Multiplizieren von Quantengruppen

Diplomarbeit von Gert Burkhart

Einleitung:

Quantengruppen als quantisierte Universelle Einhüllende von Lie-Algebren sind Gegenstand der vorliegenden Arbeit. Sie bietet eine Einführung in die Thematik, setzt lediglich Grundkenntnisse der Darstellungstheorie Halbeinfacher Lie-Algebren voraus, wie sie etwa bei Humpfreys, Jacobsen, Serre oder Bourbaki vermittelt werden, und ordnet die Darstellungstheorie der Quantengruppen in die Physik konformer Feldtheorien ein.

Ansatzpunkt für weitere Forschung könnte die Untersuchung der durch Wahl des Quantisierungsparameters verursachten Reduzibilität von Gewichtsräumen sein.

Gang der Untersuchung:

Die vorliegende Arbeit stellt zunächst in Kurzform (Kapitel 1) einige wesentliche Begriffe, Definitionen und Sätze zur Darstellungstheorie der Halbeinfachen Lie-Algebren vor. Einige besonders einfache (Gewichtsdiagramm zum Höchstgewicht I = 4 I1 + I2) oder den Physikern wohlbekannte Darstellungen (Isospinoktett, Quarktripletts) werden exemplarisch betrachtet und grafisch gezeigt. Hierzu werden Multiplizitäten nach Freudenthals , Formel und dem Satz von Kostant und Dimensionen der Gewichtsräume nach Weyl berechnet.

Ausgehend hiervon werden kurz die wesentlichen Operationen auf und Eigenschaften von Hopf-Algebren aufgeführt. Über die Definition der Quasitriangularität bei Hopf-Algebren und den Zusammenhang zur Yang-Baxter-Gleichung erhält man die Verbindung zu Quantengruppen als speziellen Hopf-Algebren. Die Hopf-Algebra-Eigenschaft der Quantengruppen wird durch Verifikation der Hopf-Algebra-Rechenregeln für Quantengruppen gezeigt.

Die Darstellungstheorie Halbeinfacher Lie-Algebren wird auf Quantengruppen übertragen. Es wird gezeigt, dass bei nicht verschwindender Quantendimension der Gewichtsräume, berechnet nach der quantifizierten Weyl-Formel, die Darstellungstheorie derjenigen der Halbeinfachen Lie-Algebren entspricht. Für den Quantifizierungsparameter q = l sind beider (Lie-Algebra und entsprechende Quanten-Gruppe) Dimensionen sogar identisch.

Interessant sind im weiteren die Fälle, in denen die Quanten-Dimension verschwindet. Es wird, ausgehend von den Überlegungen Dobrevs, untersucht, in welchen dieser Fällen die Multiplizitäten der Quantengruppendarstellungen von denen der entsprechenden Lie-Algebren abweichen. Inwieweit dies für Elementarteilchen-Multipletts (Ununterscheidbarkeit mehrerer Elementarteilchen bei hohen Energien) Bedeutung haben könnte, muss offen bleiben.

In den konformen Feldtheorien sind die Quantendimensionen gerade die Fusions-Regel Eigenwerte für das Identitätsfeld als primäres Feld. Die Bestimmung der Fusionsregeln der Wess-Zumino-Witten Theorien sind ein wesentlicher Schritt bei der Klassifizierung und Lösung konformer Feldtheorien. Sie führen, mathematisch in die Theorie der Zopf-Gruppen und Knotentheorie, was am Beispiel der Yang-Baxter-Gleichung grafisch veranschaulicht wird.

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