Approximation der Historischen Simulation durch analytische Value at Risk

Die Delta-Gamma Methode ist ebenfalls ein parametrisches Verfahren. Sie benötigt damit auch eine Verteilungsannahme bzgl. der P&L-Verteilung. Die Annahme 1 (S. 19) aus der Delta-Normal Methode gilt auch hier. Die Änderungen der Risikofaktoren sind multivariat normalverteilt. Durch die Nichtlinearität der Bewertungsfunktionen der Instrumente, hat jedoch die P&L-Verteilung der Delta-Gamma Methode eine Schiefe und außerdem „Fat-Tails“. Die P&L-Verteilung ist damit nicht normalverteilt.95 Die Annahme 2 (S. 20) ist somit verletzt. Dadurch wird die Berechnung des VaR komplizierter. Sie ist nicht so einfach in geschlossener Form möglich, wie bei normalverteilten PortfolioRenditen, da die Kenntnis von Erwartungswert und Varianz der P&LVerteilung nicht ausreicht, um die Verteilung zu charakterisieren. Um entsprechende Quantile für den VaR zu bekommen, ist hier eine Approximation erforderlich.96 Eine typische P&L-Verteilung der DeltaGamma Methode ist in Abb. 5 zu sehen. Als Taylorentwicklung zweiter Ordnung lässt sich die Delta-Gamma Methode folgendermaßen darstellen: 97 1 ∆S T Γ ∆S . 2 [...]

Die Delta-Gamma Methode ist ein quadratisches Risikomaß. Sie betrachtet somit auch nichtlineare Risiken eines Instruments.92 Zusätzlich zu den Sensitivitäten der ersten Ordnung aus der DeltaNormal Methode werden hier noch die Sensitivitäten der zweiten Ordnung zur VaR-Berechnung hinzugezogen. Die Delta-Gamma Methode liefert eine bessere lokale Approximation für größere Änderungen des Underlyings, als die Delta-Normal Methode. Dies resultiert aus der Einbeziehung von Gamma bzw. ConvexityEffekten.93 Ihre Anwendungsgebiete sind wiederum eine IntradayBerechnung des VaR, hier aber für Optionsportfolios oder eine „Quick and Dirty“-Methode zur generellen VaR-Berechnung, für Instrumente die entweder haben. Die zu effizient, da lineare ihrer oder nichtlineare Methode ist nur Bewertungsfunktionen rechentechnisch Delta-Gamma [...]

Ein Cap, als Summe von Caplets, ist damit sensitiv auf alle Stützstellen, die durch die einzelnen Caplets angesprochen werden. Nachdem nun die Deltavektoren für die einzelnen Instrumente hergeleitet wurden, muss nun noch der aggregierte Deltavektor für das Portfolio gefunden werden. Hier gilt wieder die Additivitätseigenschaft von Sensitivitäten. Die Sensitivitäten bzgl. eines Risikofaktors werden über alle Instrumente, die in einem Portfolio enthalten sind, aggregiert. Diese aggregierten Werte werden dann in einen neuen Vektor, den Deltavektor des Portfolios eingestellt. Dieser Vektor hat als Dimension die Anzahl der verschiedenen Risikofaktoren in einem Portfolio. Ein Beispiel soll dies verdeutlichen. Ein Währungsswap reagiert auf die Stützstellen bei t1, t2, t3 und den Wechselkurs w1. Ein Caplet reagiert auf die Stützstellen bei t1 und t2. Jetzt sind als erstes die Sensitivitäten des Swaps und des Caplets bzgl. Stützstelle t1, dann die Sensitivitäten dieser beiden Instrumente bzgl. t2, zu addieren (T1 bzw. T2). Als nächstes sind diese aggregierten und die einzelnen Sensitivitäten für t3 und w1 in den Deltavektor des Portfolios einzustellen. Dieser Vektor hat formal folgende Form: δPortfolio = (T1, T2 , t 3 , w 1 ) . (38) [...]