Untersuchungen des Verhaltens von AD-Wandlern nach dem Sigma-Delta-Prinzip mit einem oder zwei Integratoren und deren Simulation mit MATHEMATICA

Diplomarbeit von Frank Schulte

Zusammenfassung:

Diese Diplomarbeit ist der mathematischen Beschreibung, einigen theoretischen Untersuchungen sowie der Erstellung zweier Computerprogramme in MATHEMATICA als Werkzeug zur Simulation spezieller Analog-Digital-Wandler (kurz: AD-Wandler) mit einem oder zwei Integratoren gewidmet.

AD-Wandler spielen in vielen Bereichen der Technik (z.B. Elektrotechnik, Meßtechnik) eine bedeutende Rolle, insbesondere in der Signalübertragung und -verarbeitung. Allerdings sind die Anforderungen an diese Bauteile sehr unterschiedlich, diese gehen von sehr schnellen bis hin zu hochauflösenden AD-Wandlern.

In dieser Diplomarbeit sollen AD-Wandler, die nach dem Sigma-Delta-Verfahren arbeiten, betrachtet werden, wie sie in der Literatur beschrieben sind, da dieses Verfahren sehr häufig Anwendung findet. Sie bestehen aus einem AD-Modulator mit n Integratoren (kurz: AD-Modulator n-ter Ordnung) und aus dem sich anschließenden Digitalfilter. Der AD-Modulator n-ter Ordnung hat die Aufgabe, ein analoges Eingangssignal (z.B. Spannung) in ein digitales Ausgangssignal (Bitfolge aus Nullen und Einsen) umzusetzen, der Digitalfilter wandelt diese Bitfolge in eine speziell codierte Digitalzahl (z.B. Dezimal- oder Binärzahl) um.

Hervorzuheben ist bei dieser Thematik, daß es sich funktionsbedingt um ein diskret-kontinuierliches System handelt, das heißt, es treten stetige (z.B. Eingangsspannung) und diskrete Größen (z.B. erzeugte Bitfolge am Ausgang des AD-Modulators) auf, die in den Formeln verknüpft werden müssen (Mixed-Mode-Simulation).

Die Arbeit ist wie folgt aufgebaut:

Im ersten Kapitel wird die Arbeit kurz zusammengefaßt; außerdem werden die in der Arbeit sowie in den Computerprogrammen verwendeten Bezeichnungen vorgestellt.

Im zweiten Kapitel wird der AD-Wandler mit einem Integrator untersucht. Zu diesem Zweck wird zuerst der Aufbau erklärt, dann werden aus den mathematischen Beschreibungen der einzelnen Baugruppen verschiedene Rekursionsformeln für den AD-Wandler hergeleitet. Außerdem wird die explizite Lösungsformel einschließlich ihrer Gültigkeitsbereiche angegeben und bewiesen. Im folgenden Abschnitt wird nach einigen Vorbetrachtungen das Verhalten der expliziten Lösungsformel theoretisch untersucht, wenn von Eingangsgrößen die Gültigkeitsbereiche der expliziten Lösungsformel verletzt werden; dieses Verhalten wird mit dem Verhalten der Rekursionsformel verglichen. Danach werden einige Aussagen zur Filterung, d.h. zur Gewinnung des Digitalsignals aus der Bitfolge getroffen, z.B. mit einer gleitenden Mittelung. Am Ende dieses Kapitels wird das zugehörige erstellte Computerprogramm AD-W-1 ausführlich beschrieben. Es wird an mehreren sehr unterschiedlichen Beispielen getestet, und es werden Untersuchungen zur Rechenzeit der rekursiven und expliziten Formeln durchgeführt und ausgewertet.

Im dritten Kapitel wird der AD-Wandler mit zwei Integratoren behandelt. Es baut nicht auf Kapitel 2 auf. Auch hier werden zuerst der Aufbau, die mathematische Beschreibung und verschiedene Rekursionsformeln angegeben; anschließend wird kurz auf die Filterung eingegangen. Danach wird das entsprechende Computerprogramm AD-W-2 beschrieben, welches auf das Programm AD-W-1 aufbaut. Es wird an verschiedenen Beispielen getestet. Es werden Untersuchungen zur Rechenzeit der rekursiven und expliziten Formel durchgeführt und ausgewertet.

Im Ausblick werden weitere Schwerpunkte im theoretischen Bereich sowie Erweiterungsmöglichkeiten des Computerprogramms angegeben.

Inhaltsverzeichnis: