Stabile Integrationsverfahren für Darcy-Strömungen mit Abfluss-Randbedingungen

Diplomarbeit von Matthias Siehl

Einleitung:

In der Landwirtschaft sowie in der Landschaftsplanung hängen viele Probleme mit dem Zu- und Abfluss von Wasser zusammen. Beim Bau von Straßen oder betonierten Flächen, die keine Versickerung zulassen, muss garantiert sein, dass große Wassermengen, die z.B. durch einen Platzregen entstehen, ablaufen können.

Dazu ist es wichtig zu wissen, wie und wie schnell das Wasser abläuft und wo es sich sammelt. Wenn es zur Versickerung kommt, ist es auch von Interesse, wie sich das versickerte Wasser im Boden verteilt, um die Verteilung von Nährstoffen im Boden vorhersagen zu können. Auf einem völlig ebenen Acker verteilt sich der Dünger gleichmäßiger als auf einem unebenen.

Um diese Vorgänge verstehen und simulieren zu können, bedient man sich der physikalischen Gesetze der Hydrodynamik und Hydrogeologie und koppelt diese miteinander.

Die Prozesse im Boden beeinflussen das an der Oberfläche abfließende Wasser und umgekehrt. In dieser Arbeit werden die Flachwassergleichung aus der Hydrodynamik und das empirische Gesetz von Darcy aus der Hydrogeologie miteinander gekoppelt und numerisch gelöst. Es werden beide Probleme zeitgleich mit voneinander abhängigen Daten gelöst.

Wie viele andere physikalische Gesetze führen diese auf die Lösung von partiellen Diferentialgleichungen, deren Lösung analytisch, außer in Spezialfällen, nicht zugänglich ist.

Numerische Verfahren, die in den letzten Jahrzehnten entwickelt wurden und besonders von der Verfügbarkeit schneller Computer proftieren, sollen hier vorgestellt und implementiert werden.

Das Anliegen dieser Arbeit wird dabei sein diese Verfahren so zu implementieren dass sie stabil ablaufen und mit vertretbarem Rechenaufwand physikalisch sinnvolle Ergebnisse liefern.

Inhaltsverzeichnis:

Textprobe:

Kapitel 6.1, Abflussrandbedingungen am Hang:

In folgendem Beispiel wird das MATLAB-Programm LF05ab.m vorgestellt. Es benutzt das Lax-Friedrich-Verfahren und simuliert den Abfluss am rechten Gebietsrand, indem dort in jedem Rechenschritt 20 Prozent der Wasserhöhe abgezogen werden. Dadurch wird das Gesamtvolumen reduziert. In diesem Beispiel hat der Hang eine Steigung von 5 Prozent und eine Länge von 100 Metern. 100 Sekunden in 1000 Zeitschritten wurden berechnet. Um Division durch sehr kleine Zahlen zu verhindern, rechnet der Algorithmus nur, wenn die Wasserhöhe an der jeweiligen Stützstelle größer als 0.0001 ist. Das dadurch nicht ablaufende Wasser kann vernachlässigt werden. Die Anfangsbedingungen am Hang sind so gewählt, dass die Wasseroberfläche genau horizontal ausgerichtet ist, also ohne die Abflussbedingung in Ruhe bleibt, siehe Abbildung 6.1. Während der Berechnung verringert sich das Gesamtvolumen bis es komplett verschwindet . Die maximale Courantzahl C , für jeden Zeitschritt, wurde in Abbildung 6.2 aufgetragen, um das Monotonieverhalten und die Einhaltung der CFL-Bedingung zu garantieren. Wie diese Bilder zeigen, lief die Berechnung wie vorhergesagt ab. Im Quellcode wird der Verlauf ebenfalls als Movie ausgegeben.

Regen auf Ackersenke:

Ein weiteres numerisches Beispiel wurde mit dem Matlab-Programm LF05rsp.m gerechnet. Dieses Programm nutzt wieder das Lax-Friedrich-Verfahren und simuliert einen 100 Meter langen Hang, auf den für 100 Sekunden ein sehr starker Platzregen niedergeht. Zur Veranschaulichung einer Ackersenke wurde dabei der Berg, mitsamt dem Wasserstand, am rechten Rand gespiegelt. Es fand also sowohl am linken wie auch am rechten Rand kein Ausfluss statt. Der Zuwachs an Masse sollte also nur durch den inhomogenen Regenterm R in der Flachwassergleichung erfolgen.

Es ist zu beachten, das Abbildung 6.5 nicht maßstabgerecht ist. Der Zuwachs an Masse ist linear und entspricht dem Regenterm. Das Wasser hat sich, wie erwartet, in der Ackersenke angesammelt. Das Wasser wird durch den Impuls der durch die Hangabtriebskraft entsteht in die Mitte gedrückt. Dadurch entsteht eine Mulde am Rand des gefüllten Wasserbeckens.

Gekoppeltes Extrembeispiel:

In diesem numerischen Beispiel wird das gekoppelte Modell das erste Mal vorgestellt. Es wurde dafür das Matlab-Programm Kopplungdamm.m geschrieben. Für das hyperbolische Problem benutzten wir das Lax-Wendrof-Verfahren und das schon bekannte Dammbruch-Beispiel. Die Startbedingungen entsprechen denen in Kapitel 4.1.5. Das elliptische Modell wird auf einem 50 × 100-Gitter gelöst. Die Simulation läuft mit einer Zeitschrittweite von dt = 0, 01 über 1500 Zeitschritte. Die Randbedingungen für das elliptische Problem wurden so gewählt, dass kein Abfluss an den Rändern auftritt, die nicht an das hyperbolische Problem gekoppelt sind. Das Gesamtvolumen sollte also erhalten bleiben. Der Durchlässigkeitsbeiwert ist mit K = 10 so groß gewählt, dass innerhalb der berechneten Zeit das Wasser zur Ruhe kommt. Außerdem sollten durch diesen hohen Wert die Oszillationen, die wir beim Lax-Wendrof-Verfahren feststellten, gedämpft werden, da die Versickerung von h abhängt. Die Abbildungen 6.6, 6.7, 6.8 und 6.9 zeigen die Druckverteilung im Boden nach 0, 2,5, 5 und 15 Sekunden und Abbildung 6.10 zeigt den Höhenverlauf h am Ende der Berechnung. Das Gesamtvolumen blieb erhalten und die Oszillationen wurden gedämpft, jedoch nicht vollständig wie der Höhenverlauf am Ende zeigt. Am Ende der Simulation stellte sich ein Gleichgewicht ein. Der Druck im Boden ist über das Gebiet konstant, es kommt also nicht mehr zur Versickerung und das Wasser bleibt in Ruhe.

Regen und Versickerung:

In diesem Beispiel wird die Laplace-Gleichung mit der Flachwassergleichung gekoppelt. Die Flachwassergleichung wird mit 100 Stützstellen berechnet, ebenso die Laplace-Gleichung. Das vorgestellt Lax-Friedrich-Verfahren und das Diferenzen- verfahren mit dem SOR-Algorithmus werden benutzt. Die Kopplung wurde, wie im Kapitel 5 beschrieben, implementiert. Der Zeitschritt betrug 0, 05 Sekunden und die Ortsschrittweite einen Meter. Das Programm Kopplung.m lief dabei über 1000 Zeitschritte. Am Ende der Berechnung waren 1.92 Volumeneinheiten, bei einem Durchlässigkeitsbeiwert von 0.001, versickert. Abbildung 6.17 zeigt wieder die Volumenzunahme. Die Abbildungen 6.11, 6.12, 6.13, 6.14, 6.15 und 6.16 zeigen die Druckverteilung im Boden nach 0, 10, 20, 30, 40 und 50 Sekunden. Anhand dieser Druckverteilung ließe sich nun die Strömung des Grundwassers während der Berechnung, nach dem Gesetz von Darcy, bestimmen.