Über die Spingruppe eines pseudoeuklidischen Vektorraumes

Diplomarbeit von Yuliya Schumacher

Einleitung:

Die spezielle orthogonale Gruppe eines euklidischen Vektorraumes U ist bekanntlich wegweise zusammenhängend und besitzt daher eine universelle Überlagerung. In (12) wird beschrieben, wie eine universelle Überlagerungsgruppe von SO(U), die sog. Spingruppe, „konstruiert“ werden kann.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, ob dieses Konstruktionsverfahren auch für pseudoeuklidische Vektorräume realisierbar ist und ob es zu dem gleichen Ergebnis führt, wie für einen euklidischen Vektorraum U. Unter einem pseudoeuklidischen Vektorraum ist dabei ein endlich-dimensionaler reeller Vektorraum V mit einer nicht-entarteten, symmetrischen Bilinearform zu verstehen. Die positive Definitheit wird also nicht verlangt.

Bei dem in (12) beschriebenen Ansatz wird mit der Clifford-Algebra des Vektorraumes U bzw. mit der Gruppe ihrer Einheiten gearbeitet: dort wird zunächst die sog. Clifford.Gruppe „extrahiert“, welche später als eine Liesche Gruppe erkannt wird. Vermöge eines bestimmten Liegruppen-Homomorphismus p (der explizit angegeben werden kann) wird die Clifford-Gruppe surjektiv auf die orthogonale Gruppe O(U) abgebildet. Ein surjektiver Liegruppen-Homomorphismus, dessen Kern diskret ist, ist bekanntlich bereits eine Überlagerung. Allerdings besteht der Kern von p aus ganz. Um dieses Problem zu beheben, wird p auf eine derartige Liesche Untergruppe der Clifford-Gruppe eingeschränkt, p dass der Kern dieser Einschränkung diskret wird, wobei die Surjektivität erhalten bleibt. Diese Untergruppe wird in der Literatur mit Pin bezeichnet. Da der Kern von pPin nun aus nur 2 Elementen besteht, wird pPin zu einer zweiblättrigen Überlagerung von O(U). Anschließend wird in Pin eine weitere Liesche Untergruppe, die sog. Spingruppe Spin(U) „entdeckt“, so dass die Einschränkung von p auf Spin(U) zu einer zweiblättrigen Überlagerung von SO(U) wird. Darüber hinaus stellt man fest, dass die Spingruppe Spin(U) einfach-zusammenhängend und somit eine universelle Überlagerungsgruppe von SO(U) ist. Als Orientierungsquelle hierfür wird im Rahmen dieser Arbeit größtenteils (12) verwendet.

Inhaltsverzeichnis:

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