Vorstellungen von Siebtklässlern zu Bruchzahlen und deren Multiplikation

Bachelorarbeit von Jessica Pilchner

Einleitung:

‘Und merk dir ein für allemal den wichtigsten von allen Sprüchen: Es liegt dir kein Geheimnis in der Zahl, allein ein großes in den Brüchen’.

Bedenkt man, dass diese Weisheit von keinem Geringeren als Johann Wolfgang von Goethe stammt, so wird erkennbar, dass sich die Bruchrechnung im Vergleich zur Rechnung mit natürlichen oder ganzen Zahlen schon vor langer Zeit als heikles Gebiet herausstellte. Heute greifen Mathematikdidaktiker wie Heinrich Winter Goethes Zitat auf, um aufzuzeigen, dass sich die gegenwärtige Situation in dieser Hinsicht nicht von der damaligen unterscheidet; weiterhin herrscht bei vielen Schülern eine große Verständnislosigkeit beim Übergang von den natürlichen Zahlen in den neuen Zahlbereich der Bruchzahlen. In zahlreichen didaktischen Lehrbüchern und fachdidaktischen Zeitschriftenartikeln zum Thema Bruchrechnung, die als hauptsächliche Literaturquellen dieser Arbeit dienen, weisen Mathematikdidaktiker daher ausdrücklich auf die Notwendigkeit hin, zuallererst ein ausreichend ausgebautes Grundverständnis von Bruchzahlen und deren Rechenoperationen bei den Schülern zu entwickeln, bevor die formalen Algorithmen der Bruchrechnung eingeführt werden, da sonst die Gefahr eines ‘sinnentleerte[n], auswendig gelernte[n], aber letztlich unverstandene[n]’ Rechnens bestehe.

Eine für diese Arbeit durchgeführte empirische Studie soll zeigen, inwieweit ein solches Grundverständnis tatsächlich bei Schülern aufgebaut wird. Die Daten dieser Untersuchung wurden mittels eines Briefwechsels mit drei Siebtklässlern, und somit nach der Vermittlung der wesentlichen Grundlagen zur Bruchrechnung im Unterricht, erhoben. Anhand verschiedener ausgewählter Aufgaben zu Bruchzahlen und insbesondere zur Multiplikation mit Bruchzahlen als Beispiel für eine der vier Grundrechenoperationen wird beobachtet, ob und falls ja, welche dazugehörigen Grundvorstellungen sich hinter den Schülerlösungen verbergen bzw. welche individuellen Vorstellungen erkennbar sind. Außerdem sollen mögliche Fehlvorstellungen der drei Schüler aufgedeckt werden.

Im zweiten Kapitel dieser Arbeit wird zunächst ein theoretisches Fundament zum Thema Bruchrechnung und Grundvorstellungen zu Bruchzahlen und deren Multiplikation geschaffen, auf das sich die empirische Studie der Verfasserin stützt. In Kapitel 3 stehen vordergründig die Beschreibung und Auswertung der Studie, welche den Hauptanteil der Arbeit einnehmen werden, gefolgt von einem abschließenden Fazit in Kapitel 4.

Allgemein sei darauf hingewiesen, dass die Interpretation der Schülerbriefe hauptsächlich der Einzelfallanalyse der drei untersuchten Schüler dient, da das zu geringe Datenmaterial keine allgemeingültigen Schlüsse zulässt. Das bedeutet, dass mithilfe der Analysen lediglich das Ziel verfolgt wird, herauszufinden, wie einige Schüler denken können, nicht jedoch, wie Schüler im Allgemeinen denken.

Inhaltsverzeichnis:

Textprobe:

Kapitel 3.4.3, Einzelfallanalyse Mia:

Die erste Aufgabe des ersten Briefs löst Mia ohne Schwierigkeiten und trifft mit ihrem Satz ‘Der Witz ist: Wenn man die Pizz [sic] in acht oder in vier Stücke teilt bleibt die Pizza gleich groß.’ in knapper Weise die Kernaussage des Comics. Sie verwendet bei ihrer Lösung keine mathematischen Ausdrücke oder Symbole (was aber auch nicht verlangt war), sondern bleibt auf der Sachebene.

