Ausgewählte Methoden zur Risikomessung von Basket Credit Default Swaps im Vergleich

Diplomarbeit von Philipp Bandl

Einleitung:

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit dem Vergleich zweier Methoden zur Berechnung des Marktpreisrisikos von Basket Credit Default Swaps und soll Aufschluss darüber geben, ob und in welcher Höhe Fehler bei einem vereinfachten Risikomodell begangen werden.

Gang der Untersuchung:

In Kapitel 1 wird zunächst der Begriff des Value at Risk eingeführt und mathematisch definiert. Anschließend wird ein gängiges Modell f¨ur die Risikofaktoren eingeführt. Aufbauend auf diesem Modell werden die Delta-Methode und die Monte-Carlo-Methode zur Berechnung des Value at Risk theoretisch erläutert und am Ende des Kapitels miteinander verglichen.

Kapitel 2 vermittelt anfangs grundlegende Kenntnisse über Credit Default Swaps und erläutert, wie mit Hilfe des Intensitätsmodells Ausfallwahrscheinlichkeiten berechnet werden. Danach folgt eine Produktbeschreibung komplexerer Derivate wie den Collateralised Debt Obligations und Basket Credit Default Swaps sowie eine mögliche Vorgehensweise zur Bewertung speziell zu Basket Credit Default Swaps. Dabei wird zuerst die exakte Bewertung hergeleitet, anschließend werden Vereinfachungen getroffen, die die Bewertungszeit erheblich verkürzen.

Im darauffolgenden Kapitel wird der VaR ausgesuchter Basket Credit Default Swaps sowohl mit der Monte-Carlo-Simulation als auch mit der Delta-Methode berechnet und miteinander verglichen. Die Ergebnisse werden interpretiert und eine Aussage über die Qualität der Delta-Methode hinsichtlich der Bestimmung des VaR für Basket Credit Default Swaps getroffen. In Kapitel 4 werden die f¨ur diese Arbeit relevanten mathematischen Grundlagen erläutert. Im letzten Kapitel erfolgt schließlich eine kurze Zusammenfassung der Ergebnisse.

Inhaltsverzeichnis:

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Textprobe:

Kapitel 2.2, Credit Default Swaps (CDS):

Der CDS ist das bekannteste und mit 38% Marktanteil2 das meist gehandeltste Kreditderivat. Es handelt sich hierbei um einen Vertrag, den zwei Parteien miteinander over the counter abschließen . Dabei verpflichtet sich die eine Partei, der so genannte Sicherungsgeber (SG), der anderen Partei, dem Sicherungsnehmer (SN), im Falle eines Credit-Events des dem CDS zugrunde liegenden Referenzschuldners - Bei physical delivery die Anleihen des Referenzschuldners in Höhe des vereinbarten Nominalvolumens zu 100 abzukaufen.

- Bei cash settlement die Differenz zwischen dem Nominalbetrag und der tatsächlich eingetretenen Recovery-Rate zu zahlen.

Hierbei sei erwähnt, dass in der Praxis meist physical delivery vereinbart wird. Im Gegenzug zahlt der SN bis zum Eintritt des Kreditereignisses eine regelmäßige Pr¨amie. Durch die Tatsache, dass der Nominalbetrag bei Vertragsbeginn nicht ausgetauscht wird, hat der SN ein zusätzliches Ausfallrisiko im SG, da für den SN bei Ausfall des Assets das Risiko besteht, dass der SG den vertraglich zugesicherten Ausgleich nicht leisten kann. Nach dem Eintritt eines Kreditereignisses ist das Geschäft beendet. Die Bezeichnung Credit Event steht dabei meist für:

- Insolvenz.

- Zahlungsverzug.

- vorzeitiges Fälligstellen der Referenzanleihe.

- Umschuldung.

Abbildung (2.1) zeigt, wie ein CDS aufgebaut ist. Dabei sollte deutlich werden, dass jede Verbindung ein Ausfallrisiko darstellt. Das Ausfallrisiko des Referenzaktivums wird durch die Prämienzahlung an den SG weitergereicht. Zusätzlich liegt bei dem Sicherungsgeber das Adressenausfallrisiko des SN, da die Möglichkeit besteht, dass dieser die Prämien nicht bezahlen kann. Der Sicherungsnehmer hat, wie oben bereits erwähnt, noch das Ausfallrisiko bezüglich des SG. Alle gängigen Pricingmethoden ignorieren jedoch sowohl die Ausfallrisiken des SN als auch des SG und berücksichtigen nur die Bonität des Referenzaktivums.

Kapitel 2.2.1, Modellierung von Ausfallzeiten mit dem Intensitätsmodell:

Die Modellierung von Ausfällen ist ein wesentlicher Bestandteil der Bewertung von Kreditderivaten. Dabei müssen die beiden Größen zufälliger Ausfallzeitpunkt _ und die zufällige Höhe des Verlustes modelliert werden, wobei in dieser Arbeit die Höhe des Verlustes bei Ausfall als fest vorausgesetzt wird. Die Höhe des Verlustes wird in der Regel in 100% - RR angegeben, wobei RR eine vorgegebene Größe, die so genannte Recovery Rate darstellt. Sie drückt die bei Ausfall eines Schuldners mögliche Rückzahlung des Nominals in Prozent aus.

Zur Bestimmung des Ausfallzeitpunktes bzw. der Ausfallwahrscheinlichkeit eines Unternehmens werden in der Literatur zwei Modelltypen beschrieben. Das von Merton (1974) entwickelte Strukturmodell (Firmenwert-Modell) nimmt an, dass die Struktur der Verbindlichkeiten des Unternehmens der eines Zero-Bonds gleicht. Des Weiteren wird unterstellt, dass der Wert des Unternehmens einer geometrischen Brown´schen Bewegung folgt.

Liegt nun am Fälligkeitstag der Wert des Unternehmens unterhalb der noch ausstehenden Schulden, so wird dies als Ausfall bewertet. Ein weiteres Strukturmodell wurde von Black & Cox (1976) beschrieben, wobei das Unterschreiten einer bestimmten Schwelle als Ausfall bewertet wird. Da die entscheidende Größe, der Unternehmenswert, in der Regel nicht beobachtbar ist, wird auf die strukturellen Modelle, in denen der Ausfall eines Unternehmens endogen beschrieben wird, im Rahmen dieser Arbeit nicht weiter eingegangen.

Ein zweiter Typ zum Modellieren eines Ausfalls wird in der Literatur als Intensitätsmodell (auch reduced-form model genannt) beschrieben, unter anderem von Duffie & Singleton und Jarrow & Turnbull. Dabei wird die Ausfallrate pro Zeiteinheit direkt modelliert. Da die Ausfallwahrscheinlichkeiten der einzelnen Assets in dieser Arbeit mit dem Intensitätsmodell berechnet werden, wird darauf nun vertieft eingegangen.

Das Risiko des Eintritts eines Kreditereignisses kann modelliert werden als unbekannter, zufälliger Punkt zur Zeit _ 2 R+. Um den Fall zu berücksichtigen, dass das Ereignis überhaupt nicht eintritt, ist es sinnvoll, in die Menge der möglichen Ereignisse von _ den Wert 1 mit einzubeziehen. Da man wissen möchte, ob zu einem Zeitpunkt t das Ereignis bereits eingetreten ist, werden die zum Zeitpunkt t zur Verf¨ugung stehenden Informationen mittels einer Filtrierung F = {F0, F1, ..., FT } miteinbezogen, wobei Ft den zum Zeitpunkt t gültigen Informationsstand angibt.

Diese Eigenschaft definiert als eine Stoppzeit und drückt aus, dass man das Ereignis beobachten kann, sobald es eintritt. Nun lässt sich ein Indikator-Prozess definieren, der zur Stoppzeit von 0 auf 1 springt.

Spricht man von einer Stoppzeit, so handelt es sich also um die mathematische Beschreibung eines Ereignisses. Ein Punktprozess hingegen ist dann die Verallgemeinerung auf mehrere Ereignisse: Ein Punktprozess lässt sich vorstellen als eine Sammlung mehrerer Zeitpunkte.

Einen stochastischen Prozess erhält man durch Transformation des Punktprozesses in einen Zählprozess: Der Vorteil dieser Transformation ist, dass es sich bei dem Zählprozess um einen stochastischen Prozess handelt, der bei Null beginnt und bei jedem Ereignis um eins wächst.