Bootstrap-Verfahren bei der Berechnung von Prognosen in (G)ARCH-Modellen

Diplomarbeit von Marianna Jaskewitz

Einleitung:

Die Zeitreihenanalyse wird für ein breites Spektrum an Aufgabenstellungen, wie z. B. die Abschätzung von Zusammenhängen, die empirische Überprüfung von aus der wirtschaftswissenschaftlichen Theorie gewonnenen Hypothesen, angewendet, eine ihrer bedeutendsten Aufgaben ist jedoch die Erstellung von Prognosen. Dabei ist man bestrebt, anhand von in der Vergangenheit beobachteten Daten Aussagen über zukünftige Ereignisse zu gewinnen. Hierbei wird ein Modell für den beobachteten Prozess unterstellt. Dadurch wird es möglich, die bestimmten Charakteristika dieses Prozesses, wie z. B. die vergangenheitsbedingten Erwartungswerte bzw. Varianzen, zu schätzen und auf diese Weise Prognosen zu gewinnen.

Zu dieser Aufgabe werden oft parametrische Modelle, wie beispielsweise Autoregressive-Moving-Average-Modelle (ARMA-Modelle) herangezogen, welche die funktionalen Abhängigkeiten der Beobachtungen von ihren Vorgängern beschreibt. ARMA-Modelle haben zum Ziel, den bedingten Erwartungswert zu erklären. Beim Schätzen solcher Modelle wird meist unterstellt, dass aufgrund der Unabhängigkeit und identischen Verteilung der Störvariablen die Varianz der Störgrößen im Zeitablauf immer konstant bleibt. Diese Unterstellung trifft aber auf viele Zeitreihen nicht zu. Als Beispiel können die Preisänderungsraten (Renditen) auf spekulativen Märkten genannt werden, bei denen beobachtet werden kann, dass sie zwar häufig um einen konstanten Mittelwert schwanken, ihre Variabilität jedoch im Zeitablauf nicht konstant bleibt: Marktphasen mit extremen Aufschlägen, nach denen die Varianz nur langsam auf das Ausgangsniveau abklingt, wechseln sich mit ruhigen Perioden mit geringer Varianz ab. Für die Modellierung von Zeitreihendaten dieser Art ist es erforderlich, die Annahme einer konstanten Varianz aufzugeben.

Heteroskedastie setzt genau an diesem Punkt an. Sie besagt nämlich, dass sich die Varianzen der Störterme im Zeitablauf ändern. Im Jahre 1982 wurde von Engle das ARCH-Modell eingeführt, welches die in bestimmten Zeitreihen beobachtbare Heteroskedastizität abzubilden erlaubt. Das englische Akronym ARCH steht für Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Das Modell erklärt die sogenannte bedingte Varianz, die von den in der Vorperiode aufgetretenen Störgrößen abhängt.

Eine der wichtigsten Erweiterungen des ARCH-Modells wurde 1986 von Bollerslev vorgeschlagen. Er hat das Generalized-ARCH- (oder GARCH-) Modell eingeführt, bei welchem die bedingte Varianz nicht nur von den vergangenen Störgrößen, sondern auch von den bedingten Varianzen der Vorperioden abhängt. Dies erlaubt eine sehr viel sparsamere Parametrisierung als das reine ARCH-Modell. Da das GARCH-Modell als Spezialfall ein ARCH-Modell enthält, können diese beiden Modelle und ihre Erweiterungen zu einer Modellklasse zusammengefasst werden, für die des Weiteren die Bezeichnung (G)ARCH-Modelle verwendet wird. Im Mittelpunkt dieser Modelle steht, im Unterschied zu den ARMA-Modellen, nicht der bedingte Erwartungswert, sondern die bedingte Varianz.

(G)ARCH-Modelle finden ihre breite Anwendung in der Zeitreihenanalyse. Besonders erfolgreich erwies sich jedoch ihre Anwendung zur Abbildung von bestimmten Finanzmarktzeitreihen. Diese Modellklasse ist fähig, die wichtigsten empirischen Eigenschaften der Renditezeitreihen von verschiedenen Vermögenswerten zu beschreiben und kann deswegen zur Prognose von Renditen eingesetzt werden. Der Anwendung der (G)ARCH-Modelle zur Renditevorhersage gilt deswegen das Augenmerk dieser Arbeit.

Zur Prognose von Renditen werden oft ARMA- und GARCH-Modelle kombiniert. Dabei wird gleichzeitig der bedingte Erwartungswert und die bedingte Varianz modelliert. Man kann bei diesem Ansatz sowohl eine Punktprognose für Renditen als auch für ihre Variabilität berechnen.

Bei dem Prognostizieren von Renditen ist es von Interesse, für einige praktische Fragestellungen nicht nur die Punktprognose, sondern auch die gesamte Verteilung des Prognosewertes zu kennen. Die Verteilung der prognostizierten Renditen ist aber unbekannt und analytisch schwer zu bestimmen. Bekannte theoretische Verteilungen können diese unbekannte Verteilung oft entweder nur unzureichend approximieren oder sind zu kompliziert für die Implementierung in der Praxis.

Eine einfachere Lösung für dieses Problem wäre die Approximation der Verteilung mittels des Bootstrap-Verfahrens, das auf die empirische Verteilung der Daten zurückgreift. Die Wurzeln dieses Verfahrens gehen einige Jahrhunderte zurück, aber die Idee fand Ihre breite Anwendung erst in den letzten drei Jahrzehnten, nachdem sie von Efron entwickelt und popularisiert wurde. Bei diesem Verfahren wird die mathematische und statistische Analyse mit einer simulationsbasierten Rekonstruktion von originalen Daten ersetzt. In Kombination mit (G)ARCH-Modellen erlaubt der Einsatz des Bootstrap-Verfahrens, die Verteilungen von Prognosewerten für Renditen, ihre Volatilität und andere Parameter von Interesse zu erhalten, ohne dass auf strenge parametrische Annahmen zurückgegriffen werden muss., Dieser Ansatz zur Prognoseberechnung (Kombination des (G)ARCH-Modells mit dem Bootstrap-Verfahren) kann ihre Anwendung beispielsweise im Risikomanagement der Finanzinstitutionen finden. Ausgehend von der durch den Bootstrap gewonnenen Prognose für die Renditeverteilung, können bestimmte Quantile dieser Verteilung zur Ableitung von Risikomesszahlen verwendet werden. Auch die genaue Prognose für Renditevolatilität ist wichtig. Die Volatilität ist ein entscheidender Faktor in vielen Modellen der Optionsbewertung und Portfolioallokation. Es besteht deswegen ein Interesse, zur Abschätzung der Genauigkeit einer Punktprognose die Verteilung des Prognosewertes für die Volatilität zu bestimmen. Dies ist von Bedeutung für die Implementierung und Evaluierung sowohl von Theorien, die den Modellen der Optionsbewertung und Portfolioallokation zugrunde liegen, als auch von Handels- und Hedging-Strategien.

Gang der Untersuchung:

Nachdem die Motivation und die praktische Bedeutung der Anwendung des Bootstrap-Verfahrens in (G)ARCH-Modellen zur Prognoseberechnung dargestellt wurde, soll in den weiteren Kapiteln der Arbeit eine ausführlichere Beschreibung dieses Ansatzes gegeben werden. Dazu werden in Kapitel 2 einige theoretische Grundlagen der Zeitreihenanalyse aufgeführt. In Kapitel 3 werden zunächst ausgewählte empirische Merkmale der Renditezeitreihen beschrieben und dann die theoretischen Eigenschaften der (G)ARCH-Modellklasse dargestellt. Durch Vergleich der empirischen Merkmale der Renditezeitreihen und der Eigenschaften der (G)ARCH-Prozesse wird die Eignung dieser Prozesse zur Abbildung der Renditezeitreihen aufgezeigt. Das Kapitel 4 ist dem Bootstrap-Verfahren gewidmet, wobei zuerst auf die Grenzen der analytischen Statistik hingewiesen und das Bootstrap-Verfahren als ein möglicher Lösungsansatz für die Aufgabenstellungen, die für die analytische Statistik zu kompliziert wären, dargestellt wird. In Kapitel 5 wird anhand ausgewählter Beispiele die Prognoseerstellung mittels Bootstrap-Verfahrens in GARCH-Modellen erläutert. Die Beispiele demonstrieren, wie mittels dieses Ansatzes die Verteilungen bestimmter Prognosewerte berechnet werden können. Es beschließt diese Arbeit eine Zusammenfassung in Kapitel 6.

Inhaltsverzeichnis:

Textprobe:

Kapitel 3, Modellierung von Renditezeitreihen mittels (G)ARCH-Modellen:

In diesem Kapitel werden die Besonderheiten von Renditezeitreihen erläutert und es wird die Eignung von (G)ARCH-Modellen zur Abbildung dieser Besonderheiten aufgezeigt. Es wird auch auf die Parameterschätzung in diesen Modellen eingegangen, und im Anschluss wird der Einsatz von (G)ARCH-Modellen zur Prognoseerstellung diskutiert.

Charakteristika von Renditezeitreihen:

Zuerst soll der Begriff „Rendite“ erläutert werden. Renditen können als diskrete oder stetige Renditen definiert werden. Die diskrete Rendite Rt zwischen den Zeitpunkten t - 1 und t wird folgendermaßen berechnet: (siehe Formel 3.1).

In den meisten Untersuchungen werden jedoch stetige Renditen angewendet, da sie einige gewünschte Eigenschaften besitzen. Bei der stetigen Rendite rt wird angenommen, dass die absolute Preisänderung aus einer Folge n gegen unendlich laufender Preisänderungen resultiere. Die stetige Rendite wird definiert durch (siehe Formel 3.2) und lässt sich als Differenz der logarithmierten Preise darstellen.

Wenn Finanzzeitreihen von hoher Frequenz, wie z. B. Tagesdaten, betrachtet werden, bei welchen die beobachteten Preisänderungen gering sind (Renditen unter 10%), macht es keinen großen Unterschied, ob einfache oder Log-Renditen untersucht werden.

Nachdem nun die Renditen definiert wurden, werden nachfolgend die empirischen Merkmale von Renditezeitreihen dargestellt.

Im Laufe der Zeit sind die Forscher auf Merkmale der Renditezeitreihen gestoßen, die mittlerweile allgemein anerkannt sind, aber nur zum Teil erklärt werden können. Die meisten dieser Phänomene sind für die unterschiedlichsten Märkte charakteristisch: Für die Aktien- und Anleihemärkte ebenso wie für die Rohstoff- oder Währungsmärkte.

Merkmal 1: Positive Stichprobenautokorrelationen der Quadrate und Absolutbeträge der Renditen Die Renditen scheinen meist einem White-Noise-Prozess zu folgen, da die Stichprobenautokorrelationen sich nicht signifikant von Null unterscheiden. Allerdings weisen die absoluten Preisänderungen und die quadrierten Renditen signifikant positive Autokorrelationen auf. Es handelt sich somit bei den Renditezeitreihen nicht um einen strengen White-Noise-Prozess.

Merkmal 2: Volatilitäts-Clustering.

Aus der positiven Autokorrelation folgt auch, dass nach großen Preisänderungen (positiv oder negativ) tendenziell wieder große Preisänderungen folgen und umgekehrt. Dieses Phänomen wird auch Volatilitäts-Clustering genannt. Aufgrund der Korrelation zwischen der heutigen und der zukünftigen Volatilität lässt sich die Volatilität in einem gewissen Maße vorhersagen.

Merkmal 3: Leptokurtische Verteilung.

Bei den Finanzzeitreihen wird häufig beobachtet, dass sich einerseits die Mehrzahl der Renditerealisationen um ihren Erwartungswert konzentriert, andererseits aber richtungsunabhängige Extreme mit einer höheren Wahrscheinlichkeit auftreten, als dies unter Normalverteilung erwartet würde. Eine Identifikation dieser Eigenschaft erlaubt die Kurtosis, die für eine Normalverteilung den Wert Drei annimmt und für leptokurtische Verteilungen größer Drei oder unendlich ist. Empirische Renditen weisen meist deutlich höhere Werte als Drei auf.

Merkmal 4: Leverage-Effekt (Asymmetrie).

Dieser Effekt kann meist bei den Aktienrenditen beobachtet werden. Mehrere Wissenschaftler haben den Beweis dafür gefunden, dass die Volatilität der Aktienrenditen bei „schlechten Nachrichten“ (die Überrendite ist kleiner als erwartet) tendenziell steigt. Die Reaktion auf „gute Nachrichten“ (die Überrendite ist größer als erwartet) ist hingegen ein Volatilitätsrückgang. Diese negative Korrelation der Renditen mit der bedingten Varianz wird als „Leverage-Effekt“ bezeichnet.

Die folgenden Abbildungen sollen einige der oben aufgeführten Merkmale demonstrieren. Sie beruhen auf eigenen Berechnungen mit den Programmen „Excel“ und „EViews“. Abbildung 1 zeigt die täglichen Log-Renditen des russischen Aktienindexes RTS und die dazugehörigen quadrierten Renditen im Zeitraum zwischen 1997 und 2007. Die Log-Renditen deuten auf Heteroskedastie und Volatilitäts-Clustering hin (besonders Ende der neunziger Jahre), die bei der Betrachtung der quadrierten Residuen noch deutlicher werden.