Den ersten Teil der zweiten Aufgabe versteht sie nicht als Frage nach einer formalen Definition. Stattdessen versucht sie, anschaulich und unter der Verwendung von Grundvorstellungen zu erklären, was ein Bruch aussagt. Sie schreibt: ‘Ein bruch [sic] sagt aus wie viel Stück es sind oder kg, ml, L… wenn z. B. 1000ml sind drin aber man braucht aber nur 250ml ist das ein Viertel ml’. In diesem Satz ist eine klare Anteilsvorstellung von Bruchzahlen erkennbar. Mit dem Ausdruck ‘wie viel Stück es sind’ meint sie evtl. die Anzahl von Bruchteilen eines Ganzen und benutzt damit die Vorstellung des Bruchs als Teil eines Ganzen. Das Wort ‘Stück’ verwendet sie hierbei vermutlich in Assoziation mit Pizza- oder Tortenstücken, die in der Regel im Unterricht zur Veranschaulichung von Bruchteilen eingesetzt werden. Besonders dominant in ihrer Lösung ist der Maßzahlaspekt, der durch die aufgeführten Einheiten kg und ml bzw. l deutlich wird. Da sie evtl. merkt, dass die Erklärung ‘Ein bruch [sic] sagt aus wie viel […] kg, ml, L…’ es sind nicht zur Abgrenzung eines Bruchs von einer natürlichen Zahl ausreicht, fügt sie ein Alltagsbeispiel mit konkreten Zahlen an. Auffällig ist ihr Fehler bei der Umwandlung von 250ml in einen Bruch: Statt ein Viertel (von 1000ml) oder ein Viertel l schreibt sie ein Viertel ml. Entweder ist ihr lediglich ein Flüchtigkeitsfehler unterlaufen oder sie hat die Gleichheit von 250 und ein Viertel in diesem Kontext soweit verinnerlicht, dass sie die Einheit ml unreflektiert übernimmt. Vielleicht hat sie sich auch an den 1000ml orientiert und hätte die richtige Einheit gewählt, wenn sie 1000ml durch 1l ersetzt hätte.

Im zweiten Teil der zweiten Aufgabe verwendet sie zwei der gängigsten bildlichen Darstellungen zweidimensionaler geometrischer Ganzer zur Darstellung von ein Viertel einen Kreis und ein Quadrat, die beide in vier kongruente Teile geteilt wurden und von denen jeweils ein Teil ausgemalt ist. Als weitere Darstellung für ein Viertel benutzt sie das Alltagsbeispiel aus der vorherigen Teilaufgabe. Diesmal schreibt sie jedoch korrekterweise, dass 250ml ‘ein Viertel von den 1000 ml’ sind und benutzt damit die Operatorvorstellung bzw. den Bruchzahlaspekt ‘Teil mehrerer Ganzer’.

Zu Beginn der dritten Aufgabe betrachtet Mia nicht nur die Ergebnisse, sondern bereits die falschen Rechenwege, was ihr Satz ‘Sie [die Ergebnisse] können nicht stimmen weil, sie es nicht durch 6 geteilt haben hatte [sic] sie es geteilt wären es 400€ das was der Lehrer spändet [sic].’ zeigt. Beim Erstellen der Aufgabe wäre es deshalb vermutlich geschickter gewesen, die Ergebnisse erst getrennt von den Lösungswegen aufzuführen. In Mias nachfolgender Lösung der ‘Herr Brinkmeier’-Aufgabe teilt sie die 2400€ zu recht durch 6, zu der sie anscheinend nachträglich den Nenner 1 ergänzt (evtl. um ihre Rechnung dem Thema Bruchrechnung anzupassen ohne dabei mit Brüchen zu operieren), und erhält 400€, die sie zuletzt unvollständiger Weise mit ein Sechstel gleichsetzt. Letzteres erläutert sie in der wörtlichen Beschreibung ihrer Rechnung mit ‘das ist dann ein Sechstel von den [sic] Geld’. Die mathematische Übersetzung von ‘von den [sic] Geld’ vernachlässigt sie in ihrer Rechnung, was man entweder so deuten kann, dass sie dies einfach für überflüssig und ‘ein Sechstel‘ für aussagekräftig genug befindet oder dass sie die Übersetzung aufgrund von Unsicherheiten bzgl. des passenden Rechensymbols für das Wort ‘von’ vermeidet. Über diese Unklarheiten geben Mias nächste Briefe Aufschluss.

In Mias Analysen der beiden Rechenwege wird klar, dass sie keine Vermutung zu den Hintergründen der falschen Denkstrategie der beiden Schüler hat. Sie gibt an, dass sie Benjamins Lösung nicht versteht. Zu Annas Lösung schreibt sie ‘Anna: hat gedacht, das [sic] man das mal 6 rechnen muss und sie muss eigentlich geteilt rechnen.’ Damit übergeht Mia jedoch den ersten Schritt in Annas Rechnung, in dem durch ein Sechstel geteilt wurde. Stattdessen erkennt sie erst in Annas zweitem Schritt den Fehler, nämlich, dass eine Multiplikation mit 6 in jedem Fall falsch ist, was bedeutet, dass sie die Division durch ein Sechstel scheinbar nicht sofort als Fehler identifizieren kann.

Beim Vergleich der beiden ‘Herr Brinkmeier’-Aufgaben schlussfolgert Mia sinnvoll: ‘Sie konnten es wohl richtig rechen [sic] weil, kein Bruch vorkommt. Es kamm [sic] sofort die Zahl vor durch sie rechnen mussten.’ Mias eigene Lösung der ‘Herr Brinkmeier’-Aufgabe, ihre Erläuterungen zu Annas Rechenweg und der zuletzt genannte Vergleich lassen vermuten, dass Mia das Rechnen mit Brüchen als schwierig empfindet und gerne auf ein Rechnen mit natürlichen Zahlen ausweicht, da sie evtl. mit den Rechenoperationen in diesem Bereich vertrauter ist. Da das geringe Material diesen Verdacht jedoch noch nicht gut genug stützt, werden die Auswertungen der nächsten Briefe mit der dieses Briefs abgeglichen.