Investitionsbewertung und Bestimmung des optimalen Investitionszeitpunktes mit dem Realoptionsansatz

die weiteren Entscheidungsknoten vorgegangen. Im Unterschied zu Investitionsmöglichkeiten, die europäischen Optionen oder amerikanischen Calls auf Underlyings ohne Dividendenauszahlung entsprechen, muß hierbei aber die Möglichkeit der vorzeitigen Optionsausübung ins Kalkül miteinbezogen und der optimale Investitionszeitpunkt bestimmt werden. Die Durchführung der Investition ist dann optimal, wenn die Auszahlung, die sich bei Ausübung der Option ergibt, den Wert, den das Halten der Option zu diesem Zeitpunkt hat, übersteigt. In einem solchen Fall wird nicht länger abgewartet, sondern das Projekt implementiert. Unter Berücksichtigung dieses Sachverhalts ergibt sich z.B. für Fu 2 ein Wert von Fu 2 = max[u 2V (1−δ ) 2 − I , ( pFu 3 + (1− p) Fu 2 d ) (1+ i )] . Auf diese Weise fließen alle Situationen, in denen eine vorzeitige Optionsausübung vorteilhaft wäre, in die Bewertung mit ein.68 In allgemeiner Schreibweise ergibt sich bei einer Laufzeit von n Perioden in der k-ten Periode nach j Aufwärtsbewegungen ein Wert von Fk , j = max[u j d k − jV (1−δ ) k − I , ( pFk +1, j +1 + (1− p) Fk +1, j ) (1+ i )] mit 0 ≤ k ≤ n und 0 ≤ j ≤ k . Im Falle einer Verkaufsoption auf ein Underlying mit kontinuierlicher dividendenähnlicher Auszahlung muß der erste Ausdruck in der Klammer in Gleichung 4.8, der den Wert der Option bei Ausübung angibt, durch I − u j d k − jV (1-δ)k ersetzt werden.69 Wenn die Wertverluste des Projektes, die sich im Zeitablauf ergeben, keine Proportion des Projektwertes am jeweiligen Entscheidungsknoten sind, sondern eine vom Projektwert unabhängige Auszahlung D, laufen die Knotenpunkte des Entscheidungsbaumes nach der dividendenähnlichen Auszahlung nicht mehr zusammen. Insbesondere für den Fall mehrerer solcher Dividendenauszahlungen über die Laufzeit der Option hinweg, ergibt sich eine sehr große Anzahl von Entscheidungsknoten. Um dieses Problem zu vermeiden, wird der Wert des Basisaktivums in einen unsicheren [...]

ein Konkurrenzunternehmen je abgewarteter Periode einen Marktanteil von zehn Prozent sichert, dann nimmt δ den Wert 0,1 an. Ein anteilsmäßiger Wertverlust im Zeitablauf läßt sich im Binomialmodell insofern problemlos modellieren, als die Entscheidungsknoten im Zustandsbaum nach einer „Dividendenauszahlung“ wieder zusammenlaufen. Der gesamte Baum wird also nach unten verschoben, behält aber seine ursprüngliche Struktur.67 Ein Entscheidungsbaum für eine Option mit dreiperiodiger Laufzeit auf die Durchführung eines Projektes mit einem unterstellten Wertverlust je abgewarteter Periode in Höhe eines Anteils δ des Projektwertes ist in Abbildung 4.3 dargestellt. Der vordere Wert gibt jeweils die Wertentwicklung des Projektes wieder, der hintere den Optionswert zum jeweiligen Zeitpunkt. [...]

Der Wert des Underlying wird dabei mit jeder Dividendenauszahlung um den Faktor δ verringert, weshalb auch der Wert der Kaufoption F auf dieses Underlying abnimmt. Die Werteinbuße ist dabei um so höher, je größer δ ist. Die Variable m gibt die Anzahl der Dividendenzahlungen bis zur Fälligkeit der Option an. D.h., um den Optionswert bestimmen zu können, muß sowohl die Höhe von δ als auch die Anzahl m der Dividendenauszahlungen bekannt sein. Für die Bewertung von Realoptionen, die den Charakter amerikanischer Puts – z.B. Abbruchsoptionen – oder amerikanischer Calls auf Underlyings mit Dividendenauszahlung haben, gibt es wie bereits erwähnt keine geschlossene Formel. In solchen Fällen muß das Entscheidungsproblem in einem Entscheidungsbaum dargestellt werden, weil eine vorzeitige Ausübung der Option unter Umständen vorteilhaft sein kann. Der Baum wird, von der letzten Periode ausgehend, rekursiv gelöst. An jedem Entscheidungsknoten muß dann geprüft werden, ob die Ausübung der Option eine höhere Auszahlung verspricht, als das Halten der Option. Ein potentieller dividendenähnlicher Wertverlust der Investitionsmöglichkeit während der Optionslaufzeit kann dabei im Binomialmodell auf zweierlei Arten berücksichtigt werden: Sofern die Höhe der erwarteten Werteinbußen von der Entwicklung des Projektwertes V abhängt, wird ein Anteil δ von den Werten abgezogen, die zur „Dividendenfälligkeit“ für das Projekt erwartet werden. Auf diese Weise können z.B. Situationen modelliert und der optimale Investitionszeitpunkt für Projekte bestimmt werden, deren Implementierungszeitpunkt variabel ist. Wenn beispielsweise die Durchführung einer Investition verschoben wird und damit gerechnet wird, daß sich [...]