Theorie und Numerik unterschiedlicher Elementformulierungen von Scheibenproblemen

Bachelorarbeit von Sergej Oks

Einleitung:

Elementformulierungen egal welcher Art basieren zunächst auf einem dreidimensionalen Problem. Durch Annahmen und Umformungen wird dieses Problem auf eine Form heruntergebrochen, mit der man, mit möglichst wenig Rechenleistung bzw. -aufwand, Berechnungen durchführen kann, die eine zufriedenstellende Lösung bieten. In diesem Sinne werden zu Beginn dieser Arbeit Grundgleichungen aufgestellt und auf die, für Scheibenprobleme, nötige Dimension reduziert. Mit diesen Grundgleichungen kann dann die Definition der Verschiebungsmethode erfolgen und es können auch die Schwächen dieser Definition herauskristallisiert werden.

Das Ziel dieser Thesis ist es nach der Einführung in die Elementformulierungen für Scheibenprobleme anhand der Verschiebungsmethode aufbauend darauf andere Elementformulierungen vorzustellen und zu diskutieren, die die Schwächen der Verschiebungsmethode nicht aufweisen bzw. effizienter sind. Die Theorie dieser Formulierungen soll besprochen und danach an konkreten numerischen Beispielen veranschaulicht werden.

Zu den ausgewählten Elementformulierungen gehören neben der Verschiebungsmethode (Kapitel 3) noch die B -Methode (Kapitel 5) und im Kapitel 6 die Enhanced Strain Methode. Es wird stets die Elementebene betrachtet, da hier die wichtigsten Informationen herauszulesen sind. Anschließend soll das Kapitel 7 noch einige Hinweise zur Assemblierung der Elementinformationen zum Gesamtsystem geben.

Inhaltsverzeichnis:

Textprobe:

Kapitel 3, Verschiebungsmethode:

Die einfachste Methode Verschiebungen und Deformationen eines Körpers zu berechnen stellt die Verschiebungsmethode dar. Dies ist zugleich der Prototyp aller entwickelten Methoden. Hier werden die Verschiebungen als Unbekannte gesucht, um mit den ermittelten Verschiebungen dann auf die Dehnungen und damit auch auf die Spannungen im Inneren des Körpers schließen zu können. Die im Folgenden beschriebenen Unterkapitel zur schwachen Form, Diskretisierung und Implementierung sind stets auf Elementebene definiert. Hinweise zur Assemblierung der Elementinformationen zum Gesamtgleichungssystem sind im Kapitel 7 enthalten.

3.1, Schwache Form der Verschiebungsmethode:

Mit Hilfe der schwachen Form (äquivalent zu Variationsprinzipen) ist es erst möglich Finite Elemente zu berechnen. In dieser Gleichgewichtsformulierung wird ersichtlich, wie das gesamte Gleichungssystem für ein Problem aussieht und wie es demnach gelöst werden kann. Man erhält die schwache Form durch Multiplikation einer Testfunktion mit den zuvor formulierten Gleichungen.