Lösbarkeit von Gleichungen höheren Grades

Staatsexamensarbeit von Gudrun Otto

Einleitung:

Das Auffinden von Lösungen für Gleichungen höheren Grades beschäftigt Mathematiker aller Regionen und aller Epochen seit nun mehr ca. 4000 Jahren und ist sogar namensgebend für eines der wichtigsten Teilgebiete der Mathematik. Die Bezeichnung Algebra ist abgeleitet aus dem Titel des Buchs Hisab al-gabr w'al muqabala (‚Über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen’), das der arabischen Mathematiker AL-KHWARIZIMI ca. im Jahr 830 veröffentlichte. In diesem Buch beschreibt AL-KHWARIZIMI geometrische Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen. AL-KHWARIZIMI löst Gleichungen mit den Methoden, die wir heute noch verwenden: Abziehen von gleichen Ausdrücke auf beiden Seiten der Gleichung (‚Ausgleichen’), um gleiche Potenzen zusammenzufassen, und Hinüberschaffen eines negativen Gliedes auf die andere Seite (‚Ergänzen’), so dass sich positive Koeffizienten ergeben (negative Zahlen wurden ja noch nicht verwendet).

Von diesen Arbeiten ausgehend, möchte ich im ersten Teil einen Überblick über die wichtigsten geschichtlichen Entwicklungen geben. Hierbei geht es hauptsächlich um die allgemeine Lösbarkeit von Gleichungen, also um die Suche nach Lösungsformeln.

Der zweite Teil widmet sich dann ganz den praktischen Anwendungen, dass heißt hier sollen Verfahren entwickelt werden, mit deren Hilfe man die Lösungen einer Gleichung n-ten Grades näherungsweise berechnen kann. Dabei sollen nur solche Verfahren zum Einsatz kommen, die anschaulich mit den Mitteln der Schulmathematik hergeleitet werden können.

Im heutigen Mathematikunterricht spielen Gleichungen vom Grad n > 2 kaum noch eine Rolle. Ob dies daran liegt, dass es für Gleichungen vom Grad n  5 keine Lösungsformel mehr gibt und die Lösungsformeln für Gleichungen vom Grad n = 3 und n = 4 schon recht kompliziert sind, bleibt nur zu vermuten.

Es wird sich aber zeigen, dass es durchaus möglich ist, mit einfachen Mitteln das Thema Lösungen von Gleichungen n-ten Grades komplett zu behandeln. Auch die Lösungsformeln lassen sich, wie man hoffentlich im ersten Teil erkennen wird, auf anschauliche Weise herleiten.

Inhaltsverzeichnis:

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