Implizierte Trinomialbäume und deren Kalibrierungsproblematik

Inhalt dieses Kapitels ist die Entwicklung und Diskussion verschiedener Verfahren mit dem Ziel, die im vorangehenden Kapitel aufgezeigte Problematik der instabilen Wahrscheinlichkeiten im impliziten Trinomialmodell zu reduzieren. Die Anzahl freier Parameter im Trinomialmodell und insbesondere die daraus resultierende Möglichkeit der Manipulation der a priori Kursbaumstruktur bildet dabei die Grundlage der dargestellten Verfahren. Die empirischen Untersuchungen basieren auf Optionspreisen auf den DAX vom 09.02.2001. Die an diesem Börsentag zu beobachtenden Optionspreise weisen rückblickend eine für das Jahr 2001 typische implizite Volatilitätsstruktur auf.47 Den Ausgangspunkt der dargestellten Methoden bilden STTs mit konstanten Kursänderungsraten.48 Durch eine Variation der Input-Parameter wird untersucht, inwieweit die Kursbaumstrukturen, die die Gruppe der STT erzeugen, geeignet sind, um unzulässige Wahrscheinlichkeiten zu reduzieren. Auf diese Art von Kursbäumen aufbauend werden Verfahren gezeigt, die zunehmend flexiblere, aber auch unregelmäßigere Baumstrukturen bewirken, indem die Restriktionen oben genannten Verfahrens nach und nach auflockert werden, wodurch wiederum zunehmend eine bessere Anpassung an die Skew- und Term- Structure erreicht werden kann. Dies kann beispielsweise durch das Zulassen variierender Kursänderungsraten und unterschiedlicher Längen einzelner Zeitschritte geschehen. Den Abschluss dieser Verfahren bilden Methoden, die die trinomiale Verzweigung durch eine zusätzliche Verzweigung ergänzen. Zuletzt werden die aufgezeigten Verfahren auf ihre Effizienz hin verglichen und diskutiert. Trotz der Zielsetzung, die aktuellen Marktpreise möglichst exakt zu modellieren, befasst sich der erste Abschnitt dieses Kapitels mit der Darstellung von Verfahren, die ganz bewusst eine Inkonsistenz mit der aktuellen Optionspreisstruktur in Kauf nehmen. Während die Anwendung solcher sogenannter Überschreibungsverfahren, bei denen auftretende unzulässige Wahrscheinlichkeiten einfach durch Werte zwischen 0 und 1 ersetzt werden, innerhalb impliziter Binomialmodelle aufgrund des [...]

4.3.4. Beurteilung der Untersuchungsergebnisse Das aufgezeigte Fallbeispiel macht deutlich, dass eine Anpassung des Kursbaumes an die Forward-Bedingung entsprechend (4.4b) in der Praxis nicht ausreicht, um das Auftreten von unzulässigen Wahrscheinlichkeiten zu vermeiden. Als gravierendes Problem bei der Implementierung zeigt sich darüber hinaus die aufgezeigte Arbitragesituation in Abb.4.4.(links), in der Modellinstabilitäten insbesondere durch zu hohe lokale Volatilitäten hervorgerufen werden. Aufgrund des Smile-Effekts entstehen unzulässige Wahrscheinlichkeiten vornehmlich in den Randbereichen des impliziten Trinomialbaums. Dieser Effekt ist für kurze OptionsRestlaufzeiten in der Regel besonders ausgeprägt, sodass bereits die ersten diskreten Zeitschritte des Trinomialbaums besonders anfällig für solche Modellinstabilitäten sind.46 Die hohe Empfindlichkeit des impliziten Trinomialbaums gegenüber lokalen Volatilitätsänderungen lässt erkennen, dass die Stabilität stark von der gewählten Baumstruktur und insbesondere von deren Anpassungsfähigkeit an die Term- und Skew-Structure der impliziten Volatilität abhängt. Obwohl im impliziten Trinomialmodell trotz unzulässiger Wahrscheinlichkeiten die Konsistenz mit der impliziten Volatilitätsstruktur erhalten bleibt, ist ein solcher impliziter Baum in der Praxis, beispielsweise für die Bewertung pfadabhängiger Optionen, nicht verwertbar. Die zentrale Problematik bei der Modellierung eines impliziten Trinomialbaums besteht folglich darin, einerseits durch eine Kalibrierung des Kursbaums an die Volatilitätsstruktur aktueller Optionspreise ein frühes Auftreten von unzulässigen Wahrscheinlichkeiten möglichst vollständig auszuschließen und dabei andererseits die Konsistenz des Modells mit der aktuellen Optionspreisstruktur nicht zu stark zu beeinträchtigen. [...]

Aus beiden Abbildungen lassen sich die numerischen Probleme bei strikter Anwendung des DKC-Algorithmus entnehmen, die aufgrund der unzulässigen Wahrscheinlichkeiten sowohl für die ermittelten Arrow-Debreu-Preise als auch für die resultierenden lokalen Volatilitäten entstehen können. Der hervorgehobene Wert in Abb. 4.9. zeigt beispielsweise einen negativen ArrowDebreu-Preis ( λ11,6 ), der durch die unzulässige Wahrscheinlichkeit (1 − p10 , 5 − q10 ,5 ) der mittleren Kursverzweigung verursacht wird. Diese Arbitragesituation führt zu einem nicht-definierten Wert für die lokale Volatilität σ 11,6 und erzeugt dadurch eine Lücke in der lokalen Volatilitätsstruktur (Abb. 4.10.). 4.3.3. Die Konsistenz des impliziten Trinomialbaums mit dem Volatility Smile Es zeigt sich, dass das Modell trotz des Auftretens solcher massiven „Modellstörungen“ innerhalb des impliziten Trinomialbaums nach wie vor in der Lage ist, den Volatility Smile relativ präzise abzubilden. In Abb.4.11. wird die Approximationsgenauigkeit des Modells veranschaulicht, indem die durch Interpolation gewonnenen B&S-Volatilitäten Σ BS für DAX-Optionen des 9.2.2001 mit einer Restlaufzeit von 45 Tagen mit den impliziten Volatilitäten anhand des Trinomialmodells bewerteter Optionen Σ ITT verglichen werden. Die durchgezogene Linie beschreibt den Volatilitätsverlauf von Σ BS , während die Punkte die impliziten Modell-Volatilitäten von 70 bewerteten Optionen ausdrückt. [...]