Bewertung und Hedging von Optionen bei Transaktionskosten

Diplomarbeit von Boris Zerban

Einleitung:

Eigentlich kann das Verhalten von auf Finanzmärkten agierenden Händlern sehr einfach beschrieben werden. Sie möchten genaue Kenntnisse über die zukünftigen Preise der gehandelten Wertpapiere besitzen, um diese in gewinnmaximierende Handelsstrategien umzusetzen. Die Preisentwicklungen von auf Finanzmärkten gehandelten Wertpapieren werden in der Realität aber von vielen Faktoren beeinflusst und sind vielmehr willkürlich bzw. zufällig als durch Modellansätze determinierbar. Dennoch wurden in der Vergangenheit verschiedene Modelle entwickelt, mit denen es gelingt, sinnvoll verschiedenste Wertpapiere zu bewerten.

Die wichtigste Eigenschaft der hier vorgestellten Modelle ist, dass diese von den Präferenzen der Investoren unabhängig sind. Zwar kann man für einzelne Investoren Präferenzen bestimmen, für Unternehmen wie z.B. Investmentfirmen scheint dies aber wenig zweckdienlich.

Im Jahre 1973 wurde von Black, Scholes und Merton das wohl bekannteste Modell zur Bewertung von Aktienoptionen entwickelt. Nicht zuletzt wegen der großen Praxisrelevanz dieses Bewertungsmodells erhielten Merton und Scholes im Jahre 1997 (Black starb 1995) den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften. Zur Anwendung des sog. Black/Scholes-Modells wird die Vollkommenheit des betrachteten Finanzmarktes im Sinne nicht existierender Marktfriktionen angenommen. Letztere entstehen durch Unteilbarkeit von Wertpapieren, Leerverkaufsbeschränkungen, Steuern und nicht zuletzt Transaktionskosten.

In der Realität können diese Annahmen jedoch oftmals nicht eingehalten werden. Z.B. wird bei Käufen und Verkäufen von Wertpapieren die Bank das Depotkonto meist immer mit fixen Spesen und Courtagen und vom Transaktionsvolumen abhängigen Provisionen belasten.

Bei Existenz von Transaktionskosten führt das Black/Scholes-Modell zu keiner akzeptablen Lösung bei der Bewertung von Optionen. Die zeitstetige Anpassung des Duplikationsportefeuilles führt zu unendlich hohen Transaktionskosten und somit auch zu einem unendlich hohen Optionspreis. Wird das Duplikationsportefeuille nur an bestimmten Zeitpunkten angepasst, so kann das Zahlungsprofil der Option nicht mehr exakt nachgebildet werden; es entsteht ein Hedgefehler.

Das Ziel dieser Arbeit ist, die Auswirkung von Transaktionskosten auf präferenzrelationsunabhängige Bewertungsmodelle und resultierende Optionspreise zu zeigen. Damit verbunden ist die Auswirkung von Transaktionskosten auf Hedgeportefeuilles, mit denen sich Stillhalter von Optionen gegen auftretende Risiken absichern.

Hierzu werden in Kapitel 2 dieser Arbeit anhand des zeitdiskreten, von Cox, Ross und Rubinstein (1979) entwickelten, Binomialmodells das Grundprinzip der Bewertung von Finanzderivaten gezeigt; die Duplikation von Zahlungsprofilen und die arbitragefreie Bewertung dieser Duplikationsportefeuilles. In Kapitel 3 wird kurz das Black/Scholes-Modell vorgestellt. Kapitel 4 stellt das Bewertungsmodell von Boyle und Vorst vor, welches auf der Basis des Bewertungsansatzes von Cox, Ross und Rubinstein eine Bewertung von Optionen unter Berücksichtigung von Transaktionskosten ermöglicht. Weiterhin werden in diesem Kapitel Approximationen vorgestellt, welche den Rechenaufwand einer Bewertung erheblich vereinfachen. Numerische Beispiele verdeutlichen die Unterschiede zu bisherigen Bewertungsansätzen. In Kapitel 5 wird das Verfahren der Superreplikation von Zahlungsprofilen erläutert. Es wird gezeigt, dass exakte Duplikation unter Berücksichtigung von Transaktionskosten oftmals suboptimale Lösungen liefert. D.h. in einer zeitdiskreten Modellwelt existiert eine kostengünstigere Superreplikationsstrategie. Eine wichtige Grundlage dieses Kapitels ist die im Jahre 1993 veröffentlichte Arbeit von Chanaka Edirisinghe, Vasanttilak Naik und Raman Uppal. Die von ihnen zur Bewertung von Europäischen Optionen vorgestellten Optimierungsprogramme werden in diesem Kapitel dargestellt. Ein numerisches Beispiel zeigt den Trade-off zwischen exakter Replikation und der Höhe der Transaktionskosten. Abschließend werden in Kapitel 6 einige Bemerkungen zu dem behandelten Thema getroffen. Der Anhang ist in Kapitel 7 angeführt.

Inhaltsverzeichnis: