Modellierung und Bewertung von Bonitätsrisiken

Charakterisierung und Annahmen In diesem Modell tritt Insolvenz ein, wenn der Marktwert des Unternehmens V ein stochastisches Niveau K zum ersten Mal unterschreitet. Die Gl¨ubiger a erhalten bei Insolvenz einen exogen spezifizierten Bruchteil (1−W ) vom Nennwert der Anleihe. Da W (T ) eine exogen gegebene Konstante ist, k¨nnen die o Wertpapiere unabh¨ngig voneinander bewertet werden.91 a Es werden die folgenden Annahmen getroffen:92 a • Es existieren perfekte, friktionslose Finanzm¨rkte. • Der Marktwert des Unternehmens folgt dV = (αV V − C)dt + σV V dz1 a a C ist der Betrag, den die Investoren (Aktion¨re, Gl¨ubiger) des Unternehmens pro infinitesimaler Zeiteinheit erhalten. • Als Zinsprozess wird hier Vasicek (1977) angenommen. Prinzipiell k¨nnen o aber auch andere Zinsmodelle zum Einsatz kommen. • Die Korrelation zwischen dz1 und dz2 ist ρdt. [...]

Charakterisierung und Annahmen Briys/de Varenne (1997) korrigieren die inkonsistente Modellierung des Auftretens von Insolvenz beim Modell von Longstaff/Schwartz (1995).86 In ihrem Modell wird nun zum einen sichergestellt, dass die Zahlung an die Gl¨ubiger a im Falle der Insolvenz nicht gr¨ßer sein kann als der Firmenwert und zum ano deren wird das Modell von Longstaff/Schwartz (1995) um eine stochastische Insolvenzschwelle erweitert.87 Insolvenz tritt ein, sobald der Marktwert des Unternehmens eine stochastische Insolvenzschwelle K(t) erreicht. Die Gl¨ubia ger erhalten dann einen exogen spezifizierten Bruchteil des Marktwertes der Verm¨gensgegenst¨nde des Unternehmens. o a Es werden die folgenden Annahmen getroffen:88 • Es existieren perfekte, friktionslose Finanzm¨rkte. a • Der Marktwert des Unternehmens folgt dV = αV V dt + σV V ( 1 − ρ2 dz1 + ρdz2 ) • Der Zinsprozess ist wie folgt gegeben:89 dr = k(γ − r)dt + σr dz2 Risiken Die dem Modell zugrundeliegende Unsicherheit entspricht wiederum dem Modell von Shimko et al. (1993), mit dem Ergebnis, dass der Markt komplett ist und das Papier F dupliziert werden kann. [...]

• Wenn das Unternehmen den finanziellen Verpflichtungen nicht mehr nachkommen kann, tritt Insolvenz ein. Diese ist mit keinen Kosten verbunden. • Die (konstante) untere Reorganisationsgrenze (lower reorganization bounˆ dary) f¨r den Wert des Unternehmens ist V ∗ = C/γ. Bei diesem Wert, u ist der cash flow gerade groß genug, um die vertragsm¨ßigen Coupons zu a zahlen. • Im Fall der Insolvenz erhalten die Gl¨ubiger den Betrag a ˆ min[δ(τ )B(r, τ ; C), V ∗ ] Die Gl¨ubiger erhalten somit entweder einen Bruchteil δ(τ ) ≥ 0 einer a ˆ vergleichbaren risikolosen Anleihe B(r, τ ; C) oder – falls geringer – den Marktwert des Unternehmens. Es wird angenommen, dass δ(T ) = 1 gilt und es wird somit sichergestellt, dass die Gl¨ubiger bei F¨lligkeit a a min(D, V ) erhalten. Risiken Wie im Modell von Shimko et al. (1993) gibt es auch hier zwei Unsicherheitsquellen. Die Zinsunsicherheit – generiert durch z2 – kann mit dem Papier B neutralisiert werden. Die den Marktwert des Unternehmens betreffende Unsicherheit kann mit dem Underlying V gehedged werden. Das Papier F kann wiederum dupliziert werden. Marktpreis des Risikos und FPDE Die vom Papier F zu erf¨llende FPDE lautet:85 u √ 1 1 2 2 FV V V 2 σV + FrV ρV σV σr r + Frr σr r + 2 2 √ ˆ +Fr (k(γ − r) − λr σr r) + FV (αV V − C − λV V σV ) − r F + Ft + C = 0 (12) Die Komponenten des Marktpreises des Risikos sind identisch mit den im Modell von Shimko et al. (1993) berechneten Gr¨ßen. o [...]