Flächenverschneidung in GIS

Die Parameter cx und cy legen den Anstieg der Funktionen fest. Mit deren Variation kann Einfluß auf die räumliche Reichweite der Korrelationen zwischen Punkten ausgeübt werden. 4.2.3. Worst Case In diesem Fall sollen zwischen allen Punkten Korrelationen bestehen, z.B. als Ergebnis einer Ausgleichung eines geodätischen Netzes. Daher wird die Kovarianzmatrix voll besetzt sein. Die Kovarianzen sollen vereinfacht über eine entfernungsabhängige Funktion modelliert werden. Die Funktion muß Kovarianzen erzeugen, die nach der Anwendung des VFG eine symmetrische Kovarianzmatrix und positive Varianzen für die Schnittpunkte ergeben. 4.2.4. Kovarianzmodellierung Grundsätzlich ist das VFG nur gültig, wenn auch alle Kovarianzen als Größe für die Korrelationen zwischen den Punkten gegeben ist. Dies setzt voraus, daß die Kovarianzen gespeichert werden können. Die Speicherung der Kovarianzen ist auf Grund ihrer Vielzahl nicht ganz unproblematisch. Für eine Fläche mit n Punkten ist die Anzahl der Kovarianzen im Worst Case ca. (4 ⋅n) ². Das führt bei großen Datenmengen schnell zu Speicherplatzproblemen. [...]

26 4.2.1. Best Case In diesem, dem "besten" Fall wird angenommen, daß keine Korrelationen zwischen den Ausgangspunkten vorliegen. Das bedeutet, daß nur die Hauptdiagonale der Kovarianzmatrix besetzt ist. Dieser einfachste Fall kann noch in 3 Untergruppen aufgeteilt werden. 1. Alle Varianzen der Ausgangspunkte sind gleich genau. In dem Fall läßt sich die Kovarianzmatrix durch ein Produkt aus Skalar und Einheitsmatrix darstellen. Der Skalarfaktor ist die Varianz der Punkte. 2. Die Punkte der beiden zu verschneidenden Flächen haben jeweils unterschiedliche Varianzen. Es treten also nur zwei verschiedene Varianzen auf. Die Kovarianzmatrix kann hier als Produkt zwischen einem Vektor der Länge n und einer Einheitsmatrix dargestellt werden. Wobei der Vektor nur zwei unterschiedliche Werte enthält, die vom Attribut des Punktes abhängen. 3. Alle Punkte haben unterschiedliche Varianzen. Die Kovarianzmatrix ist auf der Hauptdiagonale mit unterschiedlichen Werten besetzt. Praktisch gesehen besteht bei den 3 Fälle nur ein Unterschied hinsichtlich des Speicherplatzbedarfs, weil von der Speicherung der Kovarianzmatrix in einem Feld abgesehen wurde. 4.2.2. Average Case Der durchschnittliche oder mittlere Fall entspricht einem Modell mit zufälligen und systematischen relativen Fehleranteilen. Es bestehen Kovarianzen jeweils zwischen den y- und x-Koordinaten von Punkten, die über Segmente miteinander verbunden sind. Auch hier kann eine Unterteilung in Unterfälle erfolgen, die sich auf die Größe der Werte bezieht. Gleiche Werte werden bei den Kovarianzen kaum vorkommen, aber bei den Varianzen. Die Kovarianzmatrix läßt sich nicht mehr in eine Einheitsmatrix und einen Vektor oder Skalar aufgliedern, jedoch lassen sich mit Hilfe von Vorkenntnissen über die Varianzen Speicherplätze einsparen. Um die Kovarianzen für einen durchschnittlichen Fall zu modellieren, werden Kovarianzfunktionen eingesetzt. Das können entfernungsabhängige Funktionen sein. Hier soll die entfernungsabhängige Gauß´sche Glockenkurve zur Anwendung kommen. Die Funktion für die x-Koordinate aus /Kraus 93 a/: [...]

4.2. Stochastische Modelle Um geometrische Genauigkeiten berechnen und darstellen zu können, werden zunächst Modellierungsmethoden gebraucht. In /Glems/ sind einige davon beschrieben. Hier sollen nur zwei Ansätze dargestellt werden. Bei dem Attributansatz wird die gemoetrische Genauigkeit in einem Attribut zu jedem geometrischen Element mitgeführt. Dies könnte in relationalen Datenmodellen als Spalteneintrag erfolgen. Der Vorteil besteht darin, daß die Integration in GIS speicherplatzsparend ist. Nachteilig ist, daß der Ansatz eine Erweiterbarkeit des Sachdatenmodells voraussetzt. Für jeden Genauigkeitswert muß schon ein Attribut definiert sein, oder es muß explizit nach der Fehlerfortpflanzung definiert werden. Desweiteren sind in diesem Ansatz nur diskrete Werte bzw. Wertebereiche mit beschränkter Schrittweite für die Genauigkeitsangaben erfaßbar. Zudem wird die Speicherung von Kovarianzen auch im Attributmodell hinsichtlich der Kapazität Probleme mit sich bringen Eine weitere Methode, die in dieser Arbeit weiter behandelt werden soll, ist die der stochastischen Beschreibung. Dabei werden alle möglichen Abgrenzungen eines Objektes als Zufallsereignis interpretiert. Das arithmetische Mittel stellt eine mittlere Begrenzungslinie dar. Die Standardabweichung der Position eines beliebigen Punktes auf der Begrenzungslinie senkrecht zu dieser dient als Maß für die Variation der Objektumschreibung. Für die Flächenverschneidung kommt hier das in 3.1. beschriebene funktionale Modell zum Ansatz. Dabei werden die Koordinaten der 4 Ausgangspunkte der Geradensegmente als stochastische Größen X angesehen. Bei der Anwendung des Kovarianzfortpflanzungsgesetzes, früher allgemeines Varianzfortpflanzungsgesetzes, fließen die Varianzen und die Kovarianzen der Ausgangskoordinaten ein. Je nachdem, wie die Koordinaten miteinander korreliert sind, ist der Anteil an Kovarianzen größer, kleiner oder nicht vorhanden. Desweiteren wird zwischen den Fällen mit gleich großen oder unterschiedlichen Varianzen unterschieden und der Fall beschrieben, der bei mehrmaliger Ausführung von Flächenverschneidungen auftritt. /Bill 96b/ Laut Aufgabenstellung sind 3 verschiedene stochastische Modelle in die Arbeit einzubeziehen. Die Auswahl der dargestellten Modelle beruht auf der Vermutung, daß diese oft vorkommen und daß die Varianzfortpflanzung mit unterschiedlichen Algorithmen gelöst werden muß. Es wird kein Anspruch auf die Korrektheit der stochastischen Modelle im Bezug auf die Praxis erhoben. Es geht mehr darum, die Algorithmen aufzuzeigen, die für verschiedene Modelle entsprechend effektiv sind. Die verwendeten Bezeichnungen beziehen sich auf die Schwierigkeit der anzuwendenden Algorithmen im Bezug auf die Anzahl der besetzten Stellen in der VarianzKovarianzmatrix und das Laufzeitverhalten. [...]