahrscheinlichkeit des neuen Wertes bekannt. Beträgt der Aktienkurs nach n Perioden zum Zeitpunkt tn=n∆t bspw. Sn, so kann der Aktienkurs Sn+1 nach einer weiteren Periode zum Zeitpunkt tn+1 = (n+1)∆t jeden Wert aus einer a priori festgelegten endlichen Anzahl von Werten annehmen: Sn+1 ∈ {Sn+1,1, Sn+1,2, ..., Sn+1,N}. (5.1) [...]

27 P[ a ≤ x(t0) ≤ b |x(t ) = x ] = (4.3) Es sei angenommen, daß der Wert für x0 zu einem Zeitpunkt t0 feststeht. Sofern b≠0 besteht Unsicherheit über den zukünftigen Wert von x0. Dieser zukünftige Zeitpunkt und der Wert der Zufallsvariablen zu diesem Zeitpunkt werden mit t und x bezeichnet. Obwohl der Wert für x nicht unmittelbar bekannt ist, so kann dennoch die WDF für diesen Wert bestimmt werden, da (4.1) alle Informationen über die stochastische Entwicklung von x0 beinhaltet. Die Bestimmung dieser WDF erfolgt anhand einer PDG, der sog. Kolmogorov Forward Gleichung. Umgekehrt läßt sich über den Wert von x zum Zeitpunkt t die WDF für x0 zu einem früheren Zeitpunkt t0 ermitteln. Dies geschieht über die sog. Kolmogorov Backward Gleichung. Die beiden gesuchten WDF sind in der Funktion φ(x0,t0,x,t) enthalten. φ(.) wird auch als Green´sche Funktion bezeichnet. Sie erfüllt sowohl die Forward als auch die Backward Gleichung und kann als Lösung der beiden PDG abgeleitet werden 69. Zur Ableitung der Kolmogorov Gleichungen wird eine zeitdiskrete Darstellung des Zufallsprozesses in Form eines Trinomialprozesses gewählt [...]

daraus resultierenden zusätzlichen Risikokomponenten nicht ohne weiteres durch ein Hedgeportfolio aus dem zugrundeliegenden Wertpapier nachgebildet werden können, ist das Bewertungsmodell nicht länger vollständig und ermöglicht somit auch keine präferenzfreie Bewertung von Optionen 67. Da in impliziten Modellen die ungewisse Kursentwicklung dem Underlying den einzigen Risikofaktor darstellt, kann durch Bildung eines risikolosen Hedgeportfolios aus eine präferenzfreie Optionsbewertung in Analogie zum B/S Modell erfolgen. Implizite Modelle verwenden die Marktpreise gehandelter Optionen, sog. Inputoptionen, zur Ableitung des durch (3.21) beschriebenen Preisprozesses. Die aus impliziten Modellen resultierenden theoretischen Optionswerte stimmen daher mit den Marktwerten der Inputoptionen überein. Die in den Kapiteln 4 und 5 vorgestellten impliziten Modelle und Verfahren verwenden Marktpreise von Optionen mit allen möglichen Basispreisen und Fälligkeiten als Inputgrößen. Der aus ihnen abgeleitete implizite risikoneutrale Preisprozeß bildet daher die Zeitstruktur der impliziten Volatilitäten vollständig ab. [...]