Varianzreduzierende Verfahren der Monte-Carlo-Simulation und deren Anwendung bei der Bewertung von Bandbreitenoptionen

Diplomarbeit von Dirk Fach

Einleitung:

Seit Anfang der achtziger Jahre werden an den internationalen Finanzmärkten immer wieder neue derivative Finanzinstrumente entwickelt, zu denen sich keine Bewertung anhand einer analytischen Lösung finden läßt. Eine Methode der Optionsbewertung - neben der numerischen Integration - ist die Schätzung des Optionspreises durch die sogenannte Monte-Carlo-Simulation.

Die Monte-Carlo-Methode ist ein "Verfahren der stochastischen Simulation zur näherungsweisen Bestimmung von mathematischen Größen, die abhängig vom Zufall (Verteilungsfunktionen) sind".

Die Vorteile dieses Verfahrens sind die Flexibilität in Bezug auf die Verteilung, mit der die Wertpapierpreisentwicklung beschrieben wird, und die Einfachheit der Implementierung der Methode. Ebenfalls kann man die Monte-Carlo-Simulation als Kontrollverfahren für andere Bewertungsverfahren benutzen.

Die Nachteile der Monte-Carlo-Simulation sind zum einen, daß das Ergebnis der Simulation durch die Beeinflussung von Zufallseffekten ebenfalls als Zufallsvariable anzusehen ist', so daß der Fehler einer Simulation ebenfalls vom Zufall abhängt und nicht exakt vorherbestimmt werden kann, zum anderen weist die Monte-Carlo-Simulation ein langsames Konvergenzverhalten hinsichtlich des exakten Ergebnisses auf, so daß häufig ein hoher Simulationsumfang angewendet werden muß.

Phelim P. Boyle war 1977 der erste Wirtschaftswissenschaftler, der die Monte-Carlo-Simulationstechnik zur Bewertung von Optionen einführte. Hierbei simulierte er durch Computerprogrammierung mögliche Kursverläufe eines unbestimmten Wertpapiers N-mal und leitete anhand der simulierten Schlußkurse zum Fälligkeitstermin die Payoffs einer europäischen Call-Option her. Die Summe der Payoffs teilte er daraufhin durch die Gesamtzahl der Simulationsdurchläufe (N) und erhielt so einen unverzerrten Schätzer für den Wert der Option.

Boyle erkannte, daß die Präzision des so ermittelten Schätzers vom Umfang der Simulation (N) abhängig ist und führte bereits zwei varianzreduzierende Verfahren ein, um den Fehler der Simulation zu verringern, ohne den Umfang der Simulation zu erhöhen.

Seit 1977 hat sich die Monte-Carlo-Simulation als Instrument zur Bewertung von derivativen Wertpapieren etabliert. Das Verfahren wurde benutzt um komparative Preise für andere Bewertungstechniken zu entwickeln, häufiger kam die Methode jedoch zum Einsatz, wenn kein analytischer Bewertungsansatz gefunden werden konnte. Dies war und ist oft der Fall, wenn eine Option z.B. pfadabhängig ist, einen komplizierten Payoff oder einfach eine komplexe Struktur besitzt.

Obwohl Boyle bereits 1977 behauptete, daß man anhand der Monte-Carlo-Simulation auch Optionen amerikanischen Typs bewerten kann, veröffentlichten dazu erst 1992 Clewlow/Carverhill einen Artikel , so daß sich die Forschung auf Optionen europäischer Art zu konzentrieren scheint).

Trotz des häufigen Gebrauchs der Monte-Carlo-Simulation zur Optionsbewertung ab 1977 ist es erstaunlich, daß seitdem sehr wenig unternommen wurde, um die Effizienz des Verfahrens zu verbessern. Dies ist anhand sogenannter varianzreduzierender Verfahren, die den Fehler einer Simulation verringern, ohne den Simulationsumfang zu erhöhen, möglich. In einem ersten Artikel arbeiteten Hull/White 1988 an einem varianzreduzierenden Verfahren (das in Kapitel 2.3 als Kontrollvariat-Methode vorgestellt wird). Erst 1992 beschäftigten sich Clewlow/Carverhill wieder intensiver mit varianzreduzierenden Methoden der Monte-Carlo-Simulation. Mittlerweile hatte dieses Bewertungsverfahren jedoch eine so bedeutende Stellung eingenommen, daß in den darauffolgenden Jahren ungleich mehr geforscht und veröffentlicht wurde.

Gang der Untersuchung:

In der vorliegenden Diplomarbeit werden zunächst in Kapitel 2 - nach einer kurzen Einführung in die Monte-Carlo-Methode - die relevanten Varianzreduktionstechniken formal vorgestellt. Hierbei werden die Reduzierung der Varianz, also des Fehlers der jeweiligen Simulation, und eventuelle Besonderheiten der einzelnen Verfahren herausgearbeitet.

Kapitel 3 ist als Exkurs zu betrachten, da hier mit der Verwendung von Quasi-Zufallsfolgen ein anderer Weg als im vorherigen Kapitel eingeschlagen wird, um die Varianz zu reduzieren.

Die theoretischen Erkenntnisse der Kapitel 2 und 3 werden daraufhin in Kapitel 4 anhand einer praktischen Simulationsstudie untersucht. Um eine möglichst große Anzahl von Varianzreduktionsverfahren anwenden zu können, wurde daher eine einfache europäische Call-Option ausgesucht, deren varianzreduzierte Simulationsergebnisse in diesem Kapitel verglichen werden.

Kapitel 5 behandelt den Fall eines pfadabhängigen Optionstyps. Am Spezialfall einer sogenannten Bandbreitenoption werden einige der in Kapitel 2 dargestellten Varianzreduktionsverfahren sowie die aus Kapitel 3 bekannten Quasi-Zufallsfolgen auf ihre Effektivität hin untersucht.

Kapitel 6 beschließt diese Arbeit und stellt noch einmal die wesentlichen Ergebnisse dar.

Inhaltsverzeichnis: