Kontaktprobleme bei flexiblen Mehrkörpersystemen in Deskriptorform

Diplomarbeit von Alexander Kallischko

Einleitung:

Bei der Simulation mechanischer Systeme spielen Kontaktbetrachtungen eine immer wichtigere Rolle. In der Automobilentwicklung z.B. treten in Crashtests große Deformationen der Fahrzeuge auf, die es zu simulieren gilt, um die Auswirkungen auf die Insassen beurteilen zu können und konstruktive Maßnahmen zu deren Schutz weiterzuentwickeln und erneut testen zu können. Auch in vielerlei mechanischen Maschinen, die aus mehreren beweglichen Teilen bestehen ist es sinnvoll, Kontaktbetrachtungen durchzuführen, damit die Belastungen auf die einzelnen Teile abgeschätzt werden können. Besonders beanspruchte Teile können dann verstärkt werden, um die Lebensdauer der Maschine zu verlängern. Den mathematischen Rahmen für diese Betrachtungen liefert die Modellierung als flexibles Mehrkörpersystem, in dem sowohl Starrkörper, als auch elastische Körper miteinander gekoppelt und so deren zeitliches Verhalten studiert werden können. Das Modell liefert ein System von Bewegungsgleichungen, die es numerisch zu behandeln gilt.

Gemäß der Modellvorstellung kann es in einem flexiblen Mehrkörpersystem dann zu Zusammenstößen oder allgemein zu Kontakten zwischen den Körpern kommen. Diese Kontakte gilt es bei dem System der Bewegungsgleichungen mitzuberücksichtigen. Dadurch, dass sich während einer Simulation mehrfach Körper mit einer wechselnden Anzahl von Kontaktpunkten berühren können, kann sich die Anzahl der Nebenbedingungen und damit auch die Dimension des Gleichungssystems mehrmals ändern. Um dies zu vermeiden, wurden Ansätze wie das Penalty-Verfahren oder das Augmented-Lagrange-Verfahren entwickelt, welche diesen Effekt der Dimensionsänderung umgehen, aber dadurch auch unter Einbußen bei der Genauigkeit leiden. Daher ist es das Ziel dieser Diplomarbeit, die Kontaktnebenbedingungen direkt anzukoppeln und das enstehende System von Bewegungsgleichungen direkt zu behandeln. Die Betrachtungen werden auf den zweidimensionalen Fall beschränkt bleiben und ausschließlich Normalkontakt behandeln. Reibungseinflüsse werden außen vor gelassen.

Bevor die Kontaktprobleme an sich in Angriff genommen werden können, ist es nötig, wichtige Grundlagen über die Modellierung flexibler Mehrkörpersysteme darzulegen. Dies wird in Kapitel 1 geschehen. Angefangen bei kinematischen Betrachtungen zur Lokalisierung eines Punktes auf einem elastischen Körper, über die Kinetik bis hin zur Berechnung von Massenmatrix, Steifigkeitsmatrix und die Einbindung externer Kräfte wird aufgezeigt, wie mit dem Hamilton-Prinzip die Bewegungsgleichungen der einzelnen Körper hergeleitet werden. Überdies werden die wichtigsten Begriffe der Kontinuumsmechanik näher beleuchtet. Durch die Ankopplung kinematischer Nebenbedingungen mit Lagrange-Multiplikatoren ergibt sich schließlich die Deskriptorform, ein System von differential-algebraischen Geichungen (DAEs). Außerdem werden sämtliche Größen auch auf den Spezialfall eines reinen Starrkörpersystems reduziert. Mit den Grundlagen zur Behandlung von Unstetigkeiten stehen alle nötigen Werkzeuge zur Verfügung, um Kontaktprobleme untersuchen zu können.

Der reine Starrkörperkontakt bildet den Schwerpunkt in Kapitel 2. Dabei werden die zentralen Begriffe der Kontaktkinematik wie Normalabstand und -geschwindigkeit definiert und erläutert. Damit wird eine wichtige zusätzliche Grundlage auch für flexible Mehrkörpersysteme gelegt. Die unterschiedliche Behandlung von elastischen und plastischen Starrkörperstößen wird anhand der Poisson'schen Stoßhypothese aufgezeigt.

Die Erweiterung auf ein flexibles Mehrkörpersystem erfolgt in Kapitel 3. Ausgehend von der Betrachtung als Optimierungsproblem wird bei der Diskretisierung auf die Theorie vom Kontakt zweier elastischer Körper zurückgegriffen und diese entsprechend vereinfacht. Im statischen Fall ergibt sich daraus ein nichtlineares Gleichungssystem, das mit einem Newtonverfahren gelöst werden kann. Die dynamische Simulation führt auf die Ankopplung zusätzlicher Kontaktnebenbedingungen und somit auch zusätzlicher Lagrange-Multiplikatoren, die den Kontaktkräften entsprechen.

Kapitel 4 wird die Implementierung und die Simulationsergebnisse sowohl für reine Starrkörpersysteme, als auch flexible Mehrkörpersystem behandeln. Dabei wird sowohl auf den statischen, wie auch auf den dynamischen Fall eingegangen und die dabei auftretenden Probleme erläutert.

Inhaltsverzeichnis: