Bewertung von exotischen Optionen mit diskreten Dividenden

Diplomarbeit von Martin Krekel

Einleitung:

Ende der 80'er Jahre wurde am Aktienmarkt verstärkt mit exotischen Optionen gehandelt. Da es für die meisten Optionstypen keine geschlossenen analytischen Lösungen gab (und bis heute nicht gibt), sind seit Anfang der 90'er Jahre eine Vielzahl von Artikeln und working papers erschienen, die sich mit der Bewertung dieser Optionen auseinandersetzen. Dabei sind jedoch selten eventuelle Dividendenzahlungen der zugrundeliegenden Aktie berücksichtigt worden. Dies soll in dieser Arbeit korrigiert werden. In Kapitel 1 wird das Black-Scholes-Modell (BS-Modell) kurz zusammengefaßt. In Kapitel 2 werden zunächst drei Dividendenmodelle vorgestellt, von denen das erste unter den Namen Escrowed Dividend Stock Process, Displaced LogNormal-Distribution oder auch Geometrische Brownsche Bewegung mit reduziertem Spot wohlbekannt sein durfte. In dieser Diplomarbeit werden für Barriere-Optionen (Kapitel 4) und asiatische Optionen (Kapitel 5) speziell solche Bewertungsmethoden untersucht, die auf den Escrowed Dividend Stock Process angewandt werden können. Die verschiedenen Methoden wurden zunächst in ein mathematisches Modell eingebettet (was in den Originalartikeln nicht immer der Fall war). Bei den Baummodellen wurde - falls notwendig - speziell darauf eingegangen, wie sich die Modelle lokal bei einer Dividendenauszahlung verhalten. Um die Konvergenzeigenschaften und allgemeine Praxistauglichkeit der verschiedenen Näherungsverfahren zu untersuchen, sind sie dann in C++ implementiert und ausgiebig getestet worden. Das Ziel war es, für beide Optionstypen mindestens eine praktikable Methode zu entwickeln; das heißt möglichst genaue Ergebnisse in möglichst kurzer Berechnungszeit innerhalb des relevanten Parameterraums. Sowohl für Barriere-Optionen auch als für asiatische Optionen ist es gelungen einen Algorithmus zu entwickeln, der auf einem PC eine relative Genauigkeit des Optionspreises von circa einem Promill unterhalb einer Sekunde liefert.

Diese Arbeit hat zusätzlich einen theoretischen Aspekt: Im Jahr 1979 ist von Cox, Ross & Rubinstein das Binomialmodell als Approximation zum Black-Scholes-Modell ausgearbeitet worden. Wegen der einfachen rekursiven Struktur und der schnellen Konvergenz des Optionspreises gegen den BS-Preis (zumindest bei manchen Optionstypen), fand dieses Modell weite Verbreitung und gehört heute zum Standard in jedem Lehrbuch. Obwohl es dieses Modell nun schon fast 20 Jahre gibt, sind bisher - nach Kenntnisstand des Autors - noch keine Konvergenzbeweise für die Optionspreise von pfadabhängigen/exotischen Optionen veröffentlicht worden. In Kapitel 3 wird ein (neues) allgemeines Beweis-Schema vorgestellt, mit dem man die Konvergenz von binomialen bzw. trinomialen Bäumen für pfadabhängige europäische Optionen ''rigoros'' beweisen kann. Dabei werden aus den ursprünglich zeitdiskreten Bäumen mittels Interpolation zeitstetige Bäume konstruiert. Die Hauptarbeit des Beweises liegt darin, zu zeigen, daß diese Bäume in Verteilung gegen die Brownsche Bewegung bzw. die geometrische Brownsche Bewegung des Black-Scholes-Modells konvergieren. Da die lokalen Momente der Bäume nur näherungsweise mit denen der zu approxmierenden Brownschen Bewegung übereinstimmen, kann man nicht einfach den Satz von Donsker oder auch einen Satz von Prohorov anwenden (wie manchmal behauptet), vielmehr muß die Konvergenz komplett neu durchgerechnet werden. Ferner sind noch ein einige technische Voraussetzungen und die Konvergenz der Optionspreise der zeitdiskreten Bäume gegen die der zeitstetigen Bäume zu zeigen. Dieses Beweis-Schema wird in Kapitel 4 und 5 konkret auf Barriere-Optionen und asiatische Optionen angewandt.

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