Implementierung eines geometrisch nichtlinearen isotropen viskoplastischen Materialmodells zur Beschreibung des Portevin-Le Chatelier-Effektes in das Finite-Elemente-System ABAQUS

Ω(εn+1,1/2 ) wurde hier als Ω1,1/2 abgek¨rzt. Wieder kann der Nenner nur positiv u sein, wodurch der Z¨hler uber die Positivit¨t der aging-time entscheidet. F¨r reaa a u ¨ listische Schrittweiten ist Ω1 ≈ Ω1/2 , wodurch die in eckige Klammern gefassten Summanden von gleicher Gr¨ßenordnung sind. Der positive von beiden wird aufo grund des Faktors 6 im Gegensatz zu 2 immer dominieren, so dass die Posititvit¨t a nur noch von −tn ∆t2 ε2 gest¨rt werden kann. F¨r ausreichend kleine Schrittwei˙ o u a ten sollte dieser Summand wegen ∆t2 keinen großen Einfluss haben. Mit hoher Wahrscheinlichkeit ist der Z¨hler von (88) immer postitiv. Da die Negativit¨t a a nicht wirklich ausgeschlossen werden kann, muss jede Extrapolation einzeln auf Positivit¨t getestet werden. a o Sollte der Fall tR < 0 eintreten, so kann trotzdem eine bessere L¨sung approa ximiert werden, indem eine Exponentialfunktion durch die Punkte (h, y h ) und u (h/2, y h/2 ) gelegt wird. F¨r die Berechnung von y e wird die Funktion y = aebh [...]

Bei Kenntnis von ta zu einem beliebigen Zeitpunkt kann C1 ermittelt werden. Mit folgenden Annahmen kann ein Ausdruck f¨r tn+1 , der aging time am Inkremenu a tende angegeben werden: ε(t = 0) = εn ta (t = 0) = tn a εn+1 = εn + ∆tε ˙ n+1 ta (t = ∆t) = ta 1 . ε(1 + ω2 ) ˙ (77) ˙ Die Ableitung ∂tn+1 /∂ ε soll vorerst nicht berechnet werden, da noch garnicht klar a ist, ob die Annahme β = 1 uberhaupt zul¨ssig ist. Dies ist erstmal zu untersuchen. a ¨ Wie in Abschnitt 5.1 beschrieben, ist der betroffene Term Ω wichtig f¨r das u Abklingen der PLC-B¨nder. Mit β = 1 w¨chst Ω schneller als f¨r β = 0.68, a a u was heißt, das die PLC-B¨nder schneller abklingen. F¨r die Vorhersage, ob PLCa u B¨nder auftreten, ist dies vielleicht nicht entscheidend. Die Auswirkungen der a getroffenen Annahme k¨nnen relativ leicht untersucht werden, indem zwei sonst o identische Rechnungen miteinander verglichen werden. Dies setzt die Nutzung eines numerischen Integrationsverfahren voraus, da die Differentialgleichung der aging time f¨r β = 0.68 sich nicht wie oben beswchrieben l¨sen l¨sst. u o a tn+1 a = (tn ε(1 + ω2 ) − ω2 εn − ω1 ) + ω1 + ω2 εn+1 a ˙ ω1 + ω2 εn ω1 + ω2 εn+1 [...]

und ihre Anzahl durch eine gute Approximation der algorithmischen Ableitung reduziert wird. An dieser Stelle kommt die Frage nach der algorithmischen Ableitung ins Spiel, was an S erkl¨rt werden soll: S und σD h¨ngen nicht explizit von ε ab. S h¨ngt a a ˙ a aber von der Vergleichsdehnung ε ab, welche aus ε aufintegriert wird. ˙ √ S = s1 + s2 εn+1 (63) Da die Dehnrate als konstant im Inkrement angenommen wird, ergibt sich ˙ εn+1 = εn + ∆tε. Setzt man dies in S (63) ein, kann die Ableitung √ ∂ S1 + S2 εn + ∆tε ˙ ∂S S2 ∆t = = √ ∂ε ˙ ∂ε ˙ 2 εn + ∆tε ˙ berechnet werden. Auf gleiche Weise erh¨lt man bei σd a [...]