Bewertung von Aktienoptionen
- Art: Diplomarbeit
- Autor: Michael Stahl
- Abgabedatum: Februar 2006
- Umfang: 61 Seiten
- Dateigröße: 556,6 KB
- Note: 3,0
- Institution / Hochschule: FernUniversität in Hagen Deutschland
- ISBN (eBook): 978-3-8324-9434-6
-
ISBN (Paperback) :
978-3-8324-9434-6 P - ISBN (CD) :978-3-8324-9434-6 CD
- Sprache: Deutsch
- Prämierung:
- Arbeit zitieren: Stahl, Michael Februar 2006: Bewertung von Aktienoptionen, Hamburg: Diplomica Verlag
- Schlagworte: Binominalmodelle, Black-Scholes-Modell, Bewertungsmodelle, Sensitivitätskennzahlen, Barome-Adesi und Whaley
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Diplomarbeit von Michael Stahl
Einleitung:
Derivative Finanzprodukte, insbesondere Aktienoptionen, erfreuen sich in der Finanzwelt immer größerer Beliebtheit. Sie ermöglichen es sowohl den Privatanlegern als auch den professionellen Anlegern Risikopositionen abzusichern und können die Grundlage für eine konservative Anlagestrategie sein. Aber auch als Spekulationsobjekt können sich Aktienoptionen für Investoren anbieten und haben schon so manchen Investoren sagenhafte Gewinne, aber auch Verluste beschert.
Unabhängig von den Motiven der Investoren für ein Engagement in Aktienoptionen ist es für die Umsetzung einer erfolgsversprechenden Anlagestrategie von entscheidender Bedeutung, die „richtigen“ Aktienoptionen zu wählen. Neben den zahlreichen Kennzahlen, die für Aktienoptionen existieren, um die Auswahl zu erleichtern, ist das Hauptaugenmerk auf den „fairen“ Wert der Aktienoptionen gerichtet. Die Optionstheorie hat sich zur Aufgabe gemacht, diesen „fairen“ Wert zu ermitteln, um damit Optionen objektiv bewerten zu können.
Ziel dieser Arbeit ist es, die Möglichkeiten aufzuzeigen, welche bestehen, diesen „fairen“ Wert einer Aktienoption zu bestimmen. Im Vordergrund stehen dabei die Gleichgewichtsmodelle von Black & Scholes sowie das Binomialmodell, welche ausführlich hergeleitet und kritisch betrachtet werden. Das Black & Scholes Modell ist wohl das bekannteste Modell zur Bewertung von Aktienoptionen Es wurde im Jahre 1973 von Fischer Black und Myron Scholes vorgestellt und ist seitdem wegweisend für die Entwicklung der Optionstheorie.
Gang der Untersuchung:
In der vorliegenden Arbeit werden im zweiten Kapitel die Grundlagen für die Bewertung von Aktienoptionen dargestellt.
In Kapitel 3.1 wird eine Übersicht über Optionsbewertungsmodelle gegeben. Anschließend erfolgt in 3.2 eine Herleitung vom Binomialmodell, welches von Cox, Ross und Rubinstein entwickelt worden ist. Dieses Modell zeichnet sich durch seine einfach gehaltene mathematische Darstellung aus und ermöglicht einen schnellen Einstieg in die Bewertung von Aktienoptionen.
Daran folgend wird das Black & Scholes Modell hergleitet und ausführlich erläutert. Ein Zahlenbeispiel soll die Bewertung von Aktienoptionen nochmals verdeutlichen und aufzeigen, dass die Black & Scholes Formel als Grenzfall des Binomialmodells angesehen werden kann.
Anschließend werden die Wirkungen einer Veränderung der Einflussgrößen des Optionswertes im Black & Scholes Modells ausführlich aufgezeigt und thematisiert. Nach einer darauf folgenden Modifikation des Black & Scholes Modells, nämlich der Berücksichtigung von Dividendenzahlung, schließt das Kapitel mit einer kritischen Beleuchtung des Modells.
In Kapitel 3.4 wird auf die Problematik von amerikanischen Aktienoptionen mit und ohne Dividendenberücksichtigung eingegangen und weitere Modelle vorgestellt. Dabei wurde bewusst auf das Binomialmodell verzichtet, um alternative Ansätze zur Bewertung von Aktienoptionen aufzuzeigen.
Inhaltsverzeichnis:
| 1. | Einleitung | 1 |
| 2. | Grundlegendes zu Aktienoptionen | 3 |
| 3. | Optionsbewertungsmodelle | 5 |
| 3.1 | Klassifizierung der Methoden zur Optionsbewertung | 5 |
| 3.2 | Das Binomialmodell für Aktienoptionen | 7 |
| 3.2.1 | Grundgedanke | 7 |
| 3.2.2 | Annahmen des Modells | 7 |
| 3.2.3 | Bewertung von europäischen Kaufoptionen | 8 |
| 3.2.4 | Bewertung von europäischen Verkaufsoptionen | 15 |
| 3.3 | Das Modell von Black & Scholes für europäische Optionen | 17 |
| 3.3.1 | Grundgedanke | 17 |
| 3.3.2 | Annahmen des Modells | 18 |
| 3.3.3 | Bewertung von europäischen Kaufoptionen | 18 |
| 3.3.4 | Bewertung von europäischen Verkaufsoptionen | 23 |
| 3.3.5 | Zahlenbeispiel mit Konvergenztest der Binomialformel | 23 |
| 3.3.6 | Sensitivitätskennzahlen des Black & Scholes Modells | 25 |
| 3.3.6.1 | Vorbemerkung | 25 |
| 3.3.6.2 | Delta | 26 |
| 3.3.6.3 | Alpha | 30 |
| 3.3.6.4 | Theta | 30 |
| 3.3.6.5 | Rho | 32 |
| 3.3.6.6 | Vega | 34 |
| 3.3.7 | Bewertung von europäischen Optionen mit Dividendenberücksichtigung | 37 |
| 3.3.8 | Kritik am Black & Scholes Modell | 39 |
| 3.4 | Bewertung von amerikanischen Aktienoptionen | 41 |
| 3.4.1 | Vorbemerkung | 41 |
| 3.4.2 | Bewertung von amerikanischen Kaufoptionen ohne Dividendenberücksichtigung | 42 |
| 3.4.3 | Bewertung von amerikanischen Kaufoptionen mit Dividendenberücksichtigung | 42 |
| 3.4.4 | Bewertung von amerikanischen Verkaufsoptionen ohne und mit Dividendenberücksichtigung | 44 |
| 4. | Zusammenfassung | 48 |
| Anhang 1: Werte für Berechnung einer Kaufoption im Binomialmodell | 49 | |
| Literaturverzeichnis | 50 |
3.3.6 Sensitivitätskennzahlen des Black & Scholes Modells 3.3.6.1 Vorbemerkung Im Black & Scholes Modell wird der Optionspreis durch die fünf Variablen Aktienkurs im Bewertungszeitpunkt ( S ), Restlaufzeit der Option ( T ), Ausübungspreis ( X ), Höhe des risikolosen Zinssatzes ( r f ) und der Aktienkursvolatilität ( σ ) bestimmt. Interessante Aufschlüsse lassen sich nun gewinnen, wenn untersucht wird, welche Wertrelationen zwischen den Variablen und dem Optionswert bestehen. Durch die Veränderung einer Variablen und unter Konstanthalten der restlichen Größen kann die Auswirkung dieser Variable auf den Optionspreis bestimmt werden. Die Werte, die durch die Variierung der einzelnen Variablen erzielt werden, [...]
18 3.3.2 Annahmen des Modells • • • Die Investoren verhalten sich rational und streben Endvermögensmaximierung an. Es liegt ein vollkommener Kapitalmarkt vor, d.h., es fallen keine Informations- und Transaktionskosten sowie Steuern an. Der kurzfristige risikolose positive Zinssatz ist während der gesamten Optionslaufzeit konstant und den Marktteilnehmern auch bekannt. • • • • • • Die Aktienkurse sind lognormalverteilt und folgen einem kontinuierlichen Random Walk. Es fallen weder Dividenden- noch Bezugsrechtszahlungen an. Es handelt sich um europäische Optionen, d.h. sie dürfen erst und nur am Ende ihrer Laufzeit ausgeübt werden. Es besteht die Möglichkeit uneingeschränkter Leerverkäufe. Die Schwankungsbreite der Aktie ist während der Optionslaufzeit im voraus bekannt und verhält sich konstant. Die Optionsbedingungen ändern sich während der Laufzeit nicht. [...]
3.3.1 Grundgedanke Ausgangspunkt für das Modell von Black & Scholes ist das Postulat, daß in einem vollkommenen Kapitalmarkt die Rendite eines risikolosen Investments beliebiger Zusammensetzung genau dem marktüblichen Zinssatz für risikolose Anlagen entspricht. Ein risikoloses Investment wird dabei über ein Hedgeportfolio bestehend aus einer Long-Position Aktien und einer dagegen ausgeschriebenen Short-Position teilgedeckter Calls definiert. Es werden somit Aktien gekauft und dagegen so viele Optionen geschrieben bzw. leer verkauft, daß sich die aus den Aktienkursschwankungen resultierende Gewinne und Verluste gerade kompensieren. Die Rendite, die dieses Portfolio erzielt, wird im Marktgleichgewicht mit dem risikolosen Zinssatz übereinstimmen.31 Desweiteren nehmen Black & Scholes in ihren Modell an, daß die Kurse der Aktien einem Zufallsweg oder Random Walk folgen. Hierbei handelt es sich um eine Hypothese über die Aktienkursverläufe, welche davon ausgeht, daß in effizienten Märkten, die Reihe von aufeinanderfolgenden Aktienkursveränderungen eine Zufallsreihe sei. Somit sei es nicht möglich, zukünftige Entwicklungen der Aktienkursveränderungen anhand von Vergangenheitsdaten zu bestimmen. Dies bedeutet, daß die proportionalen Aktienkursänderungen über kurze Zeiträume normal verteilt sind und somit einen zeit- und zustandkontinuierlichen stochastischen Prozess darstellen. [...]
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Link zur Arbeit:
http://www.diplom.de/ean/9783832494346
Arbeit zitieren:
Stahl, Michael Februar 2006: Bewertung von Aktienoptionen, Hamburg: Diplomica Verlag
Schlagworte:
Binominalmodelle, Black-Scholes-Modell, Bewertungsmodelle, Sensitivitätskennzahlen, Barome-Adesi und Whaley
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