Entfernung von Artefakten bei der Flußmessung in der Urodynamik mit Hilfe der Wavelet-Transformation

In diesem Diagramm wird die oben erwähnte Unschärferelation von Heisenberg nochmals deutlich sichtbar. Wie in Abbildung 4.7 sind auch hier die Flächeninhalte aller Rechtecke gleich groß. Ihre Form wird an die jeweiligen Frequenzbänder optimiert. Die Rekonstruktion von x[n] ist dank der oben erwähnten Bedingungen für die Filterkoeffizienten (Frequenzbandhalbierung) sehr einfach. Demnach kann die Prozedur der DWT, wie in Abbildung 4.13 beschrieben, einfach umgekehrt werden. Begonnen wird, indem der TP-Anteil und der HP-Anteil der letzten Zerlegungsstufe (Level i) wieder auf ihre ursprüngliche Länge gebracht werden. Dabei wird jeweils zwischen zwei Funktionswerten eine ´0´ eingefügt und das so erzeugte Signal durch einen digitalen Interpolationsfilter geschickt. Das Ergebnis dieses Vorgangs liefert den TP-Anteil der nächst niedrigeren Zerlegungsstufe(Level i-1). Dieser Vorgang wird so lange wiederholt, bis alle Ebenen bearbeitet sind. Die Summe der Signalkomponenten ergibt schließlich das Ausgangssignal x[n]. Die Gleichung (3.3) für die Umsetzung der letzten Stufe der Rücktransformation (Level 1 Level 0) lautet dann wie folgt: x[ n] = [...]

Die ganze Prozedur wird so oft mit dem neu entstandenen Tiefpaßanteil wiederholt, bis nur noch ein Wert übrig bleibt oder sich die Zahl der Werte nicht mehr durch zwei teilen läßt. Abbildung 4.11 schematisiert den Vorgang der Filterung und des “Downsampling by 2“. Durch das “Downsampling“ halbiert sich mit jeder Zerlegungsstufe die Zeitauflösung, was eine Verschlechterung für die Frequenzlokalisierung bedeutet. Da in höheren Zerlegungsstufen immer niedrigere Frequenzen enthalten sind, hat dies keine negativen Folgen, denn diese können ohnehin nicht scharf lokalisiert werden. Die Skalierung wird mit jeder Stufe verdoppelt, denn die Signale der einzelnen Stufen (mit 1/2, 1/4, 1/8, ... der Werte) entsprechen immer noch der Dauer des Ausgangssignals. Weil die Breite der Frequenzbänder mit jeder Stufe halbiert wird, verbessert sich die Frequenzauflösung mit jeder Zerlegungsstufe um das Doppelte. Auf Grund dessen entstand das in Kapitel 3.3 vorgestellte Diagramm zur Darstellung der Waveletkoeffizienten (siehe Abbildung [...]

Haarwavelet ermöglicht die beste Lokalisierung der impulsförmigen Störungen. Einige Tiefpaßfilterkoeffizienten von häufig verwendeten Wavelets (z. B. DaubechiesWavelets) sind im Anhang (Kapitel 9.2) aufgelistet. Die Koeffizienten für die dazugehörigen Hochpaßfilter lassen sich direkt aus denen der Tiefpaßfilterkoeffizienten ableiten, indem man ihre Reihenfolge umkehrt und jeden zweiten Filterkoeffizienten mit ´-1´ multipliziert (siehe Literatur). Um nun die DWT eines Signals x[n] durchzuführen, wird dieses durch beide Filter geschickt und anschließend wird jeder zweite Funktionswert der neu entstandenen Signale gelöscht. Die Löschung jedes zweiten Wertes wird “Downsampling by 2“ genannt. So erhält man zwei neue Signale mit jeweils der halben Anzahl an Samples, wovon eines dem niederfrequenten und das andere den hochfrequenten Teil des Ausgangssignals x[n] enthält. Die Funktionswerte des Signals mit dem hochfrequenten Anteil nennt man Level-1-Waveletkoeffizienten, d. h., sie repräsentieren die Waveletkoeffizienten der ersten Zerlegungsstufe und stellen den ersten Teil des transformierten Signals dar. Dieser enthält alle Frequenzen von der halben Nyquistfrequenz (½ fNy) bis zur Nyquistfrequenz (fNy). Anschließend wird der niederfrequente Teil wieder mit beiden Filtern bearbeitet, und die zwei neuen Signale werden wieder halbiert. Daraus erhält man abermals einen hochfrequenten und einen niederfrequenten Teil mit jeweils nur einem Viertel der Anzahl der Werte des Ausgangssignals. Der neue hochfrequente Teil enthält nun die Level2-Waveletkoeffizienten mit den Frequenzen ¼ fNy bis ½ fNy. Die zwei Filter- und Downsamplingoperationen der ersten Zerlegungsstufe (Level 1) können durch folgende Gleichungen ausgedrückt werden: [...]