Digitalanalyse als Ansatz zur Betrugserkennung in Finanzdaten

Abbildung 3.8: Kolmogoroff-Smirnoff-Statistik der konstruierten Verteilung zu verschiedenen Basen Diese Ergebnisse zeigen, dass - wie erwartet - die Mantissenverteilung der konstruierten Verteilung bei der Betrachtung zur Basis 10 durch Benford’s-Law gut angenähert werden kann, ansonsten allerdings nicht. Ebenfalls auffällig ist ein gewisses Zyklenverhalten der Statistiken, welche jeweils bei Zehnerpotenzen, d.h. bei 10k für beliebige ganze k > 0 lokale Minima aufweisen. Dieser Effekt tritt aber nicht nur bei dieser konstruierten Verteilung auf, sondern auch bei der Lognormal- und auch der Exponentialverteilung.61 Satz 3.6 (Stetigkeit der Mantissenfunktion) Sei f (x) eine stetige Dichtefunktion über R+ . Dann ist die zugehörige Mantissenfunktion zur Basis b mb,f (x) stetig. Sie ist insbesondere stetig in b. Beweis. Betrachtet man die Mantissenfunktion als eine Funktion g von R2 nach R, so sollte gelten: ∀(t, b) ∈ (R+ )2 : lim g(x) = g(t, b) [...]

Die Beobachtung, dass bei steigender Varianz die Verteilung der ersten signifikanten Ziffer eine gewisse Rechtsschiefe aufweist, soll mit den folgenden Simulationen untersucht werden. Dazu werden grundsätzlich die Verteilungen aus dem vorangegangenen Kapitel genutzt, und bei verschieden Höchstwerten g abgeschnitten. Auf diese Weise können sowohl linksals auch rechtsschiefe Ausgangsverteilungen erzeugt werden, deren Erste-Ziffer-Verteilungen aus den anderen Simulationen schon bekannt sind. Das Simulationsverfahren sieht dabei eine herkömmliche Simulation der Verteilungen vor, wobei das Überschreiten der Höchstgrenze eine Neusimulation der betroffenen Werte hervorruft. Damit wird die Wahrscheinlichkeitsmasse, welche sich hinter der Höchstgrenze befindet, proportional zum Wert der Dichte unter der Höchstgrenze aufgeteilt, so dass wiederum eine Wahrscheinlichkeitsdichte fu (x) := f (x) · entsteht. Der zu erwartende Effekt, dass die ersten Ziffern unterhalb der Grenze häufiger auftreten als die anderen, bestätigt sich in der Abbildung 3.4. Die Häufigkeit von ersten signifikanten Ziffern oberhalb der Grenze ist im Vergleich zu den Werten darunter deutlich geringer. Es zeigt sich, dass eine Verteilung, deren Dichte monoton ansteigt, eine monoton ansteigende Mantissenverteilung aufweist. Deutlich ist dies bei der Lognormalverteilung in Abbildung 3.5 erkennbar. [...]

In diesem Kapitel soll auf die (nicht unbedingt mit Benford’s-Law konforme) Verteilung der Mantissen bzw. der ersten signifikanten Ziffern eingegangen werden. Ziel ist dabei eine Erklärung für das (Nicht-)Auftreten von Benford’s-Law zu geben. Des weiteren ist zu prüfen, ob die in Kapitel 2.3 vorgestellten Proxieverteilungen die Einschränkungen von Benford’s-Law ausreichend auflösen können, um eine generelle Anwendung zu ermöglichen. Folgende Vermutungen sollen in diesem Kapitel geprüft werden: 1. Nicht jede Verteilung hat eine mit mit Benford’s-Law konforme Mantissenverteilung. 2. Nicht jede Verteilung besitzt eine monoton fallende Mantissenverteilung. 3. Die höchste Wahrscheinlichkeit weist zumeist diejenige erste Ziffer auf, welche mit der ersten signifikanten Ziffer des Modalwertes identisch ist. 4. Mit steigender Varianz werden die Mantissenverteilungen der Benford’schen optisch ähnlicher. 5. Linksschiefe Verteilungen haben eine linksschiefe Mantissenverteilung und rechtsschiefe Verteilungen haben eine rechtsschiefe Mantissenverteilungen der ersten signifikanten Ziffern. Dazu werden Simulationen durchgeführt, welche zunächst den Einfluss der Parameter auf die Mantissenverteilung untersuchen. Anschließend werden die Einflüsse der Beschränkung des Definitionsbereichs nach oben und zum Abschluss der Einfluss der gewählten Basis betrachtet. [...]