Symmetrien und die Erhaltungsgrößen der Mechanik

Staatsexamensarbeit von Sascha Burgstedt

Einleitung:

Das Thema dieser fachwissenschaftlichen Arbeit ist sicherlich kein rein mathematisches, kommt der Hauptgegenstand doch aus der Physik. Die klassische Mechanik als Teil der theoretischen Physik eröffnet aber eine Vielzahl von Anwendungszusammenhängen f r die mathematischen Disziplinen.

Die im Zentrum der Mechanik stehenden konservativen Systeme von Massenpunkten weisen bezüglich spezieller Transformationen Symmetrien auf, aus denen sich Erhaltungsgrößen ableiten lassen. Dieses Phänomen ist das eigentliche Thema dieser Arbeit. Hinführend soll jedoch erst die zugrundeliegende Theorie besprochen werden.

Im ersten Kapitel wird der Begriff der Symmetrie definiert. Dabei wird die Gruppentheorie allerdings ausgelassen, da diese, trotz ihrer Relevanz bezüglich des Symmetriebegriffs in der Mathematik, f r die Untersuchungen in dieser Arbeit nicht benötigt wird.

Das zweite Kapitel bietet eine kurze Einführung in die NEWTONsche Mechanik. Es werden grundlegende Begriffe und Größen eingeführt, z. B. Begriffe wie Ort, Zeit, Massenpunkt oder Größen wie Impuls, Kraft, kinetische und potentielle Energie. Am Ende des zweiten Kapitels stehen Koordinatentransformationen im Blickpunkt, da sich durch die Einführung geeigneter allgemeiner Koordinaten das Auffinden der die Bahnkurven der Massenpunkte beschreibenden Funktionen vereinfachen 1ässt.

Die im dritten Kapitel hergeleitete EULER-Differentialgleichung ist als notwendige Bedingung an die Bahnkurve ein nicht zu vernachlässigender Bestandteil der Mechanik. Die Herleitung ergibt sich anschaulich aus dem sog. Brachistochronenproblem, das von JACOB BERNOULLI formuliert wurde. Mit der im vierten Kapitel definierten LAGRANGE-Funktion und dem darauf folgenden HAMITLONSchen Prinzip hat man zusammen mit den Ergebnissen des dritten Kapitels Instrumente, um die Bewegungsgleichungen von Massenpunkten nur mit Hilfe der Kenntnis über kinetische und potentielle Energie eines Massenpunktsystems zu bestimmen: die EULER-LAGRANGE-Gleichung. Sie wird am Ende des Kapitels auf einige ausgesuchte physikalische Probleme angewendet.

Das fünfte Kapitel bildet den Höhepunkt dieser Arbeit. Mit Hilfe des HAMILTONschen Prinzips aus dem vorigen Kapitel und des Theorems von EMMY NOETHER lassen sich Erkenntnisse über den Zusammenhang der LAGRANGE-Funktion mit Erhaltungsgrößen gewinnen. Die nachfolgenden Symmetriebetrachtungen und die daraus folgenden Erhaltungsgrößen bilden schließlich den Abschluss dieser Arbeit.

Inhaltsverzeichnis: