Mathematische Analyse der Eignung quantilbasierter Risikomaße zur Definition der Mindestkapitalanforderungen unter Berücksichtigung der Ziele von Solvency II

Diplomarbeit von Verena Nallin

Einleitung:

Parallel zum etwas bekannteren Regelwerk Basel II, das die Aufsicht von Banken und Kreditinstituten in rund 100 Staaten regelt, arbeitet die Europäische Kommission seit 1999 am Projekt Solvency II, durch das die Aufsicht von Versicherungsunternehmen weitläufig reformiert werden soll. Analog zu Basel II werden die Anforderungen der Aufsicht künftig in einer Drei-Säulen-Struktur gegliedert:

- Säule I Eigenmittelanforderungen.

- Säule II Aufsichtsrechtliches Überprüfungsverfahren.

- Säule III Marktdisziplin.

Im Rahmen der Säule I werden quantitative Vorgaben bezüglich der Höhe und der Berechnungsverfahren des vorzuhaltenden Risikokapitals formuliert. Risikokapital stellt dabei das Kapital dar, das von einem Versicherungsunternehmen vorgehalten werden muss, um dessen Fortbestand mit hoher Sicherheit gewährleisten zu können.

Die Säule II beinhaltet qualitative Regelungen bezüglich dem zukünftigen Überprüfungsverfahren durch die Aufsichtsbehörde. In Säule III sollen schließlich Publikationspflichten vorgegeben werden, die die Transparenz und Vergleichbarkeit der einzelnen Versicherungsunternehmen für die Versicherungsnehmer erhöhen. Damit sind die Versicherungsunternehmen auch aufgrund des Wettbewerbs zu einem effektiven Risikomanagement gezwungen.

Problemstellung:

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit einer Fragestellung der Säule I. Das Risikokapital soll in Zukunft durch Risikomaße berechnet werden. Unter Basel II ist derzeit die Verwendung des Risikomaßes Value-at-Risk zu einem Konfidenzniveau von 99% vorgeschrieben. Es stellt sich nun die Frage, welches Risikomaß am besten geeignet ist, um der Aufgabe der Risikokapitalberechnung unter Solvency II gerecht zu werden.

Es muss geklärt werden, nach welchen Kriterien ein Risikomaß als geeignet betrachtet werden kann, welche Eigenschaften es notwendigerweise erfüllen muss, ob unter diesen Vorgaben der Value-at-Risk ein geeignetes Risikomaß ist und welche Alternativen zum Value-at-Risk existieren. Der Fokus liegt dabei auf den Risikomaßen, die auf der Basis von Quantilen definiert werden.

Gang der Untersuchung:

Im ersten Kapitel werden die Grundlagen der Arbeit erarbeitet. Es werden die Begriffe Risiko, Risikokapital und Risikomaß sowie die Grundidee der Solvabilität erklärt und weitere Informationen zum Solvency II-Projekt gegeben.

In Kapitel 2 werden die Eigenschaften von Risikomaßen untersucht. Insbesondere werden Kohärenz und Konvexität, Verteilungsinvarianz und Konsistenz zur stochastischen Dominanz erster und zweiter Ordnung behandelt.

Im dritten Kapitel werden schließlich verschiedene Risikomaße untersucht. Der Schwerpunkt liegt auf dem Value-at-Risk, dem Average Value-at-Risk und den kohärenten Spektralrisikomaßen.

Kapitel 4 rundet die Arbeit mit einer Zusammenfassung der Ergebnisse und einer eigenen Stellungnahme ab.

Inhaltsverzeichnis:

Textprobe:

Kapitel 3.1, Value at Risk:

Zu Beginn wird auf die Vorteile des Value-at-Risk eingegangen. Die Verwendung des Risikomaßes Value-at-Risk hat einige Verbesserungen gebracht im Vergleich zu älteren Verfahren, mit denen das Risiko einer Finanzposition beurteilt werden kann. Insbesondere kann der Value-at-Risk auf alle Arten von Finanzpositionen angewendet werden, und es können verschiedenartige Finanzpositionen über ihren Value-at-Risk direkt miteinaner verglichen werden.

Diesen Vorteil bieten zum Beispiel das Konzept der Duration oder das Konzept der Greeks nicht. Die Duration ist eine Kennzahl für festverzinsliche Anleihen, die angibt, wie sensibel der Preis der Anleihe auf leichte Zinsänderungen reagiert. Die Greeks sind Kennzahlen für Optionen, die angeben, wie der Optionspreis auf die Änderung einer seiner Bestimmungsfaktoren (z.B. Restlaufzeit, Marktzins) reagiert. Mit der Duration können also nur zwei oder mehrere festverzinsliche Anleihen miteinander verglichen werden, mit den Greeks nur zwei oder mehrere Optionen. Auch im Vergleich zur Portfoliotheorie nach Markowitz besitzt der Value-at-Risk bessere Verwendungsmöglichkeiten.

Das Modell von Markowitz kann im Allgemeinen nur für die Modellierung von Marktrisiken angewendet werden, und die Risiken haben dann elliptische Verteilungen. Der Value-at-Risk kann auch auf andere Typen von Risiken (z.B. Kreditrisiken) angewendet werden und für alle Verteilungen berechnet bzw. geschätzt werden. Weiterhin ist die in der Portfoliotheorie als Risikomaß verwendete Standardabweichung ein Streuungsmaß.

Es wurde jedoch schon zu Beginn dieser Arbeit festgestellt, dass für die Bestimmung von Risikokapital das Downside Risk gemessen werden soll. Ferner gibt der Value-at-Risk eine Information über die Höhe eines speziellen Verlustes, der mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit nicht überschritten wird. Im Gegensatz dazu liefern Duration und Greeks nur Antworten auf „Was-wäre-wenn“-Fragen. Mit dem Value-at-Risk ist es möglich, zunächst Einzelrisiken zu berechnen und diese anschließend zu einem Gesamtrisiko zu aggregieren, wie es unter Solvency II geplant ist. Weiterhin wird der Value-at-Risk in derselben Einheit wie das Risiko (die Zufallsvariable) X angegeben, nämlich in der Einheit ‚lost money’.

Nicht nur die Einheit dieses Maßes ist damit leicht verständlich, sondern auch seine Interpretation ist sogar Laien leicht zu erklären. Die deutliche Verbesserung gegenüber anderen Risikomessungsverfahren hat dem Value-at-Risk zu seiner hohen Popularität verholfen und erklärt, warum er in den 90er Jahren insbesondere von den Banken mit viel Begeisterung aufgenommen und eingesetzt wurde. Zu einem Zeitpunkt, an dem der Value-at-Risk das einzige bekannte quantilbasierte Risikomaß war, ist diese Begeisterung auch berechtigt gewesen. Es muss jedoch vorweg gegriffen werden, dass in der Folgezeit auf der Basis des Value-at-Risk-Konzepts weitere Risikomaße geschaffen worden sind, mit deren Eigenschaften der Valueat-Risk im Allgemeinen nicht mithalten kann. Es werden deshalb im Folgenden die Hauptkritikpunkte am Risikomaß Value-at-Risk vorgestellt.

Der Value-at-Risk ist im Allgemeinen nicht subadditiv. Die Schwierigkeiten, die auftreten können, wenn ein Risikomaß nicht subadditiv ist, wurden bereits im Abschnitt 2.2 ausführlich erläutert. Dennoch wurden diese Warnungen bis vor einiger Zeit von der Praxis noch weitgehend ingnoriert und die Notwendigkeit der Subadditivität wurde als akademisches Problem abgetan. Weiterhin stellen neuere Arbeiten die Notwendigkeit dieser Sinn und Eigenschaft in Frage.

Das heißt, um ein Risiko zu messen, muss klar sein, was man unter Risiko versteht, und welche Anforderungen eine Risikomessmethode erfüllen muss, um schlüssig und in sich stimmig zu sein. Einen solchen Anforderungskatalog bietet das Axiomensystem von ARTZNER ET AL. , und dieses Axiomensystem ist weitläufig anerkannt. Soll ein Risikomaß verwendet werden, das dieses Axiomensystem nicht erfüllt, so muss es dennoch einer schlüssigen und in sich stimmigen Risikomessmethode folgen. Es ist jedoch kein Anforderungskatalog bekannt, der keinerlei Diversifikationseffekte in Form von Subadditivität oder Konvexität berücksichtigt. Einige Autoren sprechen dem Value-at-Risk daher den Rang eines Risikomaßes ab.