Elemente der Maß- und Integrationstheorie

Diplomarbeit von Regine Stefanie Martschiske

Einleitung:

Die Maßtheorie ist eine Teildisziplin der Mathematik, die die elementargeometrischen Begriffe wie Länge, Flächeninhalt und Volumen verallgemeinert und es dadurch ermöglicht, auch komplizierteren Mengen eine Maßzahl zuzuordnen.

Die o. g. Begriffe sind uns auf Grund der Alltagserfahrung intuitiv zugänglich. Daher ist es auch nicht verwunderlich, dass erst relativ spät die mathematischen Probleme und Eigenschaften, die diese Begriffe in sich bergen, erkannt und gelöst werden. Für die Mathematiker vergangener Jahrhunderte besteht die Herausforderung ausschließlich in der Berechnung solcher Größen und nicht in der Analyse des Begriffs der Fläche oder des Volumens. Mit der Einführung der Mengenlehre Ende des 19. Jahrhunderts durch Cantor gelingt es Borel und Lebesgue einen angemessenen Begriff des Volumens einer Teilmenge des Rd zu finden. Im Jahre 1904 formuliert Lebesgue in seinen Le¸cons sur l’int´egration et la recherche des fonctions primitives dann das sog. Maßproblem. Dabei soll die Maßfunktion im Spezialfall der Geometrie mit den bekannten Flächen- und Volumen- formeln übereinstimmen. Kurz darauf zeigt Vitali, dass das Maßproblem für alle Dimensionen unlösbar ist.

Die vorliegende Arbeit gibt eine Einführung in die Maß- und Integrationstheorie und beantwortet die Frage, warum es so schwierig ist, eine Lösung für ein so primitiv klingendes Problem wie das Maßproblem zu finden. Zum anderen schließt die Arbeit einige Lücken, die in der Vorlesung Maß- und Integrationstheorie auf Grund beschränkter zeitlicher Ressourcen entstanden sind. So wurde dort oftmals auf Beweise der Sätze verzichtet. Daher steht einerseits die Ausführlichkeit, insbesondere im Zusammenhang mit Beweisen, andererseits die Erweiterung der Theorie bzgl. der Teilgebiete Mengensysteme, messbare Abbildungen, Maße und Integration im Vordergrund.

Gang der Untersuchung:

In Kapitel 2 behandeln wir Mengensysteme, die als Definitionsbereiche für die in Kapitel 4 einzuführenden Inhalts- und Maßfunktionen in Betracht kommen. Wir werden sehen, dass der Wahl angemessener Definitionsbereiche eine erhebliche Bedeutung zukommt. Dem Begriff der messbaren Abbildung wenden wir uns in Kapitel 3 zu. Dort beschäftigen wir uns mit der Bedeutung der Messbarkeit und verschaffen uns einen Überblick über die Menge aller messbaren Abbildungen. Kapitel 4 ist den Begriffen Inhalt, Prämaß und Maß gewidmet. Wir erläutern, was unter den Begriffen (mathematisch) zu verstehen ist und gehen auf zahlreiche Charakteristiken dieser ein. Zum Ende des 4. Kapitels kommen wir noch einmal auf die Unlösbarkeit des Maßproblems zurück. Den Abschluss bildet Kapitel 5, in dem wir zeigen, wie man (messbare) Abbildungen bezüglich eines Maßes integriert. Dabei stellen wir uns die Aufgabe einer möglichst umfangreichen Menge von (messbaren) Abbildungen ein Integral zuzuordnen.

Inhaltsverzeichnis:

Eine Textprobe kann unter Angabe der Studiennummer 12572 per Mail oder Telefon angefordert werden.