Numerische Berechnung der Energieeigenwerte und Eigenfunktionen in Potentialen und supersymmetrischen Potentialen

Diplomarbeit von Harald Führer

Einleitung:

Anfang des letzten Jahrhunderts steckte die Physik in einer Krise. Die klassische Physik war im Grossen und Ganzen schon bewiesen und in der Praxis angewandt. Allerdings ergaben sich bei gewissen Experimenten und Forschungen zum Teil gravierende Unstimmigkeiten mit der klassischen Mechanik.

In der Welt der kleinsten Teilchen, der Elektronen, herrschen andere Gesetze als in der Welt der makroskopischen Körper. Ein Elektron verhält sich nicht wie ein aus dem Alltagsleben bekanntes Teilchen, sondern hat sowohl Wellen-, als auch Teilchencharakter.

Die Quantentheorie beschreibt den physikalischen Zustand eines Teilchens durch eine Differentialgleichung, die nach dem Physiker und Nobelpreisträger Erwin Schrödinger benannt ist. Abhängig von der Komplexität einer gegebenen Potentialfunktion ist diese Differentialgleichung analytisch schwer oder gar nicht mehr lösbar.

Die vorliegende Diplomarbeit beschäftigt sich mit der Quantenphysik an sich und der numerischen Berechnung der Eigenfunktionen und Eigenwerte von beliebigen Potentialfunktionen. Die Berechnung ist mit einem am Computer programmierten, ereignisgesteuerten und mit einer Benutzeroberfläche ausgestatteten Programm möglich, ebenso wie automatische Plotfunktionen. Im weiteren Teil der Arbeit wird dann zu Supersymmetrischen Potentialen und deren numerischer Behandlung mit programmtechnischer Umsetzung für genauere Analysen übergegangen.

Abstract:

At the beginning of the last century, the science of physics was facing a crisis. Although matters of classical physics were more or less scientifically proven and applied in practice, the results of certain experiments achieved through physics showed great deviations from the results achieved through classical mechanics.

Engineering principles applicable to the smallest microscopic particles are not the same as those principles applicable to macroscopic particles. An electron does not act in the same way as an ordinary particle known from every day life mainly because an electron is identified by its wave and particle-dualism.

Quantum theory describes the physical condition of a particle by using a differential equation set up by the physicist and Nobel prize winner Erwin Schrödinger. Depending on the complexity of the potential function, the solution of this differential equation by analytical means is either very difficult or not possible at all.

This thesis approaches design engineering from the perspective of quantum physics with the main focus on numeric design engineering of eigenfunctions and eigenvalues of any potential function. Numeric design engineering is achieved by means of a computer controlled program equipped with a user interface for automatic plotting of curves. Finally, supersymmetric potentials and their numeric handling are dealt with as well. This thesis also concentrates on how to get more precise analyses by using computer programs.

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