Dynamik meromorpher Funktionen auf der Riemannschen Zahlenkugel

Diplomarbeit von Christoph Dötsch

Gang der Untersuchung:

Diese Diplomarbeit vollzieht den für die Entwicklung der komplexen Dynamik so bedeutsamen Schritt der Anwendung des Konzeptes der normalen Familie nach.

Während wir in Kapitel 1 funktionentheoretische Grundlagen und grundlegende Definitionen einführen und insbesondere zeigen, dass die rationalen Funktionen genau die auf C meromorphen Funktionen sind, wird im 2. Kapitel bereits der Begriff der normalen Familie meromorpher Funktionen eingeführt. In Abschnitt 2.2 beweisen wir den Satz von Arzelà und Ascoli (vergl. Satz 2.4), welcher normale Familien mit gleichgradig stetigen Familien in Zusammenhang bringt. In Abschnitt 2.3 wird der für die Arbeiten von Fatou und Julia sehr bedeutende Satz von Montel zitiert, mit dessen Hilfe besonders im 3. Kapitel viele Beweise geführt werden.

Dieser Satz besagt anschaulich formuliert, dass, wenn jede Funktion einer Familie meromorpher (rationaler) Funktionen (mindestens) drei paarweise verschiedene Werte a, b, c 2 C nicht annimmt (diese müssen für jede Funktion dieselben drei paarweise verschiedenen Werte sein), diese Familie normal ist (vergl. Satz 2.5).

Im 3. Kapitel werden die Julia - und Fatou - Menge über den Begriff der normalen Familie definiert und grundlegende Eigenschaften dieser Mengen bewiesen. In Abschnitt 3.2 werden die periodischen Orbits eingeführt und anhand ihrer Eigenwerte klassifiziert.

Ein Ergebnis dieses Abschnittes ist, dass die (super)attraktiven periodischen Orbits in der Fatou - Menge und die repulsiven periodischen Orbits in der Julia - Menge liegen.

In Abschnitt 3.3 wird die so genannte Ausnahmemenge eingeführt (vergl. Def. 3.19), anhand welcher deutlich wird, dass die für Julia - Mengen typische, bereits angedeutete lokale Abstoßung tatsächlich globaler Natur ist. Am Ende von Kapitel 3 beweisen wir den Satz, dass die Menge [ n2N0 {z 2 CIRn(z) = z0} (wobei z0 Element aus der Julia - Menge ist und R eine rationale Funktion vom Grad größer gleich 2) dicht in der Julia - Menge liegt. Aus diesem Satz werden wir im 4. Kapitel einen Algorithmus zum Zeichnen von Julia - Mengen mit einem Computer entwickeln und Julia - Mengen anhand ausgewählter Beispiele betrachten.

Im 4. Kapitel wird insbesondere noch einmal das Newtonverfahren an einem Beispiel genauer betrachtet.

Im 5. Kapitel werden wir dann die in Kapitel 3 über den Begriff der normalen Familie funktionentheoretisch definierten Julia - Mengen dynamisch charakterisieren, nämlich als den Abschluss der repulsiven periodischen Orbits. Um dieses Ergebnis zu beweisen, werden wir unter anderem einige Begriffe und Methoden aus dem Bereich der algebraischen Topologie anwenden.

Inhaltsverzeichnis:

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