Spezifische Gruppen und Burnsidegruppen

Diplomarbeit von Michael Meyling

Einleitung:

In seiner Dissertation führt C. Gabriel die algebraische Struktur einer spezifischen Gruppe ein. Für jede scharf 2-fach transitive Permutationsgruppe, deren Involutionen Fixpunkte haben, ist die von den Involutionen erzeugte Untergruppe eine spezifische Gruppe. Nun ist jeder scharf 2-fach transitiven Permutationsgruppe (bis auf Isomorphie) umkehrbar eindeutig ein Fastbereich zugeordnet.

Falls ein Fastbereich (mit Charakteristik ungleich 2) kein Fastkörper ist, so muß die zugehörige spezifische Gruppe irregulär sein. C. Gabriel hat aus Burnsidegruppen irreguläre spezifische Gruppen konstruiert.

Es stellt sich nun die Frage, ob diese aus scharf 2-fach transitiven Permutationsgruppen gewonnen werden können. Damit wäre die Existenz echter Fastbereiche nachgewiesen.

In der vorliegenden Arbeit wird jedoch gezeigt, daß solche Permutationsgruppen nicht existieren. Dabei wird eine neue gruppentheoretische Charakterisierung von Fastbereichen angegeben.

Gang der Untersuchung:

Im ersten Kapitel werden die Automorphismengruppen von semidirekten Produkten mit charakteristischen Untergruppen betrachtet. Es zeigt sich, daß solch ein Automorphismus durch zwei Untergruppenautomorphismen und eine Abbildung zwischen beiden Untergruppen beschrieben wird. Dabei gelten bestimmte Eigenschaften, die umgekehrt auch hinreichend für die Konstruktion eines Automorphismus sind. Besondere Beachtung erfährt der Fall mit einer Untergruppe der Ordnung 2, da die spezifischen Gruppen sich in dieser Art darstellen lassen.

Das zweite Kapitel beschäftigt sich mit spezifischen Gruppen und dem Zusammenhang zu Fastbereichen und scharf 2-fach transitiven Permutationsgruppen. Es werden einige elementare Sätze für von ihren Involutionen erzeugte Gruppen, deren Involutionen nicht vertauschen, bewiesen. Durch Hinzunahme weiterer Bedingungen werden die spezifischen Gruppen definiert. Ihre Einbettung in auf den Involutionen scharf 2-fach transitiven Automorphismengruppen ist notwendige und hinreichende Bedingung für ihre Ableitbarkeit aus scharf 2-fach transitiven Permutationsgruppen. Dabei zeigt sich eine Erweiterung der Zentralisatorbedingung für spezifische Gruppen als tragfähig genug, die Struktur von scharf 2-fach transitiven Permutationsgruppen zu beschreiben. Damit gelingt eine weitere gruppentheoretische Kennzeichnung von Fastbereichen.

Die Burnsidegruppen B(m,n) werden im dritten Kapitel eingeführt. Dabei ist B(m,n) die allgemeine von m Elementen erzeugte Gruppe mit Exponent n.

Als Burnsidesches Problem ist die Frage nach der Endlichkeit dieser Gruppen bekannt. Mit den Arbeiten von P. S. Novikov und S. I. Adjan wurde die Unendlichkeit von B(m,n) für m>1 und ungerades n >= 665 nachgewiesen. Als wichtig erweist sich die elementare Konstruktion einer bestimmten charakteristischen Untergruppe einer Burnsidegruppe.

Im letzten Kapitel werden die aus Burnsidegruppen mit Primzahlexponenten p >= 665 gewonnenen spezifischen Gruppen behandelt. Die charakteristische Untergruppe macht die Einbettung in eine scharf 2-fach transitive Automorphismengruppe unmöglich, und daher können diese spezifischen Gruppen nicht aus Fastbereichen gewonnen werden.

Inhaltsverzeichnis: