Finanzmathematische Modelle mit stochastischem Zins

Diplomarbeit von Vera Hofer

Einleitung:

Lange erfolgten bank- und versicherungswirtschaftliche Kalkulationen mit Hilfe fest vorgegebener Zinssätze. Diese starre Berechnungsweise bot keinerlei Möglichkeit, zukünftige Zinsschwankungen zu berücksichtigen und das damit verbundene Risiko zu kontrollieren. Um diese Mängel zu beheben, begann man schließlich, eine Reihe von Modellen, die den Zins als zufällige Größe beschreiben, zu aufstellen.

Während die Entwicklung dieses neuen Forschungsgebietes mit der Veröffentlichung von diskreten Zinsmodellen, in denen die jährlichen Zinsintensitäten unabhängig und identisch normalverteilt sind, einsetzte, versuchten später verschiedene Autoren, diese Ansätze zu verallgemeinern, indem sie Korrelationen zwischen den Zinssätzen zuließen, stetige Verzinsungen untersuchten und andere als die Normalverteilung betrachteten.

Hat man einem Zinsprozess eine bestimmte Verteilung zugrunde gelegt, müssen adäquate Parameter zur weiteren Spezifikation der Verteilungsfunktion ausgewählt werden. Dieser Problematik begegnet man in der Analyse der Zeitreihenmodelle vom Zinsniveau. Darüber hinaus lässt sich auch das zukünftige Verhalten der Zinsraten durch Zeitreihen darstellen.

In der Wertpapieranalyse spielt die Bestimmung von festen Zinssätzen für unterschiedliche Fristigkeiten eine besondere Rolle. Man lässt dabei die kurzfristigen Zinsraten einem stochstischen Prozess folgen und kann so über den Preis für Zero Coupon Bonds unterschiedlicher Fälligkeitszeitpunkte feste Zinssätze, die für verschieden lange gebundenes Kapital in ihrer Höhe differieren, ableiten. Je nachdem, welche stochastischen Prozesse man zum Einsatz bringt, gewinnt man unterschiedliche Modelle der Term Structure der Zinsraten.

In den Anwendungen der stochastischen Zinsmodelle beschränkte man sich bisher auf die Bereitstellung von Formeln für die Momente einiger versicherungsmathematischer Funktionen, die Entwicklung von Strategien zur Bewältigung des Risikos aus unvorhergesehenen Zinsschwankungen oder die Bestimmung einer angemessenen Rücklage (Deckungskapital).

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