Stabile Approximation partieller Ableitungen auf Lp mit Hilfe von Wavelets

Diplomarbeit von Eric von Lieres

Einleitung:

Das Hauptergebnis dieser Arbeit ist die Erweiterung spezieller Ergebnisse von Dinh Nho Hào, Hans-Jürgen Reinhardt und Adrian Schneider auf allgemeinere Funktionenklassen. Mit Hilfe von Wavelets entwickelten sie unter anderem ein Verfahren zur stabilen Approximation schwacher Ableitungen auf dem Hilbertraum L2(R). Meine Aufgabe war, dieses Verfahren in Theorie und Praxis für Banachräume Lp(Rn) mit Indizes 1

In Kapitel 4 wird mit Hilfe spezieller Wavelets ein Verfahren zur stabilen Approximation partieller Ableitungen auf Banachräumen Lp(Rn) mit Indizes 1

Die beiden Fälle p=1 und p=unendlich bleiben in den folgenden Betrachtungen ausgeklammert, da die in dieser Arbeit verwendeten Methoden, in den entsprechenden Räumen, aus verschiedenen Gründen, nicht ohne weiteres angewendet werden können. Im Raum L1 existiert keine unbedingte Basis, wohingegen es im Raum L unendlich nicht einmal eine Schauder-Basis geben kann, da er nicht separabel ist. Die vorliegenden Ergebnisse erlauben jedoch die näherungsweise Betrachtung der ausgeschlossenen Grenzfälle. Nicht immer sind die Endpunkte der Skala [1, unendlich] die interessanten Fälle: Treten Polstellen auf, so kann die Messung der Abweichungen von den exakten Daten der Ordnung der Singularitäten angepaßt werden. Man kann das Maß - salopp gesprochen - so maximal wie möglich wählen.

Gang der Untersuchung:Im dritten Kapitel wird der Begriff der Multiresolutionsanalyse eingeführt. Es handelt sich um eine Ausschöpfung des betrachteten Raumes Lp(Rn) durch translations-invariante Unterräume Vj mit Indizes j Element Z, deren Basen durch Skalierung und Translation einer sogenannten Skalierungsfunktion Phi generiert werden können. Sind alle Elemente der Räume Vj von einer gewissen Regularität, so erhält man, unter Zuhilfenahme geeigneter Projektionen, eine einfache Methode zur Glättung gestörter Daten. Die den Skalierungsfunktionen zugeordneten Wavelets werden, obgleich für das Verfahren nicht benötigt, der Vollständigkeit halber, ebenfalls eingeführt. Besonders herausgearbeitet wird die Verallgemeinerung auf den Fall p ungleich 2. Unter technischen Voraussetzungen wird gezeigt, daß die Orthogonalität der Wavelet-Basen in einem Hilbertraum L2(Rn) bereits ihre numerische Stabilität in allen Banachräumen Lp(Rn) mit Indizes 1

Das Verfahren zur stabilen Approximation partieller Ableitungen auf Lp mit Hilfe von Wavelets wird im vierten Kapitel ausführlich vorgestellt. Mit Hilfe einer Ungleichung vom Bernstein-Typ wird gezeigt, daß der Vorgang der Differentiation auf allen Räumen Vj ein gut gestelltes Problem ist. Eine Ungleichung vom Jackson-Typ sichert die Approximation des ungestörten Problems. Die Beweise beider Ungleichungen bilden, gemeinsam mit dem Beweis der Konvergenz des vorgestellten Verfahrens, das Hauptergebnis der vorliegenden Arbeit. Zur praktischen Umsetzung des Verfahrens faßt man den Vorgang der Glättung mit dem der Differentiation zusammen und erhält eine Folge von Operatoren LJ, die auf Lp(Rn) stetig sind. Es wird gezeigt, wie der Glättungsparameter J, in Abhängigkeit der Größe des Datenfehlers, optimal zu wählen ist und welche Ordnung der Konvergenz bei dieser Wahl zu erreichen ist.

Die numerischen Beispiele im fünften Kapitel sind jeweils so gewählt, daß eine bestimmte Eigenschaft des Verfahrens besonders herausgestellt wird. Zunächst werden die technische Umsetzung des Vorgangs der Differentiation erläutert und notwendige Annahmen über die Struktur des Datenfehlers gemacht. Mit dem ersten Beispiel wird dann eine sehr ausführliche Darstellung der verschiedenen Stadien des Prozesses der Glättung eines schlecht gestellten Problems über R2 gegeben. Wavelets mit grundsätzlich verschiedenen Eigenschaften werden im praktischen Einsatz miteinander verglichen. Es folgt eine experimentelle Untersuchung des Einflusses der Wahl des Index p auf den Verlauf des Approximationsfehlers. Im zweiten Beispiel wird von der Lokalisation der Wavelet-Transformation Gebrauch gemacht und damit ein wesentlicher Vorteil gegenüber der Fourier-Transformation zur Geltung gebracht. Durch die Wahl geeigneter Ausgangsdaten wird der Einfluß einiger für das Problem charakteristischer Parameter analysiert. Die gezielte Verletzung einiger Voraussetzungen dient der Untersuchung der Schärfe der entsprechenden mathematischen Aussagen. Das dritte Beispiel hat den Zweck, die Ordnung des vorgestellten Verfahrens zu veranschaulichen. Das dynamische Verhalten der Approximationen der exakten Lösung bei fallender Größe des Datenfehlers wird für verschiedene Indizes p dargestellt.

Inhaltsverzeichnis: