Bewertung von Optionen bei stochastischer Volatilität

Diplomarbeit von Nikolaus Bartzsch

Einleitung:

Die Geschichte der Bewertung von Optionen auf Aktien, deren Kurs einer geometrischen Brown'schen Bewegung folgt, reicht bis in die 50-er Jahre zurück. Alle zwischen 1950 und 1970 entwickelten Theorien enthalten ad hoc-Annahmen und sind insofern unbefriedigend. 1973 leiten Black und Scholes einen eindeutigen rationalen Preis für eine europäische Kaufoption her, der unabhängig von den individuellen Risikopräferenzen ist. Sie gehen dabei von folgenden Annahmen aus:

1. Es gibt keine Beschränkungen bezüglich Leerverkäufen von Wertpapieren.

2. Es gibt keine Transaktionskosten und Steuern.

3. Alle Wertpapiere stehen in beliebig teilbaren Einheiten zur Verfügung.

4. Es gibt keine risikolosen Arbitragemöglichkeiten.

5. Der Handel mit Wertpapieren findet kontinuierlich, d. h. in jedem Zeitpunkt statt.

6. Die Wertpapiere schütten keine Dividenden oder sonstigen Einkommen aus.

7. Der Zinssatz r ist konstant.

Bei stochastischer Volatilität ist der Markt im allgemeinen unvollständig. Dies ist ein wichtiger Unterschied zum Black-Scholes Modell mit seinem vollständigen Markt. Ein Markt heißt vollständig, wenn jede zustandsabhängige Auszahlung (und damit auch jede Option) erreichbar ist. Eine zustandsabhängige Auszahlung ist erreichbar, wenn sie durch eine selbstfinanzierende Portfoliostrategie erzeugt werden kann. Wie oben dargelegt wurde, steht und fällt die Black-Scholes Formel (1.2) für den Preis einer europäischen Kaufoption mit deren Erreichbarkeit.

Gang der Untersuchung:

Zur Bewertung von Optionen bei stochastischer Volatilität muß erst das konzeptionelle Problem der Optionsbewertung auf unvollständigen Märkten gelöst werden. Dies wird in Kapitel 2 versucht. Sobald dieses konzeptionelle Problem gelöst ist, reduziert sich das Optionsbewertungsproblem auf ein Rechenproblem. In Kapitel 3 werden für verschiedene Modelle mit stochastischer Volatilität Lösungen dieses Rechenproblems dargestellt. Hierbei werden nur Modelle behandelt, die einen zusätzlichen stochastischen Prozeß für die Volatilität enthalten. Andere Modelle mit stochastischer Volatilität bleiben unberücksichtigt, da diese meistens unter relativ schwachen Annahmen zu vollständigen Märkten führen. Solche Modelle sind im Hinblick auf das konzeptionelle Problem weniger interessant.

In dieser Arbeit wird hauptsächlich die Bewertung europäischer Kaufoptionen auf dividendengeschützte Aktien behandelt. Damit ist aber über die Put-Call-Parität und einen Satz von Merton auch die Bewertung von europäischen Verkaufsoptionen und amerikanischen Kaufoptionen auf dividendengeschützte Aktien erfasst. Aus der Klasse der Optionen, die nur am Ende der Laufzeit, T, eine und zwar pfadunabhängige Auszahlung haben, sind in Kapitel 3 jene erfasst, deren zugrunde liegenden Zustandsvariablen gemeinsam einem (mehrdimensionalen) Markov-Prozeß folgen. Etwas allgemeinere Optionen werden in Unterabschnitt 2.1.2 berücksichtigt.

Inhaltsverzeichnis:

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