Fehler und Effizienz von Lösungsmethoden für Anfangs- und Randwertprobleme aus Flugbahnmodellen

Diplomarbeit von Fabian Suhrke

Einleitung:

Flugbahnberechnungen für Risikoanalysen:

Das ‚Fraunhofer-Institut für Kurzzeitdynamik / Ernst-Mach-Institut (EMI)’ untersucht unter dem Projektnamen ‚Fuze Safety Quantitative Risk Analysis (FSQRA)’ die Gefährdung von Personen in Überflugszenarien mit Artillerie- und Mörsergeschossen.

Das Modell der Risikoanalyse basiert auf einer repräsentativen Flugbahn des Geschosses und vielen tausenden Flugbahnen von repräsentativen Fragmenten, die bei einem Schadensereignis durch Detonation des Geschosses entstehen.

Der mathematische Aufwand zur Berechnung der Flugbahnen wird dabei durch das zugrunde liegende physikalische Modell bestimmt und reicht von trivial integrierbaren Gleichungen bis zu gewöhnlichen nichtlinearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

In dieser Arbeit wurde ein von der NATO standardisiertes modifiziertes Punkt-Masse-Modell verwendet (engl. modified point mass model, MPMM). Das ‚NATO STANDARDIZATION AGREEMENT (STANAG) 4355’ schreibt 5 Freiheitsgrade (Degrees of Freedom, DoF) für dieses MPMM vor.

Das Ziel dieser Diplomarbeit ist es, eine bedienzeitsparende numerische Lösung der Differentialgleichungen auf Basis des Flugbahnmodells nach STANAG 4355 bereitzustellen, wobei die dabei auftretenden Fehler bekannt und unter Kontrolle sein sollen.

Dafür ist es notwendig, alle auftretenden physikalischen Kräfte und die daraus abgeleiteten Anfangs- und zweiseitigen Randwertprobleme hinreichend zu untersuchen, um so einen Eindruck für die Komplexität des Problems zu bekommen und um nachfolgende numerische Zusammenhänge zu verstehen.

Um die Genauigkeit der Flugbahn des Projektils zu beschreiben, müssen Kennzahlen eingeführt werden, um die numerischen Abweichungen zur exakten Lösung messen zu können. Hierbei ist es notwendig, die verschiedenen Fehlerschätzungen für Anfangswertprobleme zu studieren, um damit die verschiedenen ODE-Solver aus der ‚Numerical Recipes Bibliothek’ bezüglich ihrer Genauigkeit zu vergleichen. In ähnlicher Weise muss eine Minimierungsaufgabe numerisch gelöst werden.

Zusammenfassend stellt sich die Frage, welche Fehlermaße auf welche Weise für die einzelnen numerischen Verfahren zur Lösung von Anfangs- und Randwertproblemen berechnet werden können, wie aussagekräftig sie sind und ob es möglich ist, eine einzige Kennzahl zu konstruieren, die alle Verfahren vergleichbar macht.

Eine Herausforderung der Diplomarbeit ist es, den globalen Fehler für Differentialgleichungsverfahren zu beschreiben, da hierbei erst ‚a posteriori’ die Schwächen des Schätzverfahrens sichtbar werden. Des Weiteren ist die Implementierung der gewünschten Visualisierung in C++ mit dem Graphik-Tool TeeChart herausfordernd.

Um das Potential analytischer Lösungen abschätzen zu können, wird versucht werden, die auftretenden physikalischen Kräfte analytisch zu untersuchen und z. B. aus der Differentialgleichung zu entkoppeln. Aber da selbst die Lösung einfacher analytischer Flugbahnmodelle schwierig ist, wie ein analytisch berechnetes quadratisches Luftwiderstandsmodell zeigt, werden diese Untersuchungen nur unterstützende Funktion haben können.

Gang der Untersuchung:

Im nächsten Kapitel 2 werden die notwendigen Grundlagen zur Bestimmung der Anfangs- und Randwertprobleme nach STANAG 4355 erklärt. Dabei wird auf die einzelnen physikalischen Kräfte eingegangen, die auf das Projektil wirken. Weiterhin werden die relevanten Begriffe und Definitonen von Differentialgleichungen erläutert.

In Kapitel 3 kann dann mit den vorher eingeführten Größen das Differentialgleichungssystem des Flugbahnmodells nach STANAG 4355 definiert und in eine numerisch effiziente Form für ODE-Solver gebracht werden.

Das darauf folgende Kapitel 4 beschäftigt sich mit Verfahren zur Bestimmung des Fehlers und der Effizienz numerischer Lösungsverfahren von Differentialgleichungen, insbesondere Rechenzeit, lokaler (Diskretisierungs-) Fehler, globaler Fehler und Methoden zur Bestimmung des globalen Fehlers.

Dies ist notwendig, damit die Vielzahl von ODE-Solver miteinander verglichen werden können.

Die Anwendung eines dieser vorgestellten Verfahren, der Defektkorrektur, wird im Kapitel 5 diskutiert. In diesem Abschnitt werden auch die verwendeten ODE-Solver vorgestellt. Mit Hilfe der Kennzahlen in Kapitel 4 kann letztendlich das effizienteste ODE-Verfahren für das dreidimensionale Flugbahnmodell bestimmt werden.

Die Überlegungen und Methoden zur Bestimmung der Effizienz aus Kapitel 5 werden in Kapitel 6 nun dafür verwendet, um das effizenteste ODE-Verfahren für die Fragmentflugbahnen zu ermitteln.

In Kapitel 7 werden die benötigten Startwerte des zweiseitigen Randwertproblems analytisch bestimmt und die effizienteste Minimierungsmethode wird ermittelt.

Abschließend werden in der Zusammenfassung die numerischen Ergebnisse zusammengetragen und zukünftige mögliche Verbesserungen der numerischen Rechenmethoden aufgezeigt.

Inhaltsverzeichnis:

Eine Textprobe schicken wir Ihnen unter Angabe der Studiennummer 12882 gerne zu.