Numerische Optimierung des Shortfall-Risikos von Aktienportfolios am Beispiel des Value at risk

Eine Möglichkeit den Wertpapierkurs, bzw. die Wertpapierrendite als stochastischen Prozess zu formulieren, besteht darin den zeitlichen Verlauf mit Hilfe stochastischer Differentialgleichungen vom Typ (4.1) / (4.2) zu modellieren. Der bekannteste Ansatz ist diesbezüglich die Geometrisch Brownsche Bewegung (GBB), welche im Folgeabschnitt definiert wird. Zusätzlich wird noch auf die CEV – Diffusionsprozesse eingegangen, welche die GBB als Sonderfall enthalten. Ferner besteht auch die Möglichkeit den Diffusionskoeffizienten in Gleichung (4.1) / (4.2) als Itô – Prozess zu charakterisieren. Dann besitzt dieser ebenfalls die Gestalt einer stochastischen Differentialgleichung. Singer (1999) listet auf S. 212 eine Vielzahl solcher Modellvarianten auf. Diese sogenannten „Modelle mit stochastischer Volatilität“ werden in dieser Arbeit nicht weiter verfolgt. [...]

Durch das Verändern von Anlagepositionen wird auch die Struktur des Kerndichteschätzers verändert. Insbesondere wird regelmäßig die „optimale Bandbreite“ und das z1- α Quantil revidiert, wodurch sich die Struktur der Verlustverteilung ändert. Deshalb kann man entgegen den Ausführungen in Abschnitt 2.4.4 nicht sicherstellen, dass Fα(ê,V) konvex ist, obwohl die Verlustfunktion in den Anlagepositionen konvex ist. Dies erschwert die Optimierung. Zunächst werden jedoch die partiellen Ableitungen von Fα nach den Anlagepositionen ei benötigt. Dies kann numerisch z. B. mit Hilfe von Ridders polynomieller Extrapolation erfolgen (siehe Press u. a. (2002), S. 188 f.) oder einer polynominellen Chebyshev - Approximation von Fα (siehe Press u. a. (2002), S. 195 f.). Man erhält dann näherungsweise die benötigten partiellen Ableitungen11: (3.21) λi ≈ [...]

Aufgrund von Feiertagen oder Wochenenden existieren für bestimmte Zeitpunkte tk keine Kursdaten. Gemäß Franke, Härdle u.a. (2001), S. 94 f. haben empirische Untersuchungen gezeigt, dass z. B. die Volatilität der logarithmierten Kursänderung von Freitag auf Montag nicht wesentlich von der täglichen Kursänderung abweicht. Deshalb kann auf eine Berechnung von Renditen mit absenten Startkursdaten verzichtet werden. Umgekehrt kann bei fehlenden Endkursdaten der Preis des Wertpapiers am nächsten verfügbaren Handelstag verwendet werden. Ziel der Renditekalkulation (3.14) ist es, die Kursbeobachtungen in eine stationäre Zeitreihe umzuformen, um diese als Datenbasis für eine Kerndichteschätzung zu nutzen. Dabei wird für das nachstehend beschriebene Verfahren grundsätzlich auf einfache Renditen ri∆t zurückgegriffen. In diesem Zusammenhang ist noch darauf hinzuweisen, dass aufgrund der Konstruktion der Renditezeitreihe eventuell vorhandene Autokorrelationen Einfluss auf die Güte der Kerndichteschätzung haben können. Sei ê = (e1, e2, ...,en)T der Wertpapierpositionsvektor für das Portfolio, dessen Preis SPF(k) sich im Zeitpunkt tk aus SPF(ê,k)=Σi=1..n(eiSi(k)) berechnen lässt. Dann kann aus den Renditen ri∆t(•) der Wertpapiere die Portfoliorendite bestimmt werden: [...]