Zur Simulation Approximierbarkeit einer Funktion samt Ableitungen durch Polynome

Diplomarbeit von Elke Weigert

Gang der Untersuchung:

Der vorliegenden Diplomarbeit liegt im wesentlichen der Artikel "Simultaneous approximation by polynomial projection Operators" von T.F. Xie und S.P. Zhou zugrunde. Er behandelt die Approximierbarkeit einer Funktion f Element aus Cq[-1,1] samt ihrer Ableitungen durch Polynome Pn vom Grad <= n, ,wenn die Übereinstimmung von f und Pn auf gewissen Systemen Yn von Interpolationsknoten gefordert wird. Die Stützstellen aus Yn konvergieren dabei wie O(n hoch (-2)) gegen +1 bzw. -1.

Einen Überblick über die Vorgehensweise der Arbeit liefert die folgende Zusammenstellung.

Zu Beginn werden die in der Arbeit verwendeten Hilfsmittel bereitgestellt. Hierzu gehören die Hermitesche Interpolation und die trigonometrischen Polynome, die Fourierreihe und ihre n-te Partialsumme und das Mittel von de la Vallée-Poussin. Ferner definiert man, für f Element aus C[-1,1] das Stetigkeitsmaß w(f, h) und die Schmiegungsmaße wr (f, h). Als Approximationsgrad En(f) bezeichnet man den Abstand von f zum Raum Pn aller Polynome vom Grad <= n bezüglich der Maximumsnorm.

Der Inhalt des zweiten Kapitels ist im wesentlichen der Beweis der Jackson-Sätze. Diese Sätze schätzen den Approximationsgrad stetiger Funktionen ab, insbesondere durch das Stetigkeitsmaß der Ableitungen dieser Funktionen. Hierbei gelingt in Theorem 2.13 für f Element aus Cq[-1,1] eine Abschätzung Für den Beweis der Jackson-Sätze sind in der Literatur unterschiedliche Methoden bekannt. In dieser Arbeit werden die Eigenschaften spezieller trigonometrischer Polynome, der sogenannten Jackson-Kerne und Jackson-Operatoren, benutzt.

Das dritte Kapitel behandelt weitergehende Sätze über die Approximierbarkeit stetig differenzierbarer Funktionen durch Polynome, insbesondere das Theorem von Timan.

Im Mittelpunkt des vierten Kapitels stehen die Bernstein-Ungleichung und tiefergehende Aussagen für die Ableitung von Polynomen.

Das fünfte und sechste Kapitel beschäftigen sich mit dem Beweis des Theorems von Gopengauz und des Theorems von Kilgore. Das Theorem von Gopengauz liefert eine Verschärfung des Theorems von Timan aus dem dritten Kapitel.

Im Mittelpunkt des letzten Kapitels steht die Approximierbarkeit stetig differenzierbarer Funktionen durch Polynome, die in Stützstellensystemen Yn interpolieren. Diese Systeme zeichnen sich dadurch aus, daß ihre Knoten wie O(n hoch (-2)) gegen +1 bzw. -1 konvergieren und ihre Knotenzähl konstant ist. Auf derartige interpolierende Polynome werden die Aussagen der Theoreme von Gopengauz und von Kilgore übertragen. Im zweiten Teil des Kapitels betrachtet man ein Approximationsverfahren, das auf K. Baläsz und T. Kilgore zurückgeht.

Inhaltsverzeichnis